2020--2021學(xué)年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章 《平行線(xiàn)與相交線(xiàn)》壓軸培優(yōu)（一）

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章 《平行線(xiàn)與相交線(xiàn)》 壓軸培優(yōu)（一） 1．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC． （1）求證：∠COF＝∠EOG； （2）若∠BOD＝32，求∠EOG的度數(shù)． 2．已知AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B． （1）如圖1，直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，求證：∠ABD＝∠C； （3）如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)． 3．如圖，AC∥FE，∠1+∠3＝180． （1）判定∠FAB與∠4的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于點(diǎn)E，∠4＝78，求∠BCD的度數(shù)． 4．如圖，直線(xiàn)PQ∥MN，點(diǎn)C是PQ、MN之間（不在直線(xiàn)PQ，MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）若∠1與∠2都是銳角，如圖甲，寫(xiě)出∠C與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明原因； （2）若把一塊三角尺（∠A＝30，∠C＝90）按如圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線(xiàn)的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數(shù)； （3）將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線(xiàn)之間，點(diǎn)G在線(xiàn)段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 5．如圖，已知AM∥BN，∠A＝64．點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，D． （1）∠ABN的度數(shù)是　 　，∠CBD的度數(shù)是　 ??； （2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律； （3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB＝∠ABD時(shí)，∠ABC的度數(shù)是多少？ 6．如圖，BD平分∠ABC，F(xiàn)在AB上，G在AC上，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，∠3+∠4＝180，試說(shuō)明∠1＝∠2．（請(qǐng)通過(guò)填空完善下列推理過(guò)程） 解：∵∠3+∠4＝180（已知），∠FHD＝∠4（　 ?。? ∴∠3+　 ?。?80（等量代換）． ∴FG∥BD（　 ?。? ∴∠1＝　 　（　 ?。? ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝　 ?。ā? ?。? ∴∠1＝∠2（　 　）． 7．【問(wèn)題】如圖①．線(xiàn)段AB＝10cm，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)（請(qǐng)寫(xiě)出說(shuō)理步驟）． 【拓展】如圖①，線(xiàn)段AB＝acm．點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從N分別是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)，則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為　 　cm．（用含字母a的代數(shù)式表示） 【應(yīng)用】（1）如圖②，∠AOB＝α，射線(xiàn)OC是∠AOB內(nèi)部任一射線(xiàn)，射線(xiàn)OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC，則∠MON的大小為　 　（用含字母α的代數(shù)式表示）； （2）如圖③，AM∥BN，∠A＝68，點(diǎn)P是射線(xiàn)AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP、∠PBN，分別交射線(xiàn)AM于點(diǎn)C，D．求∠ACB與∠ADB的差． 8．一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行． 如圖2：當(dāng)角∠CAE＝60時(shí)，BC∥DE． 求其它所有可能符合條件的角∠CAE（0＜∠CAE＜180）的度數(shù)，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形并證明． 9．已知∠DCB＝∠DBC，BC平分∠ABE，AC平分∠BAF，AF∥BE． （1）求證：CD∥BE； （2）求∠ACB的度數(shù)． 10．直線(xiàn)EF、GH之間有一個(gè)Rt△ABC，其中∠BAC＝90，∠ABC＝α． （1）如圖①，點(diǎn)A在直線(xiàn)EF上，點(diǎn)B、點(diǎn)C在直線(xiàn)GH上，若∠α＝60，∠FAC＝30．求證：EF∥GH； （2）將三角形ABC如圖②放置，點(diǎn)C、B分別在直線(xiàn)EF、GH上，直線(xiàn)EF∥GH，試探索∠FCA、∠A、∠ABH三者之間的數(shù)量關(guān)系； （3）如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，若BC平分∠ABH，CD平分∠FCA交直線(xiàn)GH于點(diǎn)D．試探索在α取不同數(shù)值時(shí)，∠BCD的大小是否發(fā)生變化？若不變求其值，若變化指出其變化范圍． 11．如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，連接DE （1）若∠1＝∠2，求證：DE∥BC； （2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線(xiàn)DE與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，若∠DCB＝α，∠M＝β，則∠FED的度為　 　（用含α，β的式子表示）． 12．在下列解題過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（推理的理由或數(shù)學(xué)表達(dá)式） 如圖，已知AB∥CD，BE，CF分別平分∠ABC和∠DCB，求證：BE∥CF． 證明：∵AB∥CD（已知） ∴∠EBC＝∠ABC（角的平分線(xiàn)定義） 同理，∠FCB＝∠BCD ∴∠EBC＝∠FCB（等式性質(zhì)） ∴BE∥CF（　 ?。? 13．（1）如圖1，AC平分∠DAB，AB∥CD，求證：∠1＝∠2； （2）如圖2，在（1）的條件下，AB的下方兩點(diǎn)E、F滿(mǎn)足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB＝25，∠CDE＝80，求∠ABE的度數(shù)； （3）在前面的條件下，若P是BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，如圖3，則∠MGN＝　 ?。? 14．點(diǎn)D在∠ABC內(nèi)，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接DE、CD． （1）如圖1，連接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求證：AB∥CD； （2）在（1）的結(jié)論下，若過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)MA∥ED，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，猜想并驗(yàn)證∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系． 15．如圖1，將線(xiàn)段AB平移至DC，使點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，連接AD、BC． （1）填空：AB與CD的位置關(guān)系為　 　，BC與AD的位置關(guān)系為　 ?。? （2）如圖2，若G、E為射線(xiàn)DC上的點(diǎn)，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直線(xiàn)CD于F，且∠FAG＝30，求∠B的度數(shù)． 參考答案 1．（1）證明：∵OF⊥OE，OG⊥OC， ∴∠FOE＝∠COF+∠COE＝90，∠COG＝∠EOG+∠COE＝90， ∴∠COF＝∠EOG； （2）解：∵∠BOD＝32， ∴∠BOC＝180﹣32＝148， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOC＝74， ∵∠COG＝90， ∴∠EOG＝∠COG﹣∠COE＝16． 2．解： （1）如圖1， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90， ∴∠A+∠AOB＝90， ∠A+∠C＝90， 故答案為：∠A+∠C＝90； （2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG＝90， ∴∠ABD+∠ABG＝90， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠CBG， ∠ABD＝∠C； （3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）知∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β， 則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG， ∠GBF＝∠AFB＝β， ∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180，∠FCB+∠NCF＝180， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180得： 2α+β+3α+3α+β＝180， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α＝90， ∴α＝15， ∴∠ABE＝15， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15+90＝105． 3．解：（1）∠FAB＝∠4， 理由如下： ∵AC∥EF， ∴∠1+∠2＝180， 又∵∠1+∠3＝180， ∴∠2＝∠3， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠4； （2）∵AC平分∠FAB， ∴∠2＝∠CAD， ∵∠2＝∠3， ∴∠CAD＝∠3， ∵∠4＝∠3+∠CAD， ∴， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90， ∴∠BCD＝90﹣∠3＝51． 4．解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如圖，過(guò)C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2； （2）∵∠AEN＝∠A＝30， ∴∠MEC＝30， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90， ∴∠PDC＝90﹣∠MEC＝60， ∴∠BDF＝∠PDC＝60； （3）設(shè)∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90﹣∠CEM＝90﹣x， ∴∠BDF＝90﹣x， ∴＝2． 5．解：（1）∵AM∥BN，∠A＝64， ∴∠A+∠ABN＝180， ∴∠ABN＝180﹣∠A＝116； ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58， 故答案為：116，58； （2）不變， ∠APB：∠ADB＝2：1， ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 當(dāng)∠ACB＝∠ABD時(shí)， 則有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）∠ABN＝116，∠CBD＝58， ∴∠ABC+∠DBN＝58， ∴∠ABC＝29， 故答案為：29． 6．解：∵∠3+∠4＝180（已知），∠FHD＝∠4（對(duì)頂角相等）， ∴∠3+∠FHD＝180（等量代換）， ∴FG∥BD（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）， ∴∠1＝∠ABD（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠2（角平分線(xiàn)的定義）， ∴∠1＝∠2（等量代換）， 故答案為：對(duì)頂角相等，∠FHD，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行，∠ABD，兩直線(xiàn)平行，同位角相等，∠2，角平分線(xiàn)的定義，等量代換． 7．解：【問(wèn)題】∵M(jìn)、N分別是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)， ∴MC＝，NC＝， ∵M(jìn)N＝MC+NC＝＝＝5； 【拓展】∵M(jìn)、N分別是線(xiàn)段AC、BC的中點(diǎn)， ∴MC＝，NC＝， ∵M(jìn)N＝MC+NC＝＝． 故答案為：； （1）∵射線(xiàn)OM、ON分別平分∠AOC、∠BOC， ∴∠MOC＝，， ∵∠MON＝∠MOC+∠CON＝＝＝＝． 故答案為：； （2）∵AM∥BN，∠A＝68， ∴∠ABN＝180﹣68＝112， 又∵BC、BD分別平分∠ABP、∠PBN， ∴由（1）結(jié)論可知， ∠CBD＝＝， ∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD， ∴∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝56， ∠ACB與∠ADB的差為56． 8．解：當(dāng)AC∥DE時(shí)，如圖所示： 則∠CAE＝∠E＝90； 當(dāng)BC∥AD時(shí)，如圖所示： 則∠CAE＝180﹣∠C﹣∠DAE＝180﹣30﹣45＝105； 當(dāng)BC∥AE時(shí)， ∵∠EAB＝∠B＝60， ∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90+60＝150； 綜上所述：∠CAE的度數(shù)為90或105或150． 9．證明：（1）∵BC平分∠ABE， ∴∠DBC＝∠CBE， ∵∠DCB＝∠DBC， ∴∠CBE＝∠DCB， ∴DC∥BE， （2）∵DC∥BE， ∵AF∥BE， ∴DC∥AF， ∴∠ACD＝∠CAF， ∵AC平分∠BAF， ∴∠DAC＝∠CAF， ∴∠DAC＝∠ACD， ∵∠DAC+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝180， ∴∠DCB+∠DCA＝90， ∴∠ACB＝90． 10．解：（1）∵∠BAC＝90，∠ABC＝60， ∴∠ACB＝30， ∵∠FAC＝30， ∴∠FAC＝∠ACB， ∴EF∥GH； （2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AP∥EF， 則∠FCA+∠CAP＝180， ∴∠CAP＝180﹣∠FCA， ∵EF∥GH， ∴AP∥GH， ∴∠PAB+∠ABH＝180， ∴∠PAB＝180﹣∠ABH， ∴∠BAC＝∠CAP+∠PAB ＝180﹣∠FCA+180﹣∠ABH ＝360﹣∠FCA﹣∠ABH， 即∠BAC+∠FCA+∠ABH＝360； （3）不發(fā)生變化， 理由是：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AM∥GH， 又∵EF∥GH， ∴AM∥EF∥GH， ∴∠FCA+∠CAM＝180，∠MAB+∠ABH＝180，∠CBH＝∠ECB， 又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90， ∴∠FCA+∠ABH＝270， 又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA， ∴∠FCD+∠CBH＝135， 又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135， ∴∠BCD＝180﹣（∠FCD+∠ECB）＝45． 11．（1）證明：∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠1＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴DE∥BC； （2）如圖2所示， ∵∠DCB＝α，∠M＝β， ∴∠EDC＝∠DCB+∠M＝α+β； 如圖3所示， ∵∠DCB＝α，∠M＝β， ∴∠DCB＝∠EDC+∠M ∴∠EDC＝α﹣β； 由上可得， 故答案為：α+β或α﹣β． 12．證明：∵AB∥CD（已知） ∴∠EBC＝∠ABC（角的平分線(xiàn)定義） 同理，∠FCB＝∠BCD ∴∠EBC＝∠FCB（等式性質(zhì)） ∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行．） 故答案為內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行． 13．解：（1）∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠3， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2； （2）過(guò)F作作FQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥FQ， ∵DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠EDF＝CDE＝＝40， ∵CD∥FQ， ∴∠DFQ＝∠CDF＝40， ∵∠DFB＝25， ∴∠BFQ＝15， ∵AB∥FQ， ∴∠ABF＝∠QFB＝15， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABF＝30； （3）過(guò)P作PK∥AB，則PK∥DG， ∴∠BPK＝∠ABP＝30， ∵PQ平分∠BPG， ∴∠GPQ＝∠BPQ， 設(shè)∠GPQ＝∠BPQ＝x， ∴∠GPK＝2x+30， ∵DG∥PK， ∴∠DGP＝∠GPK＝30+2x， ∵GM平分∠DGP， ∴∠DGM＝∠PGM＝DGP＝15+x， ∵PQ∥GN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∴∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝15， 故答案為：15． 14．（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB． ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠A． ∵∠AED＝∠AEF+∠DEF，∠AED＝∠A+∠D， ∴∠D＝∠DEF， ∴CD∥EF， ∴AB∥CD． （2）解：∠MAB＝∠CDE． 證明：如圖2，延長(zhǎng)AB、DE交于點(diǎn)F． ∵M(jìn)A∥ED， ∴∠MAB＝∠F． ∵AB∥CD， ∴∠CDE＝∠F， ∴∠MAB＝∠CDE． 15．解：（1）如圖1中， ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC∥AD， 故答案為：AB∥CD，AD∥BC； （2）∵AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G， ∵∠G＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠BAG， ∵AF平分∠DAE， ∴∠FAE＝∠FAD， ∴∠BAD＝2∠FAG， ∵∠FAG＝30， ∴∠BAD＝60， ∵BC∥AD， ∴∠B+∠BAD＝180， ∴∠B＝120．