2021級(jí)碩士研究生《數(shù)值分析》試卷(A)與參考答案

2021級(jí)碩士研究生《數(shù)值分析》試卷(A)與參考答案 篇一：碩士研究生《數(shù)值分析》試卷2021(A) 碩士研究生《數(shù)值分析》試卷2021(A) 一、判斷題 (下列各題，你認(rèn)為正確的，請(qǐng)?jiān)陬}后的括號(hào)內(nèi)打“√ ”，錯(cuò)誤的打“”，每題2 分，共10分) 1. 近似數(shù)x?3.200關(guān)于準(zhǔn)確值x?3.202178有4位有效數(shù)字。 ( ) 2. 設(shè)xi(i?0,1,2,3)是互異的點(diǎn)，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函數(shù)，則 * ?4xl(x)?4x 2ii i?0 7 3 2 .( ) 1 2 3 4 5 6 7 3. 設(shè)f(x)?x?3x?2，則差商f[2,2,2,2,2,2,2]?1。 ( ) 4. 設(shè)A是n階非奇異方陣，則解方程組Ax?b的迭代法收斂的充要條件是A的譜半徑 3 ?(A)?1。 ( ) 5. 解常微分方程初值問(wèn)題的四階Runge-Kutta方法的整體截?cái)嗾`差是O(h)，其中h是步長(zhǎng)。( ) 二、填空題 (每空2分，共16分) 1. 設(shè)x?(2,1,?3,4)，A??2. 設(shè)I? T 4 ??25? ?. 則 ||x||1?Cond(A)??4?3?? ? 20 若用梯形求積公式計(jì)算I，結(jié)果是4；用Simpson求積公式計(jì)算I，f(x)dx， 結(jié)果是2. 則f(1)? . 3. 設(shè)S是函數(shù)f在區(qū)間[0,3]上滿足第一類邊界條件的的三次樣條： ?x2, 0?x?1,? S(x)??12 ??x?1??a?x?1??b,1?x?3,?2 則a?，b?f?(3)?. 4. 設(shè)函數(shù)f(0.8)??1.2,f(0.9)??1.4,f(1)??1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5, 步長(zhǎng) h?0.2，則用三點(diǎn)數(shù)值微分公式計(jì)算f?(1)的近似值為. 5. 設(shè)函數(shù)f(x)是最高次項(xiàng)系數(shù)為?1的3次多項(xiàng)式，的Lagrange插值多項(xiàng)式, 則余項(xiàng)f(x)? * p2(x)是f(x)在節(jié)點(diǎn)?1,0,1上 p2(x)?* 三(本題滿分8分) 的近似值x的相對(duì)誤差限是0.01%，求x至少應(yīng)具有幾位有效數(shù)字？ 四(本題滿分10分) 對(duì)下列方程組分別建立收斂的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，并說(shuō)明理由。 ?3x1?2x2?10x3?15, ? ??10x1?4x2?x3?5, ?2x?10x?7x?8. 23?1 五(本題滿分10分) 用下列表中的數(shù)據(jù)求插值多項(xiàng)式 p(x)，使之滿足p(xi)?f(xi)， i?0,1,2，和p?(x0)?f?(x0),p?(x0)?f?(x0). 六(本題滿分12分) (1) 確定x1,x2,A1,A2，使下面的求積公式為Gauss型求積公式 ? 1 ?1 f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2). (2) 用(1)中的兩點(diǎn)Gauss公式計(jì)算I? ? 1 xcos2xdx的近似值。 * x是方程f(x)?0的單根。七(本題滿分12分) (1) 設(shè)f?C2[a,b]，寫(xiě)出求x的Newton 迭代格式；并證明求x的Newton迭代法至少是平方收斂的。 (2) 取初值x0?1.5,x1?1.6，用弦截法求方程x?2x?1?0在x0?1.5附近的實(shí)根 3 * * x*.（只迭代兩次）。 八(本題滿分10分) 求擬合下列表中數(shù)據(jù)的1次最小二乘多項(xiàng)式p1(x)，取權(quán)?i?1， i?0,1,2,3，并計(jì)算總誤差Q. 九(本題滿分12分) (a) 證明Euler方法具有1階精度。 (b) 用改進(jìn)的Euler方法求解下列初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)h?0.5， y?dy?1?,?dtt? ?y(1)?2.? 1?t?2, . 篇二：研究生《數(shù)值分析》考卷參考答案 2021-2021學(xué)年研究生《數(shù)值分析》 參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、（10分）（1）誤差產(chǎn)生的來(lái)源主要是哪幾方面？ （2）設(shè)x?10?5%，求函數(shù)f(x)?x的相對(duì)誤差界。 解： （1）誤差產(chǎn)生的來(lái)源主要是模型誤差、觀測(cè)誤差、舍入誤差、截?cái)嗾`差。 （2）近似數(shù)x?10，絕對(duì)誤差限?*(x*)?0.05，自變量的相對(duì)誤差限為?r(x)? 函數(shù)值的絕對(duì)誤差 ***0.05?0.005。 10 1f(x)?f(x)?f?(x)(x?x)?x* n***?1?1nx*(x?x)?*(x?x*)， nx*所以函數(shù)值的相對(duì)誤差 e?* rf(x)?f(x*)f(x*)?x* nx*?x*(x?x*) *x?x11**???r(x) *nxn **代入?r(x)得數(shù)據(jù)，可取函數(shù)值f(x)相對(duì)誤差限為： ?r(f(x))? **1**1??r(x)??0.005。 nn 二、（10分）設(shè)l0?x?，l1?x?，?,ln?x?是以x0,x1,?,xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，試證： k?0,?1,?(1) ?lj?0?xk?k?1,2,?n, ?0,j j?0???1?nxx?x,k?n?1;01n?n (2) 設(shè)p(x)為任意首項(xiàng)次數(shù)為1的(n?1)次多項(xiàng)式，則 p(x)??p(xj)lj?x???(x)， j?0n 其中?(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。 k證明： （1）考慮函數(shù)f(x)?x（其中k?0,1,2,?,n?1），利用Lagrange插值余項(xiàng) 公式有 f(n?1)(?) f(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)! 即 f(n?1)(?)f(x)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)， ① (n?1)!j?0nkjj 其中?介于x，x0,x1,?,xn之間。 當(dāng)k?0時(shí)，f(x)?1，f nk jj(n?1)(x)?0，于是由式①得， f(n?1)(?) 1??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0 取x?0既得?xl?0??1； k jj j?0n 當(dāng)k?1,2,?,n時(shí)，f(x)?xk，f knk jj(n?1)(x)?0，于是由式①得， f(n?1)(?) x??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0 取x?0既得?xl?0??0； k jj j?0n n?1當(dāng)k?n?1時(shí)，f(x)?x，f(n?1)(x)?(n?1)!，于是由式①得， xn?1f(n?1)(?)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)!j?0nn?1jj kn??xl0?(?1)x0x1?xn。 ?jj j?0n取x?0既得 (n?1)(2) 若p(x)為任意首項(xiàng)次數(shù)為1的(n?1)次多項(xiàng)式，則p(x)?(n?1)!，則利用 Lagrange插值余項(xiàng)公式有 p(n?1)(?) p(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)! 即p(x)??p(x j?0nj)lj?x???(x)。 三、（15分）1、敘述3次樣條的定義； 2、確定參數(shù)a、b、c、d、e的關(guān)系，使得函數(shù)s(x)是3次樣條函數(shù)，其中 ?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?2x?[1,3) s(x)??c(x?2), ?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)? 為了使函數(shù)s(x)滿足條件 s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25 求確定參數(shù)a、b、c、d、e的值。 解： 1、若函數(shù)s(x)在定義區(qū)間[a,b]（也可以是開(kāi)區(qū)間）上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且在在每個(gè)小區(qū)間[xj,xj?1]（?0,1,2,?,n）上是三次多項(xiàng)式，其中a?x0?x1???xn?b是給定的節(jié)點(diǎn)，則稱s(x)是節(jié)點(diǎn)x0,x2,?,xn上的3次樣條函數(shù)。 2、由 ?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?s(x)??c(x?2)2, x?[1,3) ?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)? 可得 s(1)???s(1?0)?a,?s(3?0)?c, s(3)?? s(1?0)?c,s(3?0)?d,?? s?(1)???s?(1?0)??2a,?s?(3?0)?2c, s?(3)?? ?s?(1?0)??2c,?s?(3?0)?2d, ?s??(1?0)?2a,?s??(3?0)?2c, s??(3)?? s??(1)??????s(1?0)?2c,s(3?0)?2d,?? 為了使函數(shù)s(x)是3次樣條函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) a?c，c?d 即a?c?d，b，d可以任意取值。 為了使函數(shù)s(x)滿足條件s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25，根據(jù)上面推導(dǎo)過(guò)程，可得 ?s(0)?4a?b?26,?s(1)?a?7,? ?s(4)?4d?e?25,? 結(jié)合a?c?d，可得 a?c?d?7，b?2，e??3。 四、（15分）設(shè)f(x)、g(x)?C[a,b]，分別定義 （1）(f,g)? （2）(f,g)??baf?(x)g?(x)dx； ?b af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)； b問(wèn)這兩種定義是否構(gòu)成內(nèi)積？ 解： （1）由(f,g)??af?(x)g?(x)dx結(jié)合定積分線性性，可得 (f,g)?(g,f)， (?f,g)??(f,g) ，其中?為常數(shù)， (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)， 但不滿足“(f,f)?0，當(dāng)且僅當(dāng)f?0時(shí)(f,f)?0”， （2）由(f,g)? 則，可得 (f,g)?(g,f)， (?f,g)??(f,g) ，其中?為常數(shù)， (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)， 下面考察第4條“(f,f)?0，當(dāng)且僅當(dāng)f?0時(shí)(f,f)?0”。由于 b?af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，結(jié)合定積分線性性和四則運(yùn)算法 (f,f)??(f?(x))2dx?f2(a)， ab 當(dāng)f?0時(shí)，則有 (f,f)? 反之，若(f,f)??0ab2dx?02?0； ?(f?(x))ab2dx?f2(a)?0，則必有f?0，即 (f,g)??b af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a) 滿足內(nèi)積公理的四個(gè)條件，所以它構(gòu)成內(nèi)積。 五、（10分）確定參數(shù)a、b、c，構(gòu)造下面積分公式，使其代數(shù)精度盡可能高，并指出其代數(shù)精度 ?h ?hf(x)dx?h[af(0)?b(f(?h)?f(h))?c(f(?2h)?f(2h))]。 解： 由于對(duì)稱性，上述積分公式對(duì)于奇次冪函數(shù)顯然成立。求積公式有三個(gè)待定參數(shù)，即a、b、c，將f(x)?1,x2,x4，分別代入求積公式，令其左右相等，擬解得三個(gè)待定參數(shù)。 設(shè)積分公式對(duì)f(x)?1成立，得 h[a?1?b(1?1)?c(1?1)]?2h 即 a?2b?2c?2； 類似，設(shè)積分公式對(duì)f(x)?x2成立，得 b?4c? 設(shè)積分公式對(duì)f(x)?x4成立，得 b?16c? 解聯(lián)立方程組 1； 31。 5 a?2b?2c?2, 1 b?4c?, 31b?16c?,5 1921得a?，b?，c??，于是積分公式為 154590 ?h ?h21?19?f(x)dx?h?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))?。 4590?15? 56對(duì)于f(x)?x積分公式顯然成立。對(duì)于f(x)?x， 2h7 左邊=?xdx?， ?h7h6 右邊=h?21?19?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))? 4590?15? 篇三：碩士生數(shù)值分析試卷答案2021 湖北工業(yè)大學(xué) 2021級(jí)碩士學(xué)位研究生試題 科目代號(hào) 考試時(shí)間 2021.12.26上午8:30-10:30 科目名稱 考試地點(diǎn) 2-007;2-008 數(shù)值分析 1、答案請(qǐng)寫(xiě)在答題紙上，在此試卷上答題無(wú)效。 2、允許使用計(jì)算器 一、填空題（每小題2分，共20分） (1) 設(shè)x的相對(duì)誤差為2%，則x的相對(duì)誤差是(2) 設(shè)f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，則差商f[x0,x1]，f[x0,x1,x2](3) 設(shè)lj(x)(j?0,1,2?n)是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)，xj為互異節(jié)點(diǎn)，則 n ?l(x)??(x jj?0 nn j ?x)klj(x)?. b j?0 (4) 插值型求積公式. ? b a f(x)dx??Akf(xk)的求積系數(shù)Ak? k?0 n ?l(x)dx,k?0,1,?,n，至少具有 ak (5) 梯形求積公式具有,辛普生求積公式具有次代數(shù)精度. (6) 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、. (7) 非線性方程f(x)=0的牛頓迭代格式為xn?1?xn?處是2 階收斂，在重根處是1 階收斂. (8) .設(shè)A?? f(xn)f(xn) 使用該迭代格式在單根(n?0,1,2,?)， ?0.60.5? ?，則A?= ，A1= . 0.10.3?? (9) 已知實(shí)對(duì)稱矩陣的全部特征值為?1,?2,?,?n, 則條件數(shù)Cond2(A)= ?max . ?min (10) 對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是?(B)1. 二、(10分) 取的6位有效數(shù)9. 94987，則以下兩種算法各有幾位有效數(shù)字？(要誤差分析過(guò)程， 不要直接計(jì)算的結(jié)果！) 1 10?99?10?9.94987?0.05013 ? 111 ???0.0501256399? ? 10?9910?9.9498719.94987 解：記x?99,x*?9.94987,e(x)?x?x*，則 e(x)? 由e(10?x)??e(x)得 1 ?10?5 2 e(10?x)?e(x)? 因而算式? 1 ?10?5 2 10?99?10?9.94987?0.05013 至少具有4位有效數(shù)字. 又由 e(10?x)e(x)?1? e??????22 10?x(10?x)(10?x)?? 得 1 ?10?5 e(x)?1??7e????0.1256?10 ?22 (10?9.94987)?10?x?(10?x) 因而算式? 111 ???0.0501256399? 10?10?9.9498719.94987 至少具有7位有效數(shù)字. 三、(10分)求經(jīng)過(guò)A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三個(gè)樣點(diǎn)的插值多項(xiàng)式. 解：由Lagrange插值公式得 ?2x?xj? ?ykL2(x)??????k?0?j?0,j?kxk?xj? (x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)??1??2??3 (0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?x?1. 2 四、(10分) 設(shè)M2?span{1,x2}，試在M2中求f(x)?x在區(qū)間[-1，1]上的最佳平方逼近元. 2 解：設(shè)?0(x)?1,?1(x)?x2，則f(x)在M2中的最佳平方逼近多項(xiàng)式為 P(x)?a0?0(x)?a1?1(x) 則有如下正則方程組 ?(?0,?0)(?0,?1)??a0??(?0,f)???a?????(?,f)?? ?(?,?)(?,?)??? 11??1??1??10 即 ??2??2??3 解得a0? 2? ?a??1?03??????1? ??2??a1??? ?2?? 5? 315,a1? 1616 3152 ?x. 1616 故最佳平方逼近多項(xiàng)式為P(x)? 五、(10分)給定求積公式 ? 1 f(x)dx?Af(0)?Bf(0.5)?Cf?(0)，試確定A,B,C，使其代數(shù)精度盡 可能的高，并指明此時(shí)求積公式的代數(shù)精度,然后估計(jì)求積公式的誤差. 解：分別將f(x)?1,x,x2，代入求積公式，可得 1? ?A?B??01?dx?1,?11?B?C?xdx?, ??0 2?1 ?B?x2dx?1. ?0?3? 解得A? 211 ,B?,C?，求積公式為 336 ? 3 1 f(x)dx? 211 f(0)?f(0.5)?f?(0). 336 令f(x)?x時(shí)求積公式不精確成立，從而精度為2. 3 由于此求積公式的代數(shù)精度為2，故余項(xiàng)表示式為R[f]?Kf???(?),令f(x)?x，得f???(?)?3!, 于是 111?2? Kf???(?)??x3dx??f(0)?f(0.5)?f?(0)?, 036?3? 從而 K? 1?13111?2?? ??0xdx??f(0)?f(0.5)?f?(0)????. 3!?3672?3?? 3 故得R[f]?? 1 f???(?),??(0,1). 72 六、(10分)證明解y??f(x,y)的梯形格式 h yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] 2 是二階的，并求出局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng). 證：局部截?cái)嗾`差為 Tn?1?y(xn?1)?y(xn)? h [f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] 2 h2h3h ?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn?1)]?O(h4) 23!2 h2h3hh2 ?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)]?O(h4) 23!22h3 ??y???(xn)?O(h4) 12 h3 y???(xn). 所以梯形方法是二階方法，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為?12 n 七、(10分)應(yīng)用牛頓法于方程f(x)?x?a?0和f(x)?1? a ?0，分別導(dǎo)出求a的迭代公式. nx 解： 八、(10分)用直接三角分解(Doolittle分解，LU分解)求解下列線性方程組： 11?1x?x??41526x3?9,?11?1 ?x1?x2?x3?8, 45?3 ?1x?x?2x?0. 123 ??2 4 解： ?1??4?1?3?1??2 從而 15141 1??1?r2?4r1? 36??44 1?r3?2r1???0??5??2??0??11??1 ?? 56??4113?36r2????r????0 ?6045? ?35? ??0 53??11? ? 56?11??? 6045? 13?0? 15? ?1?4L?? ?3?2? 先求解Ly=b,得 再求解Ux=y，得 九、(10分)對(duì)方程組?? ?1 ? ??4? ?,U??01 ?? ???361? ?0?11? ? 56?11??? 6045? 13?0? 15? ?32??x1??3? ????，若用迭代法 ??????? ?12??x2???1? x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,? 求解，首先寫(xiě)出迭代格式的迭代矩陣，再討論?在什么范圍內(nèi)取值可使迭代收斂，?取什么值可使迭代收斂最快？ 解：迭代矩陣B?E??A， A的特征值為1,4，故B的特征值為1??,1?4?. 譜半徑?(B)???,?4?}. 要使迭代收斂，則?(B)?1,從而當(dāng)?當(dāng)???0.4,?(B)最小，收斂最快. 1 ???0時(shí)收斂， 2 5 《2021級(jí)碩士研究生《數(shù)值分析》試卷(A)與參考答案》