（廣東專用）2014高考數學第一輪復習用書 第63課 橢圓及其標準方程 文

第十章 圓錐曲線 第63課 橢圓及其標準方程 1．（2012哈爾濱質檢）設、分別是橢圓的左、右焦點，是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點的橫坐標為（ ） A．1 B． C． D. 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，， 設，∵，∴ ， 即 ， ∴ ． 又 ∵ ，∴， 解得 ，∵，∴． ∵，∴． 2．（2012萊蕪質檢）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上任意一點，則最小值為（ ） A． 　　 B． 　 C． 　 D． 【答案】A 【解析】由已知可得，設，則 ， ∵， ∴時，取得最小值． 3．（2012上海閘北質檢）橢圓的左、右焦點分別是，，過的直線與橢圓相交于，兩點，且，，成等差數列． （1）求證：； （2）若直線的斜率為1，且點在橢圓上，求橢圓的方程． 【解析】（1）由題設，得， 由橢圓定義， ∴． （2）由點在橢圓上， 可設橢圓的方程為， 設，，， ：， 由，得，（*） 則 ， ∴， 解得， ∴橢圓的方程為． 4．已知、分別是橢圓的左右兩個焦點，為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點為線段的中點． （1）求橢圓的標準方程； （2）點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于，求的值． 【解析】（1）∵點為線段的中點， ∴是的中位線， 又，∴， ∴，解得， ∴橢圓的標準方程為． （2）∵點在橢圓上，、是橢圓的兩個焦點， ∴，， 在，由正弦定理，， ∴． 5．（2012北京石景山一模）已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為． （1）求橢圓的方程； （2）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為，求直線的方程． 【解析】（1）由題意得 ，解得． ∴橢圓方程為． （2）當直線與軸垂直時，， 此時不符合題意故舍掉； 當直線與軸不垂直時， 設直線的方程為：， 由，得 ． 設 ，則 ， ∴ ， 由， ∴直線，或． 6． (2013揭陽聯考) 如圖，在中，，，以、為焦點的橢圓恰好過的中點. （1）求橢圓的標準方程； （2）過橢圓的右頂點作直線與圓相交于、兩點，試探究點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由. 【解析】（1）∵，∴ ， ∴，∴， ∴， ， ∴ ，∴， 又，∴， ∴橢圓的標準方程為 （2）橢圓的右頂點，圓圓心為，半徑. 假設點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，則， 圓心到直線的距離. 當直線斜率不存在時，的方程為， 此時圓心到直線的距離（符合）， 當直線斜率存在時， 設的方程為，即， ∴圓心到直線的距離 ，無解. 綜上：點M、N能將圓分割成弧長比值為 的兩段弧，此時方程為. 5