2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題9平面直角坐標(biāo)與不等式第36練不等式選講 [題型分析高考展望]　本部分主要考查絕對值不等式的解法．求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點，主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想． 1．(xx課標(biāo)全國甲)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|. (1)解　f(x)＝ 當(dāng)x≤－時，由f(x)<2得－2x<2， 解得x>－1，所以－1<x≤－； 當(dāng)－<x<時，f(x)<2； 當(dāng)x≥時，由f(x)<2得2x<2， 解得x<1，所以，－<x<1. 所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}． (2)證明　由(1)知，當(dāng)a，b∈M時，－1<a<1，－1<b<1， 從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|. 2．(xx課標(biāo)全國丙)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|.當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a ＝|1－a|＋a， 當(dāng)x＝時等號成立， 所以當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)≥3等價于|1－a|＋a≥3.① 當(dāng)a≤1時，①等價于1－a＋a≥3，無解． 當(dāng)a＞1時，①等價于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． 高考必會題型 題型一　含絕對值不等式的解法 含有絕對值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)|<a(a>0)?－a<f(x)<a； (3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解． 例1　已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝2時， f(x)＋|x－4|＝ 當(dāng)x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4， 解得x≤1； 當(dāng)2＜x＜4時，f(x)≥4－|x－4|無解； 當(dāng)x≥4時，由f(x)≥4－|x－4| 得2x－6≥4，解得x≥5； 所以f(x)≥4－|x－4|的解集為{x|x≤1或x≥5}． (2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)， 則h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}， 所以于是a＝3. 點評　(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟： ①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值． (2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法． 變式訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． (1)證明　f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當(dāng)2<x<5時，－3<2x－7<3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)解　由(1)可知， 當(dāng)x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當(dāng)2<x<5時， f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x<5}； 當(dāng)x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為 {x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 題型二　不等式的證明 1．含有絕對值的不等式的性質(zhì) |a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|. 2．算術(shù)—幾何平均不等式 定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 定理2：如果a、b為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 定理4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 例2　(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y.求證：2x＋≥2y＋3. (2)已知實數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<， 求證：|y|<. 證明　(1)因為x>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y ＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3， 所以2x＋≥2y＋3， (2)因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)| ≤2|x＋y|＋|2x－y|， 由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<， 從而3|y|<＋＝， 所以|y|<. 點評　(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧． 變式訓(xùn)練2　(1)若a，b∈R，求證：≤＋. (2)已知a，b，c均為正數(shù)，a＋b＝1，求證：＋＋≥1. 證明　(1)當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式顯然成立． 當(dāng)|a＋b|≠0時， 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥， 所以＝≤ ＝≤＋. (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 所以＋＋≥1. 題型三　柯西不等式的應(yīng)用 柯西不等式 (1)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時等號成立． (2)設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立． 例3　(xx福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (1)求a＋b＋c的值； (2)求a2＋b2＋c2的最小值． 解　(1)因為f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)－a≤x≤b時，等號成立． 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b. 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4， 所以a＋b＋c＝4. (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 (4＋9＋1) ≥2 ＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即a＝，b＝，c＝時等號成立． 故a2＋b2＋c2的最小值為. 點評　(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明． (2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為 (a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件． 變式訓(xùn)練3　已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a. (1)求a的值； (2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3. (1)解　因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時，等號成立， 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3. (2)證明　由(1)知p＋q＋r＝3， 又因為p，q，r是正實數(shù)， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p1＋q1＋r1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 即p2＋q2＋r2≥3. 高考題型精練 1．如果關(guān)于x的不等式|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)y＝|x－3|－|x－4|， 則y＝ 的圖象如圖所示： 若|x－3|－|x－4|<a的解集不是空集， 則(|x－3|－|x－4|)min<a. 由圖象可知當(dāng)a>－1時，不等式的解集不是空集． 即實數(shù)a的取值范圍是(－1，＋∞)． 2．設(shè)x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實數(shù)λ的最小值． 解　∵x>0，y>0，∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋. ∵2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立．∴[(＋)(x＋y)]min＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即實數(shù)λ的最小值是－4. 3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)y＝|2x－1|＋|x＋2| ＝ 當(dāng)x<－2時，y＝－3x－1>5； 當(dāng)－2≤x<時，y＝－x＋3>； 當(dāng)x≥時，y＝3x＋1≥， 故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為. 因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，所以≥a2＋a＋2. 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤， 故a的取值范圍為[－1，]． 4．設(shè)不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集為A，且∈A，?A， (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值． 解　(1)因為∈A，且?A， 所以<a，且≥a， 解得<a≤. 又因為a∈N*， 所以a＝1. (2)因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)(x－2)≤0， 即－1≤x≤2時取到等號， 所以f(x)的最小值為3. 5．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集為M. (1)求M； (2)當(dāng)a，b∈M時，證明：2|a＋b|<|4＋ab|. (1)解　f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝ 當(dāng)x<－1時， 由－2x<4，得－2<x<－1； 當(dāng)－1≤x≤1時，f(x)＝2<4； 當(dāng)x>1時， 由2x<4，得1<x<2. ∴綜上可得－2<x<2，即M＝(－2,2)． (2)證明　∵a，b∈M， 即－2<a<2，－2<b<2， ∴4(a＋b)2－(4＋ab)2 ＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2) ＝(a2－4)(4－b2)<0， ∴4(a＋b)2<(4＋ab)2， ∴2|a＋b|<|4＋ab|. 6．已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在實數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，求實數(shù)x的取值范圍． 解　由柯西不等式知 [12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)2] ≥(1a＋b＋c)2 即6(a2＋2b2＋3c2)≥ (a＋2b＋3c)2. 又∵a2＋2b2＋3c2＝6， ∴66≥(a＋2b＋3c)2， ∴－6≤a＋2b＋3c≤6， ∵存在實數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立． ∴|x＋1|<6，∴－7<x<5. ∴x的取值范圍是{x|－7<x<5}． 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化為不等式組 或 即或 因為a>0，所以不等式組的解集為{x|x≤－}． 由題設(shè)可得－＝－1， 故a＝2. 8．(xx課標(biāo)全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時， f(x)>1化為|x＋1|－2|x－1|－1>0. 當(dāng)x≤－1時，不等式化為x－4>0，無解； 當(dāng)－1<x<1時， 不等式化為3x－2>0，解得<x<1； 當(dāng)x≥1時， 不等式化為－x＋2>0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集為. (2)由題設(shè)可得，f(x)＝ 所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC的面積為(a＋1)2. 由題設(shè)得(a＋1)2>6， 故a>2. 所以a的取值范圍為(2，＋∞)．