2003年高考理科數(shù)學(xué)真題及答案[全國卷I]

2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷） 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至10頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷（選擇題共60分） 一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的 1．已知，0），，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．圓錐曲線的準(zhǔn)線方程是 （ ） （A） （B） （C） （D） 3．設(shè)函數(shù) ，若，則的取值范圍是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，） 4．函數(shù)的最大值為 （ ） （A） （B） （C） （D）2 5．已知圓C：（）及直線：，當(dāng)直線被C截得的弦長為時(shí)，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的的等差數(shù)列，則 （ ） （A）1 （B） （C） （D） 8．已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），直線與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是 （ ） （A） （B） （C） （D） 9．函數(shù)，的反函數(shù) （ ） （A） ，1] （B） ，1] （C） ，1] （D） ，1] 10．已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)沿與AB的夾角的方向射到BC上的點(diǎn)后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角），設(shè)的坐標(biāo)為（，0），若，則tg的取值范圍是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，） 11． （ ） （A）3 （B） （C） （D）6 12．一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則些球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。 13．的展開式中系數(shù)是 14．使成立的的取值范圍是 2 1 5 3 4 15．如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種。（以數(shù)字作答） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5個(gè)正方體圖形中，是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出面MNP的圖形的序號(hào)是 （寫出所有符合要求的圖形序號(hào)） ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或或演算步驟 17．（本小題滿分12分） 已知復(fù)數(shù)的輻角為，且是和的等比中項(xiàng)，求 18．（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D、E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I） 求與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示） D E K B C1 A1 B1 A F C G （II） 求點(diǎn)到平面AED的距離 19．（本小題滿分12分） 已知，設(shè) P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減 Q：不等式的解集為R 如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍 20．（本小題滿分12分） O 北 東O y 線 岸 O x O r(t) P 海 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ 21．（本小題滿分14分） O P A G D F E C B x y 已知常數(shù)，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由。 22．（本小題滿分12分，附加題4 分） （I）設(shè)是集合 且}中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即，，，，，，… 將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表： 3 5 6 9 10 12 — — — — ………… ⑴寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)； ⑵求 （II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分） 設(shè)是集合，且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知，求. 2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)答案 一、選擇題 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空題 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答題： 17． 解：設(shè)，則復(fù)數(shù)由題設(shè) 18．（Ⅰ）解：連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角. 設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC， （Ⅱ）解： 19． 解：函數(shù)在R上單調(diào)遞減 不等式 20．解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向. 在時(shí)刻：（1）臺(tái)風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為 此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是 其中若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有 即 答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲. 21．根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值. 按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設(shè) 由此有E（2，4ak），F(xiàn)（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：① 直線GE的方程為：② 從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)滿足方程 整理得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長。 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（的距離之和為定值。 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P 到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0， 的距離之和為定值2. 22．（本小題滿分12分，附加題4分） （Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：設(shè)，只須確定正整數(shù) 數(shù)列中小于的項(xiàng)構(gòu)成的子集為 其元素個(gè)數(shù)為滿足等式的最大整數(shù)為14，所以取 因?yàn)?00－ （Ⅱ）解：令 因 現(xiàn)在求M的元素個(gè)數(shù)： 其元素個(gè)數(shù)為： 某元素個(gè)數(shù)為 某元素個(gè)數(shù)為