2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練25 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練25 解答題專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列 文 1.已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為60,且a6為a1和a21的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 2.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1= (1)求a2,a3; (2)設(shè)bn=a2n-2,n∈N*,求證:{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式; (3)在(2)的條件下,求數(shù)列{an}前100項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)的和S. 3.各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足=4Sn-2an-1(n∈N*),其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和. (1)求a1,a2的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)是否存在正整數(shù)m,n,使得向量a=(2an+2,m)與向量b=(-an+5,3+an)垂直?說(shuō)明理由. 4.(xx四川“聯(lián)測(cè)促改”(一))學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇.調(diào)查表明,凡是在這個(gè)星期一選A菜的,下個(gè)星期一會(huì)有改選B菜;而選B菜的,下個(gè)星期一會(huì)有改選A菜.用an,bn分別表示第n個(gè)星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù). (1)試用an-1(n∈N*,n≥2)表示an,判斷數(shù)列{an-300}是否成等比數(shù)列并說(shuō)明理由; (2)若第一個(gè)星期一選A菜的有200人,那么第十個(gè)星期一選A菜的大約有多少人? 5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+n2-1,數(shù)列{bn}滿足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3. (1)求an,bn; (2)設(shè)Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn,并求滿足Tn<7時(shí)n的最大值. 6. 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成等差數(shù)列{bn},Sn是{bn}的前n項(xiàng)和,且b1=a1=1,S5=15. (1)若數(shù)陣中從第三行開(kāi)始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知a9=16,求a50的值; (2)設(shè)Tn=+…+,求Tn. 7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=2S2+4,a5=36. (1)求an,Sn; (2)設(shè)bn=Sn-1(n∈N*),Tn=+…+,求Tn. 8.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=,公比q=的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3loan(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=anbn. (1)求證:{bn}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn; (3)若cn≤m2+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 答案與解析 專題能力訓(xùn)練25　解答題專項(xiàng)訓(xùn)練(數(shù)列) 1.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則 解得∴an=2n+3. (2)由bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)+3=n(n+2). ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴, Tn= =. 2.解:(1)a2=,a3=-. (2) =. 又∵b1=a2-2=-, ∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且bn==-. (3)由(2)得a2n=bn+2=2-(n=1,2,3,…,50), S=a2+a4+…+a100=250- =100-1+=99+. 3.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),=4S1-2a1-1, 即(a1-1)2=0,解得a1=1, 當(dāng)n=2時(shí),=4S2-2a2-1=4a1+2a2-1=3+2a2, 解得a2=3或a2=-1(舍去). (2)由已知=4Sn-2an-1,① =4Sn+1-2an+1-1,② ②-①得=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an), 即(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an). ∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù), ∴an+1+an>0,∴an+1-an=2. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列, ∴an=2n-1. (3)∵an=2n-1, ∴a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)≠0, b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1))≠0. 又a⊥b?ab=0?m(n+1)-(2n+3)(2n+9)=0?m=4(n+1)+16+. ∵m,n∈N*,∴n+1=7,m=47+16+1,即n=6,m=45. ∴當(dāng)且僅當(dāng)n=6,m=45時(shí),a⊥b. 4.解:(1)由題意知,對(duì)n∈N*有bn=500-an, 所以當(dāng)n∈N*,且n≥2時(shí), an=an-1+(500-an-1)?an=an-1+150?an-300=(an-1-300). 故當(dāng)a1=300時(shí),{an-300}不是等比數(shù)列; 當(dāng)a1≠300時(shí),{an-300}是以a1-300為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. (2)當(dāng)a1=200時(shí),an-300=(a1-300)?an=300-?a10=300-≈300,故第十個(gè)星期一選A菜的大約有300人. 5.解:(1)當(dāng)n≥2時(shí),Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 兩式相減,得an=an-an-1+2n-1, ∴an-1=2n-1(n≥2).∴an=2n+1(n≥2). ∴3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3, ∴bn+1=. 當(dāng)n≥2時(shí),bn=. 又∵b1=3適合上式,∴bn=. (2)由(1)知bn=, ∴Tn=+…+,① Tn=+…+,② ①-②,得Tn=3++…+=3+4=5-. ∴Tn=. Tn-Tn+1==-<0, ∴Tn<Tn+1,即{Tn}為遞增數(shù)列, 又T3=<7,T4=>7, ∴當(dāng)Tn<7時(shí),n的最大值為3. 6.解:(1)∵{bn}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,b1=1,S5=15,∴S5=5+10d=15,d=1. ∴bn=1+(n-1)1=n. 設(shè)從第3行起,每行的公比都是q,且q>0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+…+9=45,故a50是數(shù)陣中第10行第5個(gè)數(shù), 而a50=b10q4=1024=160. (2)∵Sn=1+2+…+n=, ∴Tn=+…++…+=2+…+=2. 7.解:(1)因?yàn)镾3=2S2+4, 所以a1-d=-4. 又因?yàn)閍5=36,所以a1+4d=36, 解得d=8,a1=4,an=4+8(n-1)=8n-4, Sn==4n2. (2)bn=4n2-1=(2n-1)(2n+1), 所以, Tn=+…+ = =. 8.(1)證明:由題意知an=(n∈N*), ∵bn=3loan-2,b1=3loa1-2=1, ∴bn+1-bn=3loan+1-3loan=3lo=3loq=3, ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1,公差d=3的等差數(shù)列. (2)解:由(1)知,an=,bn=3n-2(n∈N*), 則cn=(3n-2)(n∈N*),Sn=1+4+7+…+(3n-5)+(3n-2),于是Sn=1+4+7+…+(3n-5)+(3n-2),兩式相減得Sn=+3-(3n-2)-(3n+2). ∴Sn=(n∈N*). (3)解:∵cn+1-cn=(3n+1)-(3n-2)=9(1-n)(n∈N*), ∴當(dāng)n=1時(shí),c2=c1=,當(dāng)n≥2時(shí),cn+1<cn, 即c1=c2<c3<c4<…<cn. ∴當(dāng)n=1時(shí),cn取最大值是. 又∵cn≤m2+m-1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立, ∴m2+m-1≥,即m2+4m-5≥0,得m≥1或m≤-5.