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《二次函數(shù)的圖象》典型例題2

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《二次函數(shù)的圖象》典型例題2

《二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像》典型例題 例1 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是如圖中的( ) 例2 已知函數(shù). (1)求函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸; (2)求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo); (3)作出函數(shù)的圖像. 例3 求經(jīng)過A(0,-1)、B(-1,2),C(1,-2)三點(diǎn)且對稱軸平行于y軸的拋物線的解析式. 例4 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1)和點(diǎn)(2,1)且與x軸相切. (1)求二次函數(shù)的解析式; (2)當(dāng)x在什么范圍時(shí),y隨x的增大而增大; (3)當(dāng)x在什么范圍時(shí),y隨x的增大而減?。? 例5 設(shè)拋物線y=x2+bx+c向下平移1個(gè)單位,再向左平移5個(gè)單位后,所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),求原拋物線的解析式. 例6 (遼寧省試題,2002) 看圖,解答下列問題。 (1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式; (2)通過配方,求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸; (3)用平滑曲線連結(jié)各點(diǎn),畫出該函數(shù)圖象。 參考答案 例1 解法一:直接法 ,∴a的取值只有兩種可能:或. 當(dāng)時(shí),有的圖像在第一、三象限;的圖像開口向上,頂點(diǎn)在x軸的上方,四個(gè)選擇支無一適合.所以,沒有符合條件的圖像. 當(dāng)時(shí),有的圖像在第二、四象限;的圖像開口向下,頂點(diǎn)在x軸的下方,符合條件的圖像有D.故應(yīng)選D. 解法二:排除法 ,函數(shù)的圖像頂點(diǎn)在y軸上,故排除A; 對于B,由反比例函數(shù)的圖像可知:,但由的圖像得,產(chǎn)生矛盾,故B排除; 對于C,由反比例函數(shù)的圖像可知:,但由的圖像與y軸交于負(fù)半軸得,產(chǎn)生矛盾,故C排除.故答案應(yīng)選D. 例2 解:(1). ∴函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),對稱軸為. (2)令,得;令,由,得.即函數(shù)圖像與y軸交于點(diǎn),與x軸交于(-1,0),(3,0). (3),拋物線開口向下,再依頂點(diǎn)坐標(biāo),對稱軸及兩坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)作函數(shù)圖像如圖所示. 說明:(1)對的頂點(diǎn)坐標(biāo)也可直接用教材中例題所給出的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,這里是直接配方而得. (2)作二次函數(shù)的圖像主要抓住拋物線開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及兩軸的交點(diǎn)等主要環(huán)節(jié). 例3 分析:因?yàn)閽佄锞€的對稱軸與y軸平行,所以拋物線解析式的形式可設(shè)為y=ax2+bx+c,要確定這個(gè)解析式必須求出三個(gè)系數(shù)a、b、c的值.已知A、B、C三點(diǎn)在拋物線上,因此它們的坐標(biāo)必須適合上面的函數(shù)式,即有      這是關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,可以求出a、b、c的值來. 解:設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),所以有    所以,所求拋物線的解析式為y=x2-2x-1. 例4 分析:因?yàn)閽佄锞€與x軸相切即與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以判別式b2-4ac=0.又由于拋物線過(-1,1)和(2,1)點(diǎn),所以可設(shè)解析式的形式為y=ax2+bx+c,列出方程組    解方程組求出a、b、c. 方法二:由于拋物線經(jīng)過的兩點(diǎn)(-1,1)和(2,1)的縱坐標(biāo)都是1,又根據(jù)拋物線的對稱性知道對稱軸,畫出草圖: 可得頂點(diǎn)坐標(biāo)系,可以設(shè)解析式為將x=-1,y=1代入上式得出a值.(可由教師板演,學(xué)生在練習(xí)本上寫出解題過程). 解:(1)∵ 頂點(diǎn)坐標(biāo), ∴ 將代入此式 1=,得 所求解析式為。 (2),圖象開口向上 當(dāng)時(shí),隨的增大而增大。 (3)當(dāng)時(shí),隨的增大而減小。 例5 解:由題意知兩次平移后所得拋物線的解析式應(yīng)為: y=(x+5)2+b(x+5)+c-1 =x2+(b+10)x+(5b+c+24). 0=(-2)2+(b+10)(-2)+(5b+c+24). 解之得b=-6,c=10.原拋物線的解析式為 y=x2-6x+10. 說明:關(guān)于二次函數(shù)圖象的平移是很重要的:一是上、下平移,如將y=ax2+bx+c的圖象上移h個(gè)單位,則新圖象的解析式為y=ax2+bx+c+h(如下移則改為-h).二是左右平移,如將y=ax2+bx+c的圖象向左移k個(gè)單位,則新圖象解析式應(yīng)改寫為:y=a(x+k)2+b(x+k)+c,如果是向右平移k個(gè)單位,則改寫為y=a(x-k)2+b(x-k)+c. 分析:已知三點(diǎn)求拋物線的解析式,用待定系數(shù)法求解,先設(shè)出拋物線的解析式(一般式), 然后把三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,列出一個(gè)關(guān)于三個(gè)未知數(shù)的方程組,求解即可。 例6 解: (1)由圖可知 設(shè)所求拋物線的解析式為 依題意,得 解得 ∴ (2) ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對稱軸為 (3)圖象略,畫出正確圖象。 說明:求二次函數(shù)解析式的問題,通常用待定系數(shù)法求解。首先要根據(jù)題目已知條件,選擇拋物線解析式的適當(dāng)形式,然后列出方程組求解。 6 / 6

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