2019-2020年高三12月月考 數(shù)學試題.doc

2019-2020年高三12月月考 數(shù)學試題 注意事項： 1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘． 2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答題紙的密封線內(nèi)．試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題紙． 參考公式： 1．樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi． 2．球的表面積S＝4πR2，其中R為球的半徑． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分． 1．已知命題p："x∈R，x2－x＋1＞0，則命題p是 ． 2．設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∪B＝ ． 3．設(shè)復數(shù)z1＝1－2i，z2＝x＋i(x∈R)，若z1z2為實數(shù)，則x＝ ． 4．一個正四面體的四個面分別涂有紅、黃、藍、白四種顏色，若隨機投擲該四面體兩次，則兩次底面顏色相同的概率是 ． a←5，s←1 s←sa a←a－1 結(jié)束 a≥4 否 是 開始 輸出s （第6題圖） 5．有一組樣本數(shù)據(jù)8，x，10，11，9，已知它們的平均數(shù)為10，則這組數(shù)據(jù)的方差s2＝ ． 6．在如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果是 ． 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋n－1，則a1＋a3＝ ． 8．已知圓(x－2)2＋y2＝1經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率為 ． 9．將函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象上所有的點向左平移個單位，再將圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），則所得圖象的函數(shù)解析式為y＝ ． 10．已知正四棱柱的底面邊長為2，高為3，則該正四棱柱的外接球的表面積為 ． A B C D （第11題圖） 11．如圖，平面四邊形ABCD中，若AC＝，BD＝2，則(＋)(＋)＝ ． 12．若不等式4x－2x＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 ． 13．若f(n)為n2＋1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如142＋1＝197，1＋9＋7＝17，則f(14)＝17．記f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2011(8)＝ ． 14．已知f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋x－a，若存在x0∈[－1，](a＞0)，使得f(x0)＜g(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是 ． 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，－cosA)，且m⊥n． （1）求角A； （2）若b＋c＝a，求sin(B＋)的值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中點． O M D A B C （第16題圖） （1）求證：MC//平面OAB； （2）求證：BD⊥OA． 17．（本小題滿分14分） 某工廠去年新開發(fā)的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元的科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元，預(yù)計產(chǎn)量每年遞增10萬只，投入n次后，每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)＝（k為常數(shù)，n∈Z且n≥0）．若產(chǎn)品銷售價保持不變，第n次投入后的年純利潤為f(n)萬元（年純利潤＝年收入－年固定成本－年科技成本）． （1）求k的值，并求出f(n)的表達式； （2）問從今年起，第幾年純利潤最高？最高純利潤為多少萬元？ 18．（本小題滿分16分） 如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x＝4，右焦點F到它的距離為2． （1）求橢圓的標準方程； （2）設(shè)圓C經(jīng)過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程． x y O l F C （第18題圖） 19．（本小題滿分16分） 記公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋． （1）求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn； （2）記bn＝an－，若自然數(shù)n1，n2，…，nk，…滿足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比數(shù)列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）； （3）試問：在數(shù)列{an}中是否存在三項ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由． 20．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xlna(a＞0，a≠1)． （1）當a＞1時，求證：函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； （2）若函數(shù)y＝|f(x)－t|－1有三個零點，求t的值； （3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，試求a的取值范圍． 附 加 題 注意事項： 1．附加題供選修物理的考生使用． 2．本試卷共40分，考試時間30分鐘． 3．答題前，考生務(wù)必將學校、姓名、準考證號寫在答題紙的對應(yīng)位置．答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，請交回答題紙． 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．請在答題紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． P C A D B O A．選修4－1：幾何證明選講 如圖，PA切⊙O于點，D為的中點，過點D引割線交⊙O于、兩點．求證：． B．選修4—2：矩陣與變換 設(shè)M＝，N＝，試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的曲線方程． C．選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在極坐標系中，圓C的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長． D．選修4—5：不等式選講 解不等式：|2x＋1|－|x－4|＜2． 【必做題】第22、23題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)． 22．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB1＝3，D為A1C1的中點，F(xiàn)在線段AA1上． （1）AF為何值時，CF⊥平面B1DF？ （2）設(shè)AF＝1，求平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值． A B C C1 B1 A1 F D （第22題圖） 23．一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n(n∈N*)個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是．現(xiàn)從袋中任意摸出2個球． （1）若n＝15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是，設(shè)表示摸出的2個球中紅球的個數(shù)，求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望； （2）當n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少？ 參考答案 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分． 1．$x∈R，x2－x＋1≤0 2．[－1，4] 3． 4． 5．2 6．20 7．7 8． 9．sin(x＋) 10．17π 11．1 12．(－∞，－1] 13．11 14．(0，) 二、解答題：本大題共6小題，共計90分． 15．解：（1）因為m⊥n，所以mn＝0，即sinA－cosA＝0．………………………2分 所以sinA＝cosA，得tanA＝．…………………………………………………………4分 又因為0＜A＜π，所以A＝．………………………………………………………………6分 （2）（解法1）因為b＋c＝a，由正弦定理得sinB＋sinC＝sinA＝．………………8分 因為B＋C＝，所以sinB＋sin(－B)＝．………………………………………………10分 化簡得sinB＋cosB＝，…………………………………………………………………12分 從而sinB＋cosB＝，即sin(B＋)＝．……………………………………………14分 （解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA，即b2＋c2－a2＝bc ①．……………8分 又因為b＋c＝a ②， 聯(lián)立①②，消去a得2b2－5bc＋2c2＝0，即b＝2c或c＝2b．……………………………10分 若b＝2c，則a＝c，可得B＝；若c＝2b，則a＝b，可得B＝．………………12分 所以sin(B＋)＝．…………………………………………………………………………14分 16．證明：（1）設(shè)N是OA的中點，連結(jié)MN，NB． 因為M是OD的中點，所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分 又AD//BC，AD＝2BC， 所以四邊形BCMN是平行四邊形，從而MC//NB．…………………………………………4分 又MC平面OAB，NB平面OAB， 所以MC//平面OAB；…………………………………………………………………………7分 （2）設(shè)H是BD的中點，連結(jié)AH，OH． 因為AB＝AD，所以AH⊥BD． 又因為OB＝OD，所以O(shè)H⊥BD．……………………………………………………………9分 因為AH平面OAH，OH平面OAH，AH∩OH＝H， 所以BD⊥平面OAH．………………………………………………………………………12分 因為OA平面OAH，所以BD⊥OA．……………………………………………………14分 17．解：（1）由題意當n＝0時，g(0)＝8，可得k＝8．…………………………………2分 所以， 即，n∈Z且n≥0．……………………………………………7分 （2）（解法1）由 ，…………………………………………………11分 當且僅當，即n＝8時取等號，…………………………………………13分 所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元．………………………………………14分 （解法2）令，x≥0， 則，令，解得x＝8．…………………………………………9分 當x∈(0，8)，，y遞增；當x∈(8，＋∞)，，y遞減．…………………11分 所以當x＝8時，y有最大值，即當n＝8時，f(n)有最大值f(8)＝520．…………………13分 所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元．………………………………………14分 18．解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． 由題意可得，………………………………………………………………………2分 解得a＝2，c＝2．…………………………………………………………………………4分 從而b2＝a2－c2＝4． 所以橢圓的標準方程為＋＝1．……………………………………………………………6分 （2）設(shè)圓C的方程為(x－m)2＋(y－n)2＝r2，r＞0． 由圓C經(jīng)過點F(2，0)，得(2－m)2＋n2＝r2， ①……………………………7分 由圓C被l截得的弦長為4，得|4－m|2＋()2＝r2， ②……………………………8分 聯(lián)立①②，消去r得：n2＝16－4m．………………………………………………………10分 所以O(shè)C＝＝＝．……………………………………12分 因為由n2≥0可得m≤4， 所以當m＝2時，OC長有最小值2．……………………………………………………14分 此時n＝2，r＝2，故所求圓C的方程為(x－2)2＋(y2)2＝8．………………16分 19．解：（1）因為a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋，所以d＝2．…………………2分 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋，……………………………………………………………3分 Sn＝＝n2＋(＋1)n．………………………………………………………………5分 （2）因為bn＝an－＝2n，所以＝2nk．………………………………………………7分 又因為數(shù)列{}的首項＝，公比，所以．…………9分 所以2nk，即nk．……………………………………………………………10分 （3）假設(shè)存在三項ar，as，at成等比數(shù)列，則， 即有，整理得．…………12分 若，則，因為r，s，t∈N*，所以是有理數(shù)，這與為無理數(shù)矛盾；………………………………………………………………………………14分 若，則，從而可得r＝s＝t，這與r＜s＜t矛盾． 綜上可知，不存在滿足題意的三項ar，as，at．……………………………………………16分 20．解：（1）．……………………………3分 由于，故當時，，所以， 故函數(shù)在上單調(diào)遞增．…………………………………………………………5分 （2）當時，因為，且在R上單調(diào)遞增， 故有唯一解．…………………………………………………………………7分 所以的變化情況如下表所示： x 0 － 0 ＋ 遞減 極小值 遞增 又函數(shù)有三個零點，所以方程有三個根， 而，所以，解得．…………………………10分 （3）因為存在，使得， 所以當時，．………11分 由（2）知，在上遞減，在上遞增， 所以當時，．………12分 而， 記，因為（當時取等號）， 所以在上單調(diào)遞增． 而，故當時，；當時，．即當時，； 當時，．……………………………………………………………14分 ①當時，由； ②當時，由． 綜上可知，所求的取值范圍為．…………………………………16分 附加題參考答案 21．【選做題】 A．證明：因為與圓相切于， 所以， ………………………………………………………2分 因為D為PA中點，所以DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 ． ………………………………………………………5分 因為， 所以∽， …………………………………………8分 所以． ………………………………………………10分 B．MN=, ………………………………………………………4分 設(shè)是曲線上的任意一點，在矩陣MN變換下對應(yīng)的點為． 則，所以即 …………………………………8分 代入得：，即． 即曲線在矩陣MN變換下的曲線方程為． ……………………10分 C．曲線C的極坐標方程， 化為直角坐標方程為即 ．…………………3分 直線為參數(shù)）可化為，………………………………6分 圓心到直線的距離，…………………………………………8分 弦長．………………………………………………………………10分 D．當x≥4時，2x＋1－x＋4＜2，解得x＜－3（舍去）；………………………………3分 當－≤x＜4時，2x＋1＋x－4＜2，解得x＜，∴－≤x＜；…………………………6分 當x＜－時，－2x－1＋x－4＜2，解得x＞－7，∴－7＜x＜－．……………………9分 綜上，不等式的解集為（－7，）．…………………………………………………………10分 22．解：（1）因為直三棱柱ABC－A1B1C1中，以B點為原點，BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系. 因為AC＝2，∠ABC＝90，所以AB＝BC＝， A B C C1 B1 A1 F D x y z 從而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E． 所以， 設(shè)AF＝x，則F(，0，x)， . ，所以 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F. 由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2， 故當AF＝1或2時，CF⊥平面B1DF．…………………………………………………… 5分 （2）由（1）知平面ABC的法向量為n1=（0，0，1）． 設(shè)平面B1CF的法向量為，則由得 令z=1得， 所以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值10分 23．解：（1）設(shè)袋中黑球的個數(shù)為x(個)，記“從袋中任意摸出一個球，得到黑球”為事件A，則，∴x＝6． 設(shè)袋中白球的個數(shù)為y(個)，記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件B，則，∴y2－29y＋120＝0， ∴y＝5或y＝24（舍） ∴紅球的個數(shù)為4(個)． …………………………………………………………………3分 0 1 2 ∴隨機變量的取值為0，1，2，的分布列是 數(shù)學期望＝．………………………………………………6分 （2）設(shè)袋中有黑球z個，則…）．設(shè)“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個黑球”為事件C， 則， 當n＝5時，最大，最大值為．……………………………………………………10分