2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時作業(yè) 文.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用課時作業(yè) 文 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項，則數(shù)列{bn}的公比為(　　) A.　　　　　　　　　 B．4 C．2 D. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝＝2. 答案：C 2．已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則＝(　　) A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q， ∴q2－2q－1＝0，解得q＝1＋或q＝1－(舍去)． ∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，故選C. 答案：C 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k項滿足750<ak<900，則k等于(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)， 得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)， 又a2＝3S1＝3，∴an＝ 又750<ak<900，驗證得k＝6. 答案：C 4．(xx年海淀模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值為(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 解析：由a－a＝1(n∈N*)知，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則a＝1＋(n－1)1＝n，由an<5得<5，∴n<25，故選C. 答案：C 5．設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是(　　) A．若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項 B．若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N*，均有Sn>0 D．若對任意n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 解析：設(shè){an}的首項為a1，則Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函數(shù)性質(zhì)知Sn有最大值時，則d<0，故A、B正確；因為{Sn}為遞增數(shù)列，則d>0，不妨設(shè)a1＝－1，d＝2，顯然{Sn}是遞增數(shù)列，但S1＝－1<0，故C錯誤；對任意n∈N*，Sn均大于0時，a1>0，d>0，{Sn}必是遞增數(shù)列，D正確． 答案：C 二、填空題 6．從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒________次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%. 解析：設(shè)倒n次后純酒精與總?cè)芤旱捏w積比為an， 則an＝n，由題意知n<10%，∴n≥4. 答案：4 7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為d，若<－1，且它的前n項和Sn有最大值，則使得Sn<0的n的最小值為________． 解析：根據(jù)Sn有最大值知，d<0，則a10>a11，由<－1知，a10>0>a11， 且a11<－a10即a10＋a11<0，從而S19＝＝19a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0， 則使Sn<0的n的最小值為20. 答案：20 8．設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則xn＝________，令an＝lg xn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________． 解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn， 它在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn＝1－＝， 由an＝lg xn得an＝lg n－lg(n＋1)， 于是a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：?。? 三、解答題 9．已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通項公式； (2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則題意知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)． 因為a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，所以a＝a1Sk＋2. 從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0， 解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6. 10．(xx年武漢模擬)某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少．從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%. (1)求第n年初M的價值an的表達(dá)式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則需在第n年初對M更新．證明：需在第9年初對M更新． 解析：(1)當(dāng)n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列，an＝120－10(n－1)＝130－10n； 當(dāng)n≥7時，數(shù)列{an}是以a6為首項，公比為的等比數(shù)列，又a6＝70，所以an＝70n－6. 因此，第n年初，M的價值an的表達(dá)式為 an＝ (2)證明：設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n； 當(dāng)n≥7時，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704＝780－210n－6，An＝. 因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列，又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80， 所以需在第9年初對M更新． B組　高考題型專練 1．(xx年高考湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式． (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2,2＋d,2＋4d成等比數(shù)列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)， 化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 當(dāng)d＝0時，an＝2； 當(dāng)d＝4時，an＝2＋(n－1)4＝4n－2， 從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2. (2)當(dāng)an＝2時，Sn＝2n. 顯然2n＜60n＋800， 此時不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立． 當(dāng)an＝4n－2時， Sn＝＝2n2， 令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0， 解得n＞40或n＜－10(舍去)， 此時存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值為41. 綜上，當(dāng)an＝2時，不存在滿足題意的n； 當(dāng)an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41. 2．已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)證明Sn＋≤(n∈N*)． 解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. 又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝n－1＝(－1)n－1. (2)證明：Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S1＋＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，所以Sn＋≤S2＋＝. 故對于n∈N*，有Sn＋≤. 3．(xx年高考四川卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項和Sn. 解析：(1)證明：由已知，bn＝2an>0， 當(dāng)n≥1時，＝2an＋1－an＝2d. 所以，數(shù)列{bn}是首項為2a1，公比為2d的等比數(shù)列． (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在x軸上的截距為a2－. 由題意，a2－＝2－. 解得a2＝2. 所以，d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n4n. 于是，Sn＝14＋242＋343＋…＋(n－1)4n－1＋n4n， 4Sn＝142＋243＋…＋(n－1)4n＋n4n＋1. 因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n4n＋1 ＝－n4n＋1 ＝. 所以，Sn＝.