2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 2.1第1課時(shí) 合情推理課時(shí)作業(yè) 新人教B版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 2.1第1課時(shí) 合情推理課時(shí)作業(yè) 新人教B版選修2-2.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 2.1第1課時(shí) 合情推理課時(shí)作業(yè) 新人教B版選修2-2
一、選擇題
1.下面使用類(lèi)比推理正確的是( )
A.“若a4=b4,則a=b”類(lèi)比推出“若a0=b0,則a=b”
B.“(a+b)c=ac+bc”類(lèi)比推出“(ab)c=acbc”
C.“(a+b)c=ac+bc”類(lèi)比推出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”類(lèi)比推出“(a+b)n=an+bn”
[答案] C
2.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0,an+1=(n∈N+),則a20=( )
A.0 B.-
C. D.
[答案] B
[解析] ∵a1=0,∴a2=-,a3==,a4=0,…,由此可以看出周期為3,∴a20=a36+2=a2=-.
3.下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質(zhì)類(lèi)比出球的有關(guān)性質(zhì);
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180;
③教室內(nèi)有一把椅子壞了,則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧耍?
④三角形內(nèi)角和是180,四邊形內(nèi)角和是360,五邊形內(nèi)角和是540,由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n-2)180.
A.①② B.①③④
C.①②④ D.②④
[答案] C
[解析] ①是合情推理中的類(lèi)比法,排除D;②是歸納推理,排除B;④是歸納推理.故選C.
4.已知數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=2an-1+1,依次計(jì)算a2,a3,a4后,猜想an的一個(gè)表達(dá)式是( )
A.n2-1 B.(n-1)2+1
C.2n-1 D.2n-1+1
[答案] C
[解析] a2=2a1+1=21+1=3,
a3=2a2+1=23+1=7,
a4=2a3+1=27+1=15,利用歸納推理,猜想an=2n-1,故選C.
5.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性?xún)?nèi)容,由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù),∴g(-x)=-g(x),選D,體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生觀察能力,概括歸納推理能力的考查.
6.我們把4,9,16,25,…這些數(shù)稱(chēng)做正方形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正方形(如下圖),則第n-1個(gè)正方形數(shù)是( )
A.n(n-1) B.n(n+1)
C.n2 D.(n+1)2
[答案] C
[解析] 第n-1個(gè)正方形數(shù)的數(shù)目點(diǎn)子可排成n行n列,即每邊n個(gè)點(diǎn)子的正方形,∴點(diǎn)數(shù)為n2.故選C.
7.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1234569+7等于( )
19+2=11
129+3=111
1239+4=1111
12349+5=11111
123459+6=111111
…
A.1111110 B.1111111
C.1111112 D.1111113
[答案] B
[解析] 由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù),即1111111.
8.觀察圖所示圖形規(guī)律,在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為( )
A. B.△
C. D.○
[答案] A
[解析] 由每行或每列均有2個(gè)黑色圖形知,本題選A.
二、填空題
9.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),
甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市;
乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市;
丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市;
由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______.
[答案] A
[解析] 利用邏輯推理的知識(shí)求解.
由題意可推斷:甲沒(méi)去過(guò)B城市,但比乙去的城市多,而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”,說(shuō)明甲去過(guò)A,C城市,而乙“沒(méi)去過(guò)C城市”,說(shuō)明乙去過(guò)城市A,由此可知,乙去過(guò)的城市為A.
10.對(duì)于等差數(shù)列{an}有如下命題:“若{an}是等差數(shù)列,a1=0,s、t是互不相等的正整數(shù),則有(s-1)at-(t-1)as=0”.類(lèi)比此命題,給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題是________.
[答案] 若{bn}是等比數(shù)列,b1=1,s、t是互不相等的正整數(shù),則有=1
[解析] 這是一個(gè)從等差數(shù)列到等比數(shù)列的平行類(lèi)比,等差數(shù)列中的加、減、乘、除類(lèi)比到等比數(shù)列經(jīng)常是乘、除、乘方、開(kāi)方,類(lèi)比方法的關(guān)鍵在于善于發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間的“相似”,“相似”是類(lèi)比的基礎(chǔ).∴==1.
11.觀察下列等式:
(1+1)=21;
(2+1)(2+2)=2213;
(3+1)(3+2)(3+3)=23135;
……
照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_(kāi)_____________________.
[答案] (n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)
[解析] 觀察規(guī)律,等號(hào)左側(cè)第n個(gè)等式共有n項(xiàng)相乘,從n+1到n+n,等式右端是2n與等差數(shù)列{2n-1}前n項(xiàng)的乘積,故第n個(gè)等式為(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1).
三、解答題
12.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,有如下的性質(zhì):
(1)通項(xiàng)an=am+(n-m)d(n>m,n,m∈N*)
(2)若m+n=p+q,其中,m、n、p、q∈N*,則am+an=ap+aq.
(3)若m+n=2p,m,n,p∈N*,則am+an=2ap.
(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列.
類(lèi)比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,寫(xiě)出相類(lèi)似的性質(zhì).
[解析] 等比數(shù)列{bn}中,設(shè)公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.
(1)an=amqn-m(n>m,n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q,其中m,n,p,q∈N*,
則aman=apaq.
(3)若m+n=2p,其中,m,n,p∈N*,則a=aman.
(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(各項(xiàng)均不為零)構(gòu)成等比數(shù)列.
一、選擇題
1.設(shè)0<θ<,已知a1=2cosθ,an+1=,則猜想an=( )
A.2cos B.2cos
C.2cos D.2sin
[答案] B
[解析] ∵a1=2cosθ,a2==2=2cos,a3==2=2cos……,猜想an=2cos.故選B.
2.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質(zhì),可推知正四面體的下列哪些性質(zhì),你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖? )
①各棱長(zhǎng)相等,同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等;
②各個(gè)面都是全等的正三角形,相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等;
③各個(gè)面都是全等的正三角形,同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等.
A.① B.①②
C.①②③ D.③
[答案] C
[解析] 正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類(lèi)比,正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類(lèi)比,故①②③都對(duì).故選C.
3.把3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如下圖),試求第六個(gè)三角形數(shù)是( )
A.27 B.28
C.29 D.30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n-1個(gè)三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù):1+2+3+4+…+n=個(gè),∴第六個(gè)三角形數(shù)為=28.故選B.
4.(xx甘肅省會(huì)寧一中高二期中)如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為左焦點(diǎn),當(dāng)⊥時(shí),其離心率為,此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”,類(lèi)比“黃金橢圓”,可推算出“黃金雙曲線”的離心率為( )
A. B.
C.+1 D.-1
[答案] A
[解析] 類(lèi)比“黃金橢圓”,在黃金雙曲線中,|OA|=a,|OB|=b,|OF|=c,
當(dāng)⊥時(shí),|BF|2+|AB|2=|AF|2,
∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac,
∵b2=c2-a2,整理得c2=a2+ac,
∴e2-e-1=0,解得e=,或e=(舍去).
故黃金雙曲線的離心率e=.
二、填空題
5.在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12,則它們的面積比為14.類(lèi)似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12,則它們的體積比為_(kāi)_______.
[答案] 18
[解析]?。剑剑剑?
6.(xx陜西文,16)觀察下列等式
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
……
據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_(kāi)________________________________.
[答案] 1-+-+…+-=++…+
[解析] 觀察等式知:第n個(gè)等式的左邊有2n個(gè)數(shù)相加減,奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),且分子為1,分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù),等式的右邊是++…+.故答案為1-+-+…+-=++…+
三、解答題
7.在△ABC中,不等式++≥成立,
在四邊形ABCD中,不等式+++≥成立,
在五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想在n邊形A1A2…An中,有怎樣的不等式成立?
[解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值:、、,…,總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律:(n≥3且n∈N*).
∴在n邊形A1A2…An中:++…+≥(n≥3且n∈N*).
8.已知等式sin210+cos240+sin10cos40=,sin26+cos236+sin6cos36=.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)具有一般性的等式,使你寫(xiě)出的等式包含已知的等式,并證明結(jié)論的正確性.
[解析] 等式為sin2α+cos2(30+α)+sinαcos(30+α)=.證明如下:
sin2α+cos2(30+α)+sinαcos(30+α)
=sin2α++sinα(cos30cosα-sin30sinα)=+sin2α++sin2α-sin2α=+sin2α+(cos2α-sin2α)+sin2α-sin2α=+sin2α+cos2α-sin2α+sin2α-sin2α=+sin2α+(1-2sin2α)=.