1743944668江蘇省南京市高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)試題及答案

南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試--數(shù)學(xué) 參考公式 樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差s2＝ ∑n∑n(xi－)2，其中＝ ∑n∑nxi． 錐體的體積公式：V＝13Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高． 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上） 1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，則A∩B＝▲________． 2．已知復(fù)數(shù)z滿足：z(1－i)＝2＋4i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為▲________． 3. 某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數(shù)分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組數(shù)據(jù)的方差為▲________． 4．從2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)白球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，則兩球顏色不同的概率是▲________． 5．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且 a∥(2a＋b)，則實(shí)數(shù)m的值為▲________． 6．如圖，它是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的k值為▲________． 7．如圖，它是函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋j)(A＞0，w＞0，j[0，2p) )圖象的一部分，則f (0)的值為▲________． 8．已知雙曲線－＝1 (a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程為2x－y＝0，則該雙曲線的離心率為▲________． 9．直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，E為棱CC1的中點(diǎn)，則三棱錐A1－B1C1E的體積 為▲________ 10．對(duì)于直線l，m，平面α，mα，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的▲________條件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選填一個(gè)）． 11．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函數(shù)f(x)在(1，2)上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為▲________． 12．已知平行四邊形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60．若E為DC中點(diǎn)，且＝1，則的值為▲________． 13．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，其前n項(xiàng)和為Sn．若S4＝2S2＋1，則S6的最小值為▲________． 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長(zhǎng) 為▲________． 二、解答題（本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 15．（本小題滿分14分） 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB＝bcosA． （1）求的值； （2）若sinA＝，求sin(C－)的值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)． （1）求證：PC // 平面BDE； （2）若PC⊥PA，PD＝AD，求證：平面BDE⊥平面PAB． 17．（本小題滿分14分） 某市對(duì)城市路網(wǎng)進(jìn)行改造，擬在原有a個(gè)標(biāo)段（注：一個(gè)標(biāo)段是指一定長(zhǎng)度的機(jī)動(dòng)車道）的基礎(chǔ)上，新建x個(gè)標(biāo)段和n個(gè)道路交叉口，其中n與x滿足n＝ax＋5．已知新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)為m萬(wàn)元，新建一個(gè)道路交叉口的造價(jià)是新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)的k倍． （1）寫(xiě)出新建道路交叉口的總造價(jià)y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）設(shè)P是新建標(biāo)段的總造價(jià)與新建道路交叉口的總造價(jià)之比．若新建的標(biāo)段數(shù)是原有標(biāo)段數(shù)的20%，且k≥3．問(wèn)：P能否大于，說(shuō)明理由． 18．（本小題滿分16分） 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準(zhǔn)線方程為x = 2．過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q． （1）求橢圓的方程； （2）若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)． 19．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R． （1）若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，求b的值； （2）設(shè)T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間； （3）設(shè)h(x)＝|g(x)|f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(huán)(x2)|＞1成立，求b的取值范圍． 20．（本小題滿分16分） 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16． （1）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； （2）設(shè)Tn＝(－1)iai，若對(duì)一切正整數(shù)n，不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1 恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍； （3）是否存在正整數(shù)m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，說(shuō)明理由． 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題 2015.09 注意事項(xiàng)： 1．附加題供選修物理的考生使用． 2．本試卷共40分，考試時(shí)間30分鐘． 3．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫(xiě)在答題紙上．試題的答案寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題紙． 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只要選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． A．選修4—1：幾何證明選講 在圓O中，AB，CD是互相平行的兩條弦，直線AE與圓O相切于點(diǎn)A，且與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求證：AD2＝ABED． B．選修4－2：矩陣與變換 已知點(diǎn)P(3，1)在矩陣A＝變換下得到點(diǎn)P′(5，－1)．試求矩陣A和它的逆矩陣A． C．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)，m為常數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)=．若直線l與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． D．選修4－5：不等式選講 設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋5y＋z＝9，求x＋y＋z的最小值． 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為．現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完．設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求： （1）X的概率分布； （2）數(shù)學(xué)期望E(X)． 23．（本小題滿分10分） 如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD． （1）求異面直線DF與BE所成角的余弦值； （2）求二面角A－DF－B的大小． 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2015.09 說(shuō)明： 1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分． 1．{2} 2． 3．0.032 4． 5．2 6．5 7． 8． 9． 10．必要不充分 11．(，4) 12．3 13．2＋3 14． 二、解答題：本大題共6小題，共90分． 15．解：（1）由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA， …………………………………3分 即sin(A－B)＝0． 因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0， 所以a＝b，即＝1． ………………………………………………………………………6分 （2）因?yàn)閟inA＝，且A為銳角，所以cosA＝． ………………………………………8分 所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝， ………………………………………10分 cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．…………………………………………12分 所以sin(C－)＝sinCcos－cosCsin＝．……………………………………………14分 16．證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OE． 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC．…………………………………………………2分 因?yàn)?E為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC．…………………………………………………4分 因?yàn)镻C平面BDE，OE平面BDE，所以PC // 平面BDE．……………………………6分 （2）因?yàn)镋為PA中點(diǎn)，PD＝AD，所以PA⊥DE．………………………………………8分 因?yàn)镻C⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE． 因?yàn)镺E平面BDE，DE平面BDE，OE∩DE＝E， 所以PA⊥平面BDE．………………………………12分 因?yàn)镻A平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB． ………………………………14分 17．解：（1）依題意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*． …………………………………………4分 （2）方法一 依題意x＝0.2a． ……………………………………………………6分 所以P＝＝＝＝ …………………………………………8分 ≤＝≤＝＜． ……………………………………13分 答：P不可能大于． ……………………………………………………14分 方法二 依題意x＝0.2a． ……………………………………………………6分 所以P＝＝＝＝．…………………………………………8分 假設(shè)P＞，得ka2－20a＋25k＜0． …………………………………………10分 因?yàn)閗≥3，所以△＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0無(wú)解．……………………13分 答：P不可能大于． ……………………………………………………14分 18．解： ⑴因?yàn)椋剑?= 2， 所以a＝，c＝1，所以b＝＝１． 故橢圓的方程為＋y2＝1． ………………………………………………4分 ⑵解法一 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1， – y1)． 因?yàn)閗AP＝＝，所以直線AP的方程為y＝x＋1． 令y = 0，解得m＝－. ………………………………………………8分 因?yàn)閗AQ＝＝－，所以直線AQ的方程為y＝－x＋1． 令y＝0，解得n＝． ………………………………………………12分 所以mn＝ ＝． ………………………………………………14分 又因?yàn)?x1，y1)在橢圓+ y2 = 1上，所以1 + y= 1，即1－y= 1， 所以＝2，即mn＝2． 所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2． ………………………………………………16分 解法二 設(shè)直線AP的斜率為k(k≠0)，則AP的方程為y = kx +1， 令y = 0，得m＝－． ………………………………………………6分 聯(lián)立方程組 消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP =－， ………………………8分 所以yP＝kxP＋1＝， 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－)． ………………………………………………10分 所以kAQ＝＝，故直線AQ的方程為y＝x＋1． 令y＝0，得n＝－2k， ………………………………………………14分 所以mn＝(－)(－2k)＝2． 所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2． ………………………………………………16分 19．解：(1)設(shè)切點(diǎn)為(t，et)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切， 所以et＝1，且et＝t－b， 解得b＝－1． …………………………………………………2分 （2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a． 當(dāng)a≥0時(shí)，T′(x)＞0恒成立． ………………………………………………4分 當(dāng)a＜0時(shí)，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)． ………………………………………………6分 所以，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln(－a)，＋∞)． ……………………………8分 （3) h(x)＝|g(x)|f(x)＝ 當(dāng)x>b時(shí)，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上為增函數(shù)； 當(dāng)x<b時(shí)，h′(x)＝－(x－b＋1) ex， 因?yàn)閎－1＜x＜b時(shí)，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是減函數(shù)； 因?yàn)閤＜b－1時(shí)， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函數(shù)． ……………………………10分 ① 當(dāng)b≤0時(shí)，h(x)在(0，1)上為增函數(shù)． 所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b． 由h(x)max－h(huán)(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0． ……………………………12分 ②當(dāng)0＜b＜時(shí)， 因?yàn)閎＜x＜1時(shí)， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函數(shù)， 因?yàn)?＜x＜b時(shí)， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是減函數(shù)． 所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0． 由h(x) max－h(huán)(x) min＞1，得b＜． 因?yàn)?＜b＜，所以0＜b＜． ……………………………14分 ③當(dāng)≤b＜1時(shí)， 同理可得，h(x)在(0，b)上是減函數(shù)，在(b，1)上是增函數(shù)． 所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0． 因?yàn)閎＜1，所以h(x)max－h(huán)(x)min＞1不成立． 綜上，b的取值范圍為(－∞，)． ………………………………………16分 20．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d． 因?yàn)?a5－a3＝13，S4＝16， 所以解得a1＝1，d＝2，……………………………………………2分 所以an＝2n－1，Sn ＝n2． ……………………………………………4分 (2)①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k，k∈N*， 則T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k． ……………………………………………5分 代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1 ，得λ2k＜4k，從而λ＜． 設(shè)f(k)＝，則f(k＋1)－f(k)＝－＝． 因?yàn)閗∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是遞增的，所以f(k)min＝2， 所以λ＜2． ……………………………………………7分 ②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k－1，k∈N*， 則T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k． ……………………………………………8分 代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]2n－1 ，得λ(1－2k)＜(2k－1)4k， 從而λ＞－4k． 因?yàn)閗∈N*，所以－4k的最大值為－4，所以λ＞－4． 綜上，λ的取值范圍為－4＜λ＜2． ……………………………………………10分 (3)假設(shè)存在正整數(shù)m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數(shù)列， 則(Sm－S2)2＝S2(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)， 所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12， ……………………………………………12分 即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12． ……………………………………………14分 因?yàn)閚＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15． 因?yàn)?n－m2＋2是整數(shù)，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立， 故不存在正整數(shù)m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比數(shù)列． ………………16分 南京市2016屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2015.09 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分． A．選修4—1：幾何證明選講 證明：連接BD， 因?yàn)橹本€AE與圓O相切，所以∠EAD＝∠ABD．……………………………………………4分 又因?yàn)锳B∥CD， 所以∠BAD＝∠ADE， 所以△EAD∽△DBA． …………………………………………………………8分 從而＝，所以AD2＝ABED． …………………………………………………………10分 B．選修4—2：矩陣與變換 解：依題意得 1＝3b－1＝－1，……………………………………………………2分 所以解得 所以A＝． ……………………………………………………6分 因?yàn)閐et(A)＝＝1(－1)－02＝－1，………………………………………………8分 所以A＝． …………………………………………………10分 C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：圓C的普通方程為(x－m)2＋y2＝4． …………………………………………………………2分 直線l的極坐標(biāo)方程化為ρ (cosθ＋sinθ)＝， 即x＋y＝，化簡(jiǎn)得x＋y－2＝0． ………………………………………………………4分 因?yàn)閳AC的圓心為C(m，0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d＝， 所以d＝＜2， …………………………………………………………8分 解得2－2＜m＜2＋2． ………………………………………………………10分 D．選修4—5：不等式選講 解：由柯西不等式得(x＋y＋z)(12＋52＋12)≥(1x＋5y＋1z)2． ……………………………6分 因?yàn)閤＋5y＋z＝9，所以x＋y＋z≥3， …………………………………………………8分 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝時(shí)取等號(hào)． 所以x＋y＋z的最小值為3． …………………………………………………………10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分． 22．解：耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，4． 當(dāng)X＝1時(shí)，表示射擊一次，命中目標(biāo)，則P(X＝1)＝； 當(dāng)X＝2時(shí)，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，則P(X＝2)＝(1－)＝；………2分 當(dāng)X＝3時(shí)，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，則P(X＝3)＝(1－)(1－) ＝； ……………………………………4分 當(dāng)X＝4時(shí)，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中， 則P(X＝4)＝(1－)(1－)(1－)＋(1－)(1－)(1－)(1－)＝． X 1 2 3 4 P X的概率分布為 …………………………………………………………6分 (2)E(X)＝1＋2＋3+4＝． …………………………………………………10分 23．解：⑴以{，，}為正交基底，建立如圖空間直角坐標(biāo)系C－xyz， 則D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)， 所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，………………2分 從而cos<，>＝＝－． ……………………4分 所以直線DF與BE所成角的余弦值為．…………………5分 (2)平面ADF的法向量為m＝＝ (，0，0).……………6分 設(shè)面BDF的法向量為n = (x，y，z)．又＝(，0，1)． 由n＝0，n＝0， 得y＋z＝0，x＋z＝0， 取x＝1，則y＝1，z＝–，所以n = (1，1，－)，………………………………………8分 所以cos<m，n>＝＝． 又因?yàn)?lt;m，n>∈[0，p]，所以<m，n>＝． 所以二面角A – DF – B的大小為． …………………………………………………………10分