2019年高考數(shù)學試題分類匯編 H單元 解析幾何（含解析）.doc

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2019年高考數(shù)學試題分類匯編 H單元 解析幾何（含解析） 目錄 H單元　解析幾何 1 H1　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 1 H2　兩直線的位置關系與點到直線的距離 1 H3　圓的方程 1 H4　直線與圓、圓與圓的位置關系 1 H5　橢圓及其幾何性質 1 H6　雙曲線及其幾何性質 1 H7　拋物線及其幾何性質 1 H8　直線與圓錐曲線（AB課時作業(yè)） 1 H9　曲線與方程 1 H10 單元綜合 1 H1　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【浙江效實中學高一期末xx】18．已知的三個頂點． 求（1）邊上的中線所在的直線方程； （2）邊的垂直平分線所在的直線方程． 【知識點】直線方程 【答案解析】；解析：解：(1)因為B、C的中點坐標為(0，2)，所以中線所在的直線方程為，即；(2)因為BC所在直線的斜率為，所以其垂直平分線的斜率為2，則邊的垂直平分線所在的直線方程為y=2x+2，即. 【思路點撥】求直線方程時，可結合已知條件確定其經過的點或求其斜率，再結合直線方程相應的形式寫出方程. 【浙江效實中學高一期末xx】15．已知拋物線上兩點的橫坐標恰是方程的兩個實根，則直線的方程是 ▲ ． 【知識點】直線方程 【答案解析】5x+3y+1=0解析：解：設A、B兩點坐標分別為，則有，同理，所以A、B兩點都在直線5x+3y+1=0上，而過兩點的直線有且僅有一條，所以直線的方程為5x+3y+1=0. 【思路點撥】通過已知條件尋求出A、B兩點坐標所滿足的同一個二元一次方程，即可得到直線AB的方程. 【浙江效實中學高一期末xx】2．若，則直線的傾斜角為 A． B． C． D． 【知識點】直線的傾斜角 【答案解析】A解析：解：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為－α，選A. 【思路點撥】根據(jù)直線方程求直線的傾斜角通常通過直線的斜率解答，注意傾斜角的范圍是[0，π). 【黑龍江哈六中高一期末xx】18．（本小題滿分12分）過點作一直線，使它被兩直線和所截的線段以為中點，求此直線的方程． 【知識點】點斜式直線方程；中點坐標公式. 【答案解析】 解析 ：解：（1）當不存在時，不滿足題意；……………2分 （2）當存在時，設直線，……………1分 可得，，……………6分 由中點坐標公式得……………2分 所以直線方程為……………1分 【思路點撥】先對分類討論，當不存在時，不滿足題意；當存在時，設出直線方程，然后借助于中點坐標公式即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】17．（本題12分）求與兩坐標軸的正半軸圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程。 【知識點】直線的一般式方程． 【答案解析】x+4y﹣4=0或4x+y﹣4=0 解析 ：解：設直線方程為（a＞0且b＞0） ∵直線截距差為3，∴|a﹣b|=3…① 又∵直線與坐標軸正方向圍成面積為2， ∴ab=2，得ab=4…② ①②聯(lián)解，得a=1，b=4或a=4，b=1 ∴直線方程為+y=1或x+=1，化成一般式得x+4y﹣4=0或4x+y﹣4=0 故答案為：x+4y﹣4=0或4x+y﹣4=0 【思路點撥】設直線在x、y軸上的截距分別為a、b，則a＞0且b＞0．根據(jù)三角形面積和截距的差為3建立關于a、b的方程組，解之即可得到直線的截距式方程，再化成一般式即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】13．對于任給的實數(shù),直線都通過一定點，則該定點坐標為 【知識點】直線過定點問題. 【答案解析】 解析 ：解：直線（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5 即 m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0，故過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點， 由 得 定點坐標為（9，﹣4）， 故答案為：（9，﹣4）． 【思路點撥】利用直線 m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】3．直線5x-2y-10=0在x軸上的截距為a , 在y軸上的截距為b, 則（ ） A．a=2,b=5 B．a=2,b=-5 C．a=-2,b=5 D．a=-2,b=-5 【知識點】直線的一般式方程． 【答案解析】B 解析 ：解：令y=0，得到5x-10=0，解得x=2，所以a=2；令x=0，得到-2y-10=0，解得y=-5，所以b=-5． 故選B 【思路點撥】根據(jù)截距的定義可知，在x軸的截距即令y=0求出的x的值，在y軸上的截距即令x=0求出y的值，分別求出即可． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】1．過點P(4,-1)且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是（ ） A．4x+3y-13=0 B．4x-3y-19=0 C． 3x-4y-16=0 D． 3x+4y-8=0 【知識點】直線的一般式方程；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系． 【答案解析】A 解析 ：解：因為兩直線垂直，直線3x-4y+6=0的斜率為， 所以所求直線的斜率k=則直線方程為y-（-1）=（x-4）， 化簡得4x+3y-13=0 故選A 【思路點撥】要求直線方程，即要知道一點和斜率，所以就要求直線的斜率，根據(jù)所求直線與已知直線垂直得到斜率乘積為-1即可求出斜率． 【江西鷹潭一中高一期末xx】13．對于任給的實數(shù),直線都通過一定點，則該定點坐標為 . 【知識點】直線過定點問題. 【答案解析】 解析 ：解：直線（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5 即 m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0，故過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點， 由 得 定點坐標為（9，﹣4）， 故答案為：（9，﹣4）． 【思路點撥】利用直線 m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點． 【江西鷹潭一中高一期末xx】3．直線在x軸上的截距為a , 在y軸上的截距為b, 則（ ） A．a=2,b=5 B．a=,b= C．a=,b=5 D．a=2,b= 【知識點】直線的一般式方程． 【答案解析】D解析 ：解：令y=0，得到5x-10=0，解得x=2，所以a=2；令x=0，得到-2y-10=0，解得y=-5，所以b=-5． 故選D. 【思路點撥】根據(jù)截距的定義可知，在x軸的截距即令y=0求出的x的值，在y軸上的截距即令x=0求出y的值，分別求出即可． 【江西鷹潭一中高一期末xx】1．過點且平行于直線的直線方程為（ ） A．　 B．　　C．　　D． 【知識點】直線的一般式方程；兩條直線平行的判定． 【答案解析】A 解析 ：解：由題意可設所求的直線方程為x-2y+c=0 ∵過點（-1，3）代入可得-1-6+c=0 則c=7∴x-2y+7=0 故選A． 【思路點撥】由題意可先設所求的直線方程為x-2y+c=0再由直線過點（-1，3），代入可求c的值，進而可求直線的方程. H2　兩直線的位置關系與點到直線的距離 【重慶一中高一期末xx】20. （本小題滿分12分）(原創(chuàng))已知圓M： ，直線：x＋y＝11, 上一點A的橫坐標為a , 過點A作圓M的兩條切線 , , 切點分別為B ,C. （1）當a＝0時，求直線 , 的方程； （2）當直線 , 互相垂直時，求a 的值； （3）是否存在點A，使得？若存在， 求出點A的坐標，若不存在，請說明理由. 【知識點】直線方程的求法；點到直線的距離公式；向量的數(shù)量積公式. 【答案解析】（1）（2）a＝5（3）點A不存在. 解析 ：解：（1））圓M： ,圓心M(0 , 1) , 半徑r=5,A(0, 11) , 設切線的方程為y＝k x＋11, 圓心距, ∴ ,所求直線l1 , l2的方程為 （2）當l1 ⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，∴ 設A(a , 11－a), M(0 , 1) 則， ∴ a＝5 （3）設，則， 又，故，又圓心M到直線的距離是 ∴ ，，故點A不存在 【思路點撥】（1）設出直線方程的斜截式，利用點到直線的距離公式可求斜率，進而求出直線方程（2）l1 ⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，解方程即可；（3）計算與已知矛盾，故不存在. 【重慶一中高一期末xx】2. 已知直線，，則“”是“”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】兩直線垂直的充要條件. 【答案解析】A解析 ：解：因為，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件. 故選：A. 【思路點撥】利用兩直線垂直的充要條件解方程可得或，然后判斷即可. 【浙江效實中學高一期末xx】16．已知平面上的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作．設是長為的線段，則點的集合所表示的圖形面積為 ▲ ． 【知識點】軌跡問題 【答案解析】4+π解析：解：由題意知集合D={P|d(P，l)≤1}所表示的圖形是一個邊長為2的正方形和兩個半徑是1的半圓，如圖，則點集D={P|d(P，l)≤1}所表示圖形的面積為：S=22+π=4+π. 【思路點撥】正確分析點P的軌跡是解題的關鍵，結合所給的點到線段的距離的定義，應對點P的位置分情況進行判斷. 【浙江效實中學高一期末xx】12．將一張坐標紙折疊一次，使點點重合，則與點重合的點的坐標是 ▲ ． 【知識點】對稱問題 【答案解析】(10，1)解析：解：由題意知點與點關于折痕所在直線對稱，其中點坐標為(3，6)，所以折痕所在的直線方程為x=3，則與點重合的點與點關于直線x=3對稱，所以所求點的坐標為(10，1). 【思路點撥】本題解題的關鍵是抓住折疊后重合的點關于折痕對稱進行解答. 【浙江效實中學高一期末xx】1．若直線與直線垂直，則實數(shù)的值 A． B． C． D． 【知識點】兩直線垂直的判定 【答案解析】C解析：因為兩直線垂直，所以4a+a－3=0，解得，所以選C. 【思路點撥】利用兩直線垂直的充要條件：解答即可. 【文江蘇揚州中學高二期末xx】7．點A（2,2）關于直線x-y-1=0的對稱點的坐標為 ▲ ． 【知識點】與直線關于點、直線對稱的直線方程． 【答案解析】（3，1） 解析 ：解：設點A（2，2）關于直線x-y-1=0的對稱點A′的坐標為B（a，b）， 則由求得，故點B（3，1）， 故答案為：（3，1）． 【思路點撥】設點A（2，2）關于直線x-y-1=0的對稱點A′的坐標為B（a，b），利用垂直及中點在軸上這兩個條件，求出a、b的值，可得答案． 【黑龍江哈六中高一期末xx】14．已知直線和兩點，，若直線上存在點使得最小，則點的坐標為 【知識點】根據(jù)兩點坐標寫出直線的方程；求兩直線的交點坐標. 【答案解析】解析 ：解：根據(jù)題意畫出圖形，如下圖所示： 設點A關于直線的對稱點，則有，解得 此時直線為；所以當P是直線與的交點時最小，把與聯(lián)立可得點的坐標為 【思路點撥】根據(jù)圖形可知，當P是直線與的交點時最小，把與聯(lián)立即可求出交點的坐標即為P的坐標． 【黑龍江哈六中高一期末xx】10．圓與直線相交于兩點，圓心為，若，則的值為（ ） （A）8 （B） （C） （D）3 【知識點】點到直線的距離公式；等腰直角三角形直角邊與斜邊的關系. 【答案解析】C解析 ：解：圓整理得，可知圓心坐標為，半徑，設圓心到直線的距離為， 若，則為等腰直角三角形，故，即，解得， 故選C. 【思路點撥】先找到圓心坐標與半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離， 然后建立關系式，解之即可. 【黑龍江哈六中高一期末xx】9．光線從點發(fā)出，經過軸反射，再經過軸反射，最后光線經過點，則經軸反射的光線的方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 【知識點】直線的一般式方程；與直線關于點、直線對稱的直線方程． 【答案解析】A解析 ：解：∵關于x軸的對稱點在經軸反射的光線上，同樣關于y軸的對稱點在經過射入軸的反射線上，∴．故所求直線方程為y-6=-2（x+2），即2x+y-2=0． 故選A. 【思路點撥】要求反射線所在直線的方程，我們根據(jù)已知條件所知的均為點的坐標，故可想辦法求出反射線所在直線上兩點，然后代入兩點式即得直線方程，而根據(jù)反射的性質，我們不難得到反射光線所在直線上的兩個點的坐標． 【典型總結】在求直線方程時，應先選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．而根據(jù)已知條件，使用兩點式對本題來說，更容易實現(xiàn)． 【黑龍江哈六中高一期末xx】8．直線與連接，的線段相交，則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【知識點】過兩條直線交點的直線系方程；兩條直線的交點坐標． 【答案解析】B解析 ：解：由直線的方程，判斷恒過P， 如下圖示： ∵，則實數(shù)a的取值范圍是：或． 故選B． 【思路點撥】由直線的方程，判斷恒過P，求出與，判斷過P點的豎直直線與AB兩點的關系，求出滿足條件的直線斜率的取值范圍． 【典型總結】求恒過P點且與線段AB相交的直線的斜率的取值范圍，有兩種情況： 當AB，在P豎直方向上的同側時，計算與，若＜，則直線的斜率k∈[，];當AB，在P豎直方向上的異側時，計算與，若＜，則直線的斜率k∈（-∞，]∪[，+∞）,就是過p點的垂直x軸的直線與線段有交點時，斜率范圍寫兩段區(qū)間，無交點時寫一段區(qū)間． 【黑龍江哈六中高一期末xx】7．若兩條直線與互相平行，則等于（ ） （A）2 （B）1 （C） （D） 【知識點】直線的一般式方程;直線的平行關系． 【答案解析】D解析 ：解：∵兩條直線與互相平行，∴ ，即或；當時，兩直線都為，兩直線重合（舍去）， 當時滿足題意. 故選D. 【思路點撥】先利用斜率相等，解出的值后再進行檢驗即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】16．（本題12分）求經過兩條直線和的交點，且分別與直線（1）平行的直線方程；（2）垂直的直線方程。 【知識點】直線的一般式方程與直線的平行關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系． 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：由，得；………….….2′ ∴與的交點為（1，3）。 …………….3′ （1）設與直線平行的直線方程為2x﹣y+c=0…………….4′ 則2﹣3+c=0，解得c=1…………….5′ 所求直線方程為2x﹣y+1=0…………….6′ （2）設與直線垂直的直線方程為x+2y+d=0…………….8′ 則，∴c＝－7?！?10′ ∴所求直線方程為?！?.…12′ 【思路點撥】聯(lián)立方程組可得交點坐標，分別由平行、垂直關系設所求直線的方程為2x﹣y+c=0、x+2y+d=0代入交點的坐標分別可解得c、d，可得直線方程． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】12．點直線的距離是_______ 【知識點】點到直線的距離公式. 【答案解析】 解析 ：解： 由點到直線的距離公式得，故答案為. 【思路點撥】直接利用點到直線的距離公式計算即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】7．若ac＞0且bc＜0，直線不通過( ) A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限 【知識點】確定直線位置的幾何要素． 【答案解析】C 解析 ：解：直線ax+by+c=0 即ac＞0且bc＜0， 則ab＜0，則斜率＞0，截距＞0，即直線的傾斜角為銳角，在y軸上的截距大于0，故直線不經過第四象限， 故選C． 【思路點撥】由題意可得斜率＞0，在y軸上的截距＞0，即直線的傾斜角為銳角，在y軸上的截距大于0，故直線不經過第四象限． 【江西鷹潭一中高一期末xx】16．（本題12分）求經過兩條直線和的交點，且分別與直線（1）平行;（2）垂直的直線方程。 【知識點】直線的一般式方程與直線的平行關系；直線的一般式方程與直線的垂直關系． 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：由，得；………….….2′ ∴與的交點為（1，3）。 …………….3′ （1）設與直線平行的直線方程為2x﹣y+c=0…………….4′ 則2﹣3+c=0，解得c=1…………….5′ 所求直線方程為2x﹣y+1=0…………….6′ （2）設與直線垂直的直線方程為x+2y+d=0…………….8′ 則，∴c＝－7?！?10′ ∴所求直線方程為?！?.…12′ 【思路點撥】聯(lián)立方程組可得交點坐標，分別由平行、垂直關系設所求直線的方程為2x﹣y+c=0、x+2y+d=0代入交點的坐標分別可解得c、d，可得直線方程． H3　圓的方程 【重慶一中高一期末xx】6.圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ）． A． B． C． D． 【知識點】圓的標準方程；點到直線的距離公式. 【答案解析】C解析 ：解：由圓，得到圓心（a，0），半徑r=1， 根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d=r，即解得：， ∵圓與直線相切于第三象限，∴a＜0．即. 故選C． 【思路點撥】由圓方程找出圓心坐標與半徑，根據(jù)題意得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值． 【浙江效實中學高一期末xx】11．圓的圓心到直線的距離 ▲ ． 【知識點】點到直線的距離，圓的方程 【答案解析】3解析：解：因為圓心坐標為(1，2)，所以d= 【思路點撥】結合圓的方程求出圓心坐標，再利用點到直線距離公式求圓心到直線的距離. 【浙江效實中學高一期末xx】7．實數(shù)滿足，則的最大值為 A． B． C． D． 【知識點】圓的方程、直線的斜率 【答案解析】B解析：解：實數(shù)滿足，所以點(x，y)在以 (3，3)為圓心，為半徑的圓上，則為圓上的點與原點連線的直線的斜率，設過原點的直線方程為y=kx，則直線與圓相切時，解得，所以的最大值為 ，選B. 【思路點撥】理解方程及的幾何意義是本題解題的關鍵，利用其幾何意義結合圖形可知最大值為直線與圓相切時的斜率.. 【理浙江寧波高二期末`xx】13.過點作圓的兩條切線,切點分別為,為坐標原點,則的外接圓方程是 ． 【知識點】圓的標準方程的求法. 【答案解析】解析 ：解：由題意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四邊形AOBP有一組對角都等于90，∴四邊形AOBP的四個頂點在同一個圓上，此圓的直徑是OP，OP的中點為（2，1），，∴四邊形AOBP的外接圓的方程為，∴△AOB外接圓的方程為， 故答案為：. 【思路點撥】由題意知OA⊥PA，BO⊥PB，四邊形AOBP的四個頂點在同一個圓上，此圓的直徑是OP，△AOB外接圓就是四邊形AOBP的外接圓． 【黑龍江哈六中高一期末xx】12．已知為圓的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形面積的最大值為（ ） （A）5 （B）10 （C）15 （D）20 【知識點】圓方程的綜合應用． 【答案解析】A解析 ：解：設圓心到的距離分別為和， 則，∴四邊形的面積． 故選A． 【思路點撥】設圓心到的距離分別為和，則， 由此能求出四邊形的面積的最大值． 【江西鷹潭一中高一期末xx】4．圓關于原點對稱的圓的方程為 ( ) A． B． C． D． 【知識點】點關于點對稱；圓的標準方程. 【答案解析】C 解析 ：解：圓的圓心坐標為，關于原點的對稱點坐標為，所以對稱的圓的方程為，故選C. 【思路點撥】先求出已知圓的圓心坐標，再求出關于原點的對稱點坐標，最后寫出對稱的圓的方程即可. H4　直線與圓、圓與圓的位置關系 【重慶一中高一期末xx】10. (原創(chuàng)) 設集合, , 若，則實數(shù)m的取值范圍是（ ） A． B. C. D. 【知識點】直線與圓的位置關系. 【答案解析】D解析 ：解：因為，則或，（1）當時，必有，解得，滿足題意. （2）當必有≤m2，解可得， 此時集合A表示圓環(huán)內點的集合或點（2，0），集合B表示與x+y=0平行的一系列直線的集合，要使兩集合為空集，圓環(huán)與直線系無交點. ① 此時，滿足題意； ②當時，有則有 又由，則，可得，滿足題意； ③當時，有解可得：又由，則m的范圍是： 綜合可得m的范圍是 故答案為 【思路點撥】根據(jù)題意可把問題轉換為圓與直線有交點，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，進而聯(lián)立不等式組求得m的范圍． 【浙江效實中學高一期末xx】20．圓與軸切于點，與軸正半軸交于兩點（點在點的左側）， 且． （1）求圓的方程； （2）過點任作一直線與圓 相交于，連接， 求證：． 【知識點】圓的方程、直線與圓的位置關系的應用、斜率公式 【答案解析】（1）；（2）略 解析：解：(1）因為圓與軸切于點，可設圓心坐標為(m,2)，則圓的半徑為m，所以，得，所以所求圓的方程為； (2) 證明：設，代入，并整理得： 則 . 【思路點撥】求圓的方程關鍵是確定圓心和半徑，當遇到弦長的條件通常轉化為弦心距解答.當遇到直線與圓錐曲線的交點問題時，可通過聯(lián)立方程，利用韋達定理轉化. 【浙江效實中學高一期末xx】3．圓與直線沒有公共點的充要條件是 A． B． C． D． 【知識點】直線與圓的位置關系 【答案解析】D解析：解：若圓與直線沒有公共點，則，解得 ，所以選D. 【思路點撥】一般遇到直線與圓的位置關系的問題通常利用圓心到直線的距離與半徑的關系進行解答. 【文重慶一中高二期末xx】15. 已知圓O：，直線：，若圓O上恰好有兩不同的點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是 . 【知識點】圓與直線的位置關系；數(shù)形結合. 【答案解析】解析 ：解：由已知可得：圓半徑為2，圓心為（0，0） 故圓心（0，0）到直線4x-3y+c=0的距離為： 如圖中的直線m恰好與圓由3個公共點，此時d=OA=2-1， 直線n與圓恰好有1個公共點，此時d=OB=2+1=3，當直線介于m、n之間滿足題意． 故要使圓x2+y2=4上恰有兩個點到直線4x-3y+c=0的距離為1， 只需d大于1小于3，即1＜＜3， 故c的取值范圍是： 故答案為： 【思路點撥】由條件求出圓心，求出半徑，由數(shù)形結合，只需圓心到直線的距離d大于半徑與1的差小于半徑與1的和即可． 【文浙江寧波高二期末xx】12. 直線l與圓相交于A,B兩點，若弦AB的中點，則直線l的方程為_____________ 【知識點】直線與圓相交的性質；直線的一般式方程． 【答案解析】解析 ：解：由圓整理得 ，得到圓心的坐標為， 由題意得：圓心C與弦AB中點的連線與直線l垂直，∵弦AB的中點為，圓心C的坐標為，∴圓心與弦AB中點的連線的斜率為， ∴直線l的斜率為1，又直線l過，則直線l的方程為， 即． 故答案為：. 【思路點撥】由圓的方程找出圓心C的坐標，連接圓心與弦AB的中點，根據(jù)垂徑定理的逆定理得到此直線與直線l垂直，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由圓心與弦AB中點的連線的斜率，求出直線l的斜率，再由直線l過AB的中點，即可得到直線l的方程． 【典型總結】此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關系，垂徑定理，以及直線的點斜式方程，其中由垂徑定理的逆定理得到圓心與弦AB中點的連線與直線l垂直是解本題的關鍵． 【文江蘇揚州中學高二期末xx】19．（本小題滿分16分） 如圖，圓與坐標軸交于點． ⑴求與直線垂直的圓的切線方程； ⑵設點是圓上任意一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，直線交直線于點， ①若點坐標為，求弦的長； ②求證：為定值． 【知識點】直線和圓的方程的應用． 【答案解析】⑴；⑵①2;②見解析 解析 ：解：，直線， ……2分 ⑴設：，則，所以：； ……5分 ⑵①：，圓心到直線的距離， 所以弦的長為；（或由等邊三角形亦可） ……9分 ②解法一：設直線的方程為：存在，，則 由，得，所以或， 將代入直線，得，即，……12分 則，：，， 得，所以為定值． ……16分 解法二：設，則，直線， 則，，直線，又 與交點， 將，代入得， ……13分 所以， 得為定值．…16分 【思路點撥】（1）先求直線AC的方程，設出切線方程，利用點線距離等于半徑，即可求與直線AC垂直的圓的切線方程； （2）①求出CM的方程，圓心到直線CM的距離，即可求弦CM的長； ②確定N，D的坐標，表示出，即可證明為定值． 【文江蘇揚州中學高二期末xx】13．已知點，若分別以為弦作兩外切的圓和圓， 且兩圓半徑相等，則圓的半徑為 ▲ ?。? 【知識點】圓與圓的位置關系及其判定． 【答案解析】 解析 ：解：點A（-1，2），B（1，2），C（5，-2）， 若分別以AB，BC為弦作兩外切的圓M和圓N，且兩圓半徑相等， ∴B是兩圓圓心的中點，圓M的圓心在y軸上，M（0，b），兩圓外切，切點定是B，兩圓半徑相等． ∴圓N（2，4-b）， ∵|NB|=|NC|，解得：b=5， 所求兩個圓的半徑為： 故答案為：． 【思路點撥】由題意判斷B是兩圓圓心的中點，圓M的圓心在y軸上，M（0，b），兩圓外切，切點定是B，兩圓半徑相等．得到圓N（2，4-b），通過|NB|=|NC|，求出b，然后求出圓的半徑． 【理廣東惠州一中高三一調xx】15．(幾何證明選講選做題)如圖所示，是等腰三角形，是底邊延長線上一點， 且，，則腰長= . 【知識點】構造圓應用其切割線定理. A B P O C D 【答案解析】 解析 ：解：】以為圓心，以為半徑作圓，則圓經過點，即，設與圓交于點且延長交圓與點，由切割線定理知，即， 得，所以. 【思路點撥】構造以為半徑的圓，由切割線定理建立關于半徑的等式從而求出. 【黑龍江哈六中高一期末xx】21．（本小題滿分12分）已知圓過點，，并且直線平分圓的面積． （1）求圓的方程； （2）若過點，且斜率為的直線與圓有兩個不同的公共點． ①求實數(shù)的取值范圍； ②若，求的值． 【知識點】圓的標準方程;直線的方程;直線與圓的位置關系;向量的坐標運算公式. 【答案解析】（1）（2）①;② 解析 ：解：（1）設圓的標準方程為 ∵圓被直線平分，∴圓心在直線上，可得①， 又∵點，在圓上，∴…②， 將①②聯(lián)解，得,∴圓C的方程是； （2）過點且斜率為的直線方程為，即， ①直線與圓有兩個不同的交點;∴點到直線的距離小于半徑， 即，解之得； ②由消去y，得． 設直線與圓有兩個不同的交點坐標分別為， 可得， ∴ ， ∵，解之得． 【思路點撥】（1）設圓的標準方程為．由圓被直線平分可得，結合點在圓上建立關于的方程組，解出的值即可得到圓的方程； （2）①由題意得直線方程為，根據(jù)直線與圓有兩個不同的交點，利用點到直線的距離建立關于的不等式，解之即可得到的取值范圍； ②直線方程與圓方程聯(lián)解消去，得．設 ，利用根與系數(shù)的關系、直線方程和向量數(shù)量積的坐標運算公式，化簡得到關于的方程，解之即可得到的值． 【黑龍江哈六中高一期末xx】20．（本小題滿分12分）已知直線，圓． （1）求直線被圓所截得的弦長； （2）如果過點的直線與直線垂直，與圓心在直線上的圓相切，圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，求圓的方程． 【知識點】直線與圓相交的性質;點到直線距離公式的應用;數(shù)形結合思想的運用． 【答案解析】（1）（2）或 解析 ：解：（1）由題意得：圓心到直線的距離，由垂徑定理得弦長為 （2）直線： 設圓心為(，)圓心M到直線的距離為，即圓的半徑，由題意可得，圓心到直線的距離為，所以有： 解得或，當時圓心為，＝， 所以所求圓方程為： 當時，圓方程為：. 故圓方程為：或. 【思路點撥】（1）先利用點到直線的距離求得圓心到直線的距離，進而利用垂徑定理求得弦長． （2）設出圓心M的坐標和半徑，根據(jù)題意建立等式求得，則圓心坐標可得，利用點到直線的距離求得半徑，則圓的方程可得． 【黑龍江哈六中高一期末xx】13．兩個圓， 的公切線有 條 【知識點】圓的標準方程的特征;兩圓的位置關系. 【答案解析】4解析 ：解：圓即，表示以為圓心，半徑等1的圓． 圓即，表示以為圓心，半徑等于2的圓． 兩圓的圓心距等于，大于半徑之和，故兩圓相離，故兩圓的公切線的條數(shù)為4， 故答案為：4． 【思路點撥】把兩圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距大于半徑之和，可得兩圓相離，由此可得兩圓的公切線的條數(shù)． 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】5．已知圓的方程為，設該圓中過點的最長弦、最短弦分別為，則的值為（ ▲ ） A. B. C. D. 【知識點】直線與圓的關系；圓的一般方程的應用. 【答案解析】D 解析 ：解：該圓中過點M（-3，5）的最長弦AC，就是圓的直徑；最短弦分別為BD，就是過該點與圓的直徑垂直的弦長．圓的方程為，圓心（-3，4），半徑為：5，∴|AC|=10， ． 故選：D． 【思路點撥】利用圓心到直線的距離與半徑半弦長的關系，求出弦長，求出直徑，即可求解的值． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】4．已知圓的方程為，設該圓中過點的最長弦、最短弦分別為，則的值為（ ▲ ） A. B. C. D. 【知識點】直線與圓的關系；圓的一般方程的應用. 【答案解析】D 解析 ：解：該圓中過點M（-3，5）的最長弦AC，就是圓的直徑；最短弦分別為BD，就是過該點與圓的直徑垂直的弦長．圓的方程為，圓心（-3，4），半徑為：5，∴|AC|=10， ． 故選：D． 【思路點撥】利用圓心到直線的距離與半徑半弦長的關系，求出弦長，求出直徑，即可求解的值． 【理吉林一中高二期末xx】22. 如圖,已知切⊙于點E,割線PBA交⊙于A、B兩點,∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C、D.求證: (Ⅰ); (Ⅱ). 【知識點】與圓有關的比例線段． 【答案解析】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) 見解析 解析 ：解：(Ⅰ)證明:切⊙于點, 平分 , (Ⅱ)證明: ∽, 同理∽, 【思路點撥】（Ⅰ）通過弦切角定理以及角的平分線，直接證明三角形是等腰三角形，即可證明CE=DE；（Ⅱ）利用切割線定理以及角的平分線定理直接求證：=即可． 【理吉林一中高二期末xx】18. 如圖，在中，是的角平分線，的外接圓交于，， （1）求證： （2）當時，求的長. 【知識點】與圓有關的比例線段． 【答案解析】（1）見解析（2） 解析 ：解：（1）證明：連接DE，∵ACDE為圓的內接四邊形. ∴∠BDE=∠BCA又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即而 AB=2AC ∴BE=2DE，又CD是∠ACB的平分線 ∴AD=DE 從而BE=2AD. （2）由條件得AB=2AC=2，設AD=t，根據(jù)割線定理得BD?BA=BE?BC， ∴（AB﹣AD）?BA=2AD? BC，∴（2﹣t）2=2t2，∴3t﹣2=0， 解得t=，即AD=． 【思路點撥】（1）連接DE，因為ACED是圓的內接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=2AD．（2）由條件得AB=2AC=2，根據(jù)割線定理得BD?BA=BE?BC，即（AB﹣AD）?BA=2AD? BC，由此能求出AD． 【理吉林一中高二期末xx】17. 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點B，AC交圓O于點P，E為線段BC的中點．求證：OP⊥PE． 【知識點】圓周角定理；弦切角與圓心角的關系. 【答案解析】見解析. 解析 ：解：因為AB是圓O的直徑，所以∠APB＝90，從而∠BPC＝90． 在△BPC中，因為E是邊BC的中點，所以BE＝EC，從而BE＝EP，因此∠1＝∠3． 又因為B、P為圓O上的點，所以OB＝OP，從而∠2＝∠4． 因為BC切圓O于點B，所以∠ABC＝90，即∠1+∠2=90， 從而∠3+∠4=90，于是∠OPE＝90．所以OP⊥PE． 【思路點撥】先根據(jù)圓周角定理得到∠APB及∠BPC．再利用等腰三角形的性質結合弦切角與圓心角的關系即可證明結論. 【理吉林一中高二期末xx】16. 如圖2,是⊙的直徑,是延長線上的一點,過作⊙的切線,切點為,,若,則⊙的直徑__________ . 【知識點】切割線定理;特殊角的直角三角形的性質;圓周角定理． 【答案解析】4解析 ：解：連接BC，設圓的直徑是x，則三角形ABC是一個含有30角的三角形，∴BC=AB，三角形BPC是一個等腰三角形，BC=BP=AB，∵PC是圓的切線，PA是圓的割線，∴PC2=PB?PC=x?x=，∵PC=2，∴x=4， 故答案為：4 【思路點撥】根據(jù)所給的條件判斷三角形ABC 是一個含有30角的直角三角形，得到直角邊與斜邊的關系，即直角邊與直徑之間的關系，根據(jù)切割線定理寫出關系式，把所有的未知量用直徑來表示，解方程得到結果． 【理吉林一中高二期末xx】13. 如圖（3）所示，AB是⊙O的直徑，過圓上一點E作切線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C.若CB=2，CE=4，則AD的長為 ． 【知識點】與圓有關的比例線段． 【答案解析】解析 ：解：設r是⊙O的半徑．由，解得r=3.由解得。 【思路點撥】設出圓的半徑直接利用切割線定理求出圓的半徑，通過三角形相似列出比例關系求出AD即可． 【理吉林一中高二期末xx】12. 如圖所示，CD切⊙O于B，CO的延長線交⊙O于A，若∠C＝36，則∠ABD的度數(shù)是(　　)． A．72 B．63 C．54 D．36 【知識點】圓的切線的性質；三角形外角定理. 【答案解析】B 解析 ：解：連結OB.∵CD為⊙O的切線，∴∠OBC＝90. ∵∠C＝36，∴∠BOC＝54. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27. ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27＋36＝63. 【思路點撥】先由切線的性質得到∠C，再用三角形外角定理即可得到結論. 【江西鷹潭一中高一期末xx】17．（本題12分）已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為，求圓的方程. 【知識點】垂徑定理；勾股定理；點到直線的距離公式；圓的切線方程． 【答案解析】（1）（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9． （2）7x﹣24y+78=0，或x=6． 解析 ：解：（1）設圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|， 則圓心到直線y=x的距離 ， 而 ， ∴（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9． （2）圓心在第一象限的圓是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9， 設過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y﹣5=k（x﹣6），即kx﹣y+5﹣6k=0， ∵圓心O（3，1），半徑r=3，∴，解得k=． ∴當切線的斜率k存在時，其方程為y﹣5=（x﹣6），即7x﹣24y+78=0． 當切線的斜率k不存在時，其方程為x=6． 故切線方程為7x﹣24y+78=0，或x=6． 【思路點撥】（1）由圓心在直線x﹣3y=0上，設出圓心坐標，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可． （2）圓心在第一象限的圓是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，設過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y﹣5=k（x﹣6），即kx﹣y+5﹣6k=0，由圓心O（3，1），半徑r=3，知，由此能求出切線方程． H5　橢圓及其幾何性質 【浙江效實中學高一期末xx】13．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點． 若，則 ▲ ． 【知識點】橢圓的定義 【答案解析】8解析：解：因為+4a=20，，所以=8. 【思路點撥】在圓錐曲線中，當遇到圓錐曲線上的點與其焦點的關系問題時，注意應用其定義建立等量關系進行解答. 【浙江效實中學高一期末xx】5．橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為 A． B． C． D． 【知識點】橢圓的標準方程 【答案解析】A解析：由橢圓得，因為焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，所以，解得m=，選A. 【思路點撥】先把橢圓化成標準方程，即可得出a，b對應的值，再結合條件列關系解答即可.. 【文重慶一中高二期末xx】21.(本小題12分（1）小問5分，（2）小問7分) M是橢圓T：上任意一點，F(xiàn)是橢圓T的右焦點，A為左頂點，B為上頂點，O為坐標原點，如下圖所示，已知的最大值為，最小值為. （1）求橢圓T的標準方程； （2）求的面積的最大值.若點N滿足，稱點N為格點.問橢圓T內部是否存在格點G，使得的面積？若存在，求出G的坐標；若不存在，請說明理由.(提示：點在橢圓T內部). 【知識點】橢圓的標準方程；點到直線的距離公式；利用點在橢圓內部的結論. 【答案解析】（1）（2）點在直線下方，且，點在橢圓內部，故而為所求格點G 解析 ：解：（1）由橢圓性質可知，其中， 因為，故 則，解之得 …………4分 故 橢圓T的方程為 …………5分 （2）由題知直線AB的方程為，設直線與橢圓T相切于x軸下方的點（如上圖所示），則的面積為的面積的最大值. 此時，直線AB與直線距離為，而 …………8分 而，令，則 設直線到直線AB的距離為，則有，解得, 注意到與直線AB平行且需與橢圓T應有公共點，易知只需考慮的情形. 直線經過橢圓T的下頂點與右頂點， 則線段上任意一點與A、B組成的三角形的面積為6. …………10分 根據(jù)題意若存在滿足題意的格點G，則G必在直線與之間.而在橢圓內部位于四象限的格點為 因為，故上方，不符題意 而，則點在直線下方，且，點在橢圓內部， 故而為所求格點G. …………12分 【思路點撥】（1）由橢圓性質可知,然后解出a、c的值即可.（2）由題判斷出的面積為的面積的最大值.而， ，再根據(jù)題意找出滿足題意的格點G在橢圓內部，故而為所求格點G. 【文浙江寧波高二期末xx】17．已知分別是雙曲線的左右焦點，A是雙曲線在第一象限內的點，若且，延長交雙曲線右支于點B，則的面積等于_______ 【知識點】橢圓的定義；余弦定理；三角形面積公式. 【答案解析】解析 ：解：如下圖所示： 由橢圓的定義可知，,設 則在中，由余弦定理得：, 即，解得，所以三角形的面積 = . 故答案為：4. 【思路點撥】先由定義求出，再設然后在中利用余弦定理解出，最后利用三角形面積公式即可求出結果. 【理重慶一中高二期末xx】21、(12分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：的左、右焦點，拋物線與橢圓C在第一象限的交點到的距離為．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點． （1）求橢圓C的方程； （2）是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經過點F2，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由。 【知識點】橢圓的標準方程；點差法；根與系數(shù)的關系；判斷點在橢圓內的依據(jù). 【答案解析】（1） (2) 存在兩點M符合條件，坐標為M（﹣，﹣）和M（﹣，）． 解析 ：解：（Ⅰ）由離心率可設橢圓C的方程為：， 設拋物線和橢圓C的交點為 則：， 代入橢圓方程：，解得 ∴橢圓C的方程為． （Ⅱ）當直線AB垂直于x軸時，直線AB的方程為， 此時，，，不合題意． 當直線AB不垂直于x軸時，設存在點，. 設直線AB的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得， 則，故，此時，直線PQ的斜率為k1=﹣4m， PQ的直線方程為y﹣m=﹣4m（x+），即y=﹣4mx﹣m． 聯(lián)立，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0． ∴，x1x2=， 由題意=0， ∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2 =x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m） =（1+16m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2 =++1+m2 ==0，∴m=． ∵M在橢圓內，∴，∴m=符合條件． 綜上所述，存在兩點M符合條件，坐標為M（﹣，﹣）和M（﹣，）． 【思路點撥】（1）由離心率得到a,b的關系，再設交點坐標代入橢圓方程可求b的值，進而求出橢圓方程；(2) 分類討論：當直線AB垂直于x軸時，不合題意．當直線AB不垂直于x軸時，設存在點，利用點差法得到k與m的關系式，再把PQ的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，最后結合=0，求出m的值再判斷即可. 【理重慶一中高二期末xx】11、設集合A＝{(x，y)| }，B＝{(x，y)|y＝}，則A∩B的子集的個數(shù)是_______ 【知識點】橢圓的標準方程；交集及其運算． 【答案解析】4解析 ：解：∵集合A＝{(x，y)| }，B＝{(x，y)|y＝}， ∴（0，1）在橢圓內，兩曲線有兩個交點，∴A∩B有兩個元素 ∴A∩B的子集的個數(shù)是22=4 故答案為：4 【思路點撥】確定A∩B有兩個元素，從而可求A∩B的子集的個數(shù)． 【理重慶一中高二期末xx】8、橢圓C：的左右焦點分別為，若橢圓C上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、 【知識點】橢圓的標準方程；簡單幾何性質. 【答案解析】D解析 ：解： (1)點P與短軸的頂點重合時，△F1F2P構成以F1F2為底邊的等腰三角形， 此種情況有2個滿足條件的等腰△F1F2P； (2)當△F1F2P構成以F1F2為一腰的等腰三角形時，以F2P作為等腰三角形的底邊為例，∵F1F2=F1P，∴點P在以F1為圓心，半徑為焦距2c的圓上,因此，當以F1為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，存在2個滿足條件的等腰△F1F2P， 此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e＞ 當e= 時，△F1F2P是等邊三角形，與①中的三角形重復，故e≠ 同理，當F1P為等腰三角形的底邊時，在e＞且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F1F2P 這樣，總共有6個不同的點P使得△F1F2P為等腰三角形 綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈. 故選：D. 【思路點撥】分等腰三角形△F1F2P以F1F2為底和以F1F2為一腰兩種情況進行討論，結合以橢圓焦點為圓心半徑為2c的圓與橢圓位置關系的判斷，建立關于a、c的不等式，解之即可得到橢圓C的離心率的取值范圍． 【江蘇鹽城中學高二期末xx】19．（本小題滿分16分） O A B P C D x y 第19題 如圖所示，在平面直角坐標系中，設橢圓，其中，過橢圓內一點的兩條直線分別與橢圓交于點和，且滿足，，其中為正常數(shù). 當點恰為橢圓的右頂點時，對應的. （1）求橢圓的離心率； （2）求與的值； （3）當變化時，是否為定值？若是，請求出此定值； 若不是，請說明理由. 【知識點】橢圓的性質；橢圓的標準方程；根與系數(shù)的關系. 【答案解析】（1）（2）（3）為定值. 解析 ：解：（1）因為，所以，得，即， 所以離心率. ………4分 （2）因為，，所以由，得， ………7分 將它代入到橢圓方程中，得，解得， 所以. ………10分 （3）法一：設， 由，得， ………12分 又橢圓的方程為，所以由， 得 ①， 且 ②， 由②得，， 即， 結合①，得， ………14分 同理，有，所以， 從而，即為定值. ………16分 法二：設， 由，得，同理，……12分 將坐標代入橢圓方程得，兩式相減得 ， 即， ……14分 同理，， 而，所以， 所以， 所以， 即，所以為定值. ………16分 【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的性質求出a，c的關系式