2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第3講 推理與證明 理.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第3講 推理與證明 理 考情解讀　1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題． 1．合情推理 (1)歸納推理 ①歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理． ②歸納推理的思維過程如下： →→ (2)類比推理 ①類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理． ②類比推理的思維過程如下： →→ 2．演繹推理 (1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷． (2)合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 3．直接證明 (1)綜合法 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： →→→…→ (2)分析法 用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為： →→→…→ 4．間接證明 反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導致邏輯矛 盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題“若p，則q”的過程可以用如圖所示的框圖表示． →→→ 5．數(shù)學歸納法 數(shù)學歸納法證明的步驟： (1)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立． (2)假設n＝k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知，對任意n≥n0，且n∈N*時，命題都成立． 熱點一　歸納推理 例1　(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是(　　) A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85 思維啟迪　(1)根據(jù)三個圖案中的正六邊形個數(shù)尋求規(guī)律；(2)靠窗口的座位號碼能被5整除或者被5除余1. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5(6－1)＝31. 故選B. (2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件． 思維升華　歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應用．其思維模式是“觀察——歸納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想． 　(1)四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上(如圖)，第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…這樣交替進行下去，那么第202次互換座位后，小兔坐在第______號座位上． 1鼠 2猴 3兔 4貓 　 開始 1兔 2貓 3鼠 4猴 第一次 1貓 2兔 3猴 4鼠 第二次 1猴 2鼠 3貓 4兔 第三次 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有________________． 答案　(1)B　(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*) 解析　(1)考慮小兔所坐的座位號，第一次坐在1號位上，第二次坐在2號位上，第三次坐在4號位上，第四次坐在3號位上，第五次坐在1號位上，因此小兔的座位數(shù)更換次數(shù)以4為周期，因為202＝504＋2，因此第202次互換后，小兔所在的座位號與小兔第二次互換座位號所在的座位號相同，因此小兔坐在2號位上，故選B. (2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>， f(25)>，所以當n≥2時，有f(2n)>. 故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)． 熱點二　類比推理 例2　(1)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. (2)已知雙曲正弦函數(shù)shx＝和雙曲余弦函數(shù)chx＝與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類似的正確結(jié)論________． 思維啟迪　(1)平面幾何中的面積可類比到空間幾何中的體積；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后驗證． 答案　(1)　(2)ch(x－y)＝chx chy－shx shy 解析　(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝. (2)chx chy－shx shy＝－ ＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy， 或sh(x－y)＝shx chy－chx shy， 或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy. 思維升華　類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起．當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比，例2即屬于此類題型．一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等． 　(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì)，如對于橢圓有如下命題：AB是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則kOMkAB＝－.那么對于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則kOMkAB＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)由{an}為等差數(shù)列，設公差為d， 則bn＝＝a1＋d， 又正項數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設公比為q， 則dn＝＝＝c1，故選D. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則有 將A，B代入雙曲線－＝1中得 －＝1，－＝1， 兩式相減，得＝， 即＝， 即＝， 即kOMkAB＝. 熱點三　直接證明和間接證明 例3　已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數(shù)列{bn}滿足： bn＝a－a (n≥1)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列． 思維啟迪　(1)利用已知遞推式中的特點構(gòu)造數(shù)列{1－a}；(2)否定性結(jié)論的證明可用反證法． (1)解　已知＝化為＝， 而1－a＝， 所以數(shù)列{1－a}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 則1－a＝n－1，則a＝1－n－1， 由anan＋1<0，知數(shù)列{an}的項正負相間出現(xiàn)， 因此an＝(－1)n＋1 ， bn＝a－a＝－n＋n－1 ＝n－1. (2)證明　假設存在某三項成等差數(shù)列，不妨設為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設m<n<p， 而bn＝n－1隨n的增大而減小， 那么只能有2bn＝bm＋bp， 可得2n－1＝m－1＋p－1， 則2n－m＝1＋p－m.(*) 當n－m≥2時，2n－m≤22＝，(*)式不可能成立，則只能有n－m＝1， 此時等式為＝1＋p－m， 即＝p－m，那么p－m＝log，左邊為正整數(shù)，右邊為無理數(shù)，不可能相等． 所以假設不成立，那么數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列． 思維升華　(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可． (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用． 　等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn； (2)設bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列． (1)解　由已知得所以d＝2， 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)，n∈N*. (2)證明　由(1)得bn＝＝n＋. 假設數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p≠q≠r)成等比數(shù)列，則b＝bpbr. 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，∴ ∵()2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r與p≠r矛盾． 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列． 熱點四　數(shù)學歸納法 例4　已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足S2n－1＝a，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn＝Tn為數(shù)列{bn}的前n項和． (1)求an，bn； (2)試比較T2n與2n2＋的大?。? 思維啟迪　(1)利用{an}的前n項確定通項公式(公差、首項)，{bn}的通項公式可分段給出； (2)先求Tn，歸納猜想Tn與2n2＋的關(guān)系，再用數(shù)學歸納法證明． 解　(1)設{an}首項為a1，公差為d，在S2n－1＝a中， 令n＝1,2得即 解得a1＝2，d＝4，所以an＝4n－2. 所以bn＝ (2)T2n＝1＋22－3＋22＋24－3＋24＋…＋22n－2＋22n－3 ＝1＋22＋24＋…＋22n－2＋4(1＋2＋…＋n)－3n ＝＋4－3n＝－＋2n2－n. 所以T2n－(2n2＋)＝(4n－4n－1)． 當n＝1時，(4n－4n－1)＝－<0， 當n＝2時，(4n－4n－1)＝>0， 當n＝3時，(4n－4n－1)＝>0，… 猜想當n≥2時，T2n>2n2＋， 即n≥2時，4n>4n＋1. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝2時，42＝16,42＋1＝9,16>9，成立； ②假設當n＝k(k≥2)時成立，即4k>4k＋1. 則當n＝k＋1時，4k＋1＝44k>4(4k＋1) ＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1時成立． 由①②得，當n≥2時，4n>4n＋1成立． 綜上，當n＝1時，T2n<2n2＋， 當n≥2時，T2n>2n2＋. 思維升華　在使用數(shù)學歸納法證明問題時，在歸納假設后，歸納假設就是證明n＝k＋1時的已知條件，把歸納假設當已知條件證明后續(xù)結(jié)論時，可以使用綜合法、分析法、反證法． 　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 解　(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)， 當n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)<g(2)， 當n＝3時，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)<g(3)． (2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學歸納法給出證明 ①當n＝1,2,3時，不等式顯然成立 ②假設當n＝k(k≥3)時不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋<－， 那么，當n＝k＋1時， f(k＋1)＝f(k)＋<－＋， 因為－(－) ＝－ ＝<0. 所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)， 即當n＝k＋1時，不等式成立． 由①②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． 1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的結(jié)論符合“情理”，其中主要是歸納推理與類比推理．歸納推理是由部分得到整體的一種推理模式．類比推理是由此及彼的推理模式；演繹推理是一種嚴格的證明方式． 2．直接證明的最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法，這兩種方法也是解決數(shù)學問題時常見的思維方式．在實際解題時，通常先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程． 3．數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的一種方法，在遇到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題時，要考慮是否可以使用數(shù)學歸納法進行證明． (1)在證明過程中突出兩個“湊”字，即一“湊”假設，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是在證明n＝k＋1時要用上n＝k時的假設，其次要明確n＝k＋1時證明的目標，充分考慮由n＝k到n＝k＋1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，化異為同，中間的計算過程千萬不能省略． (2)注意“兩個步驟、一個結(jié)論”一個也不能少，切忌忘記歸納結(jié)論． 真題感悟 1．(xx福建)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個關(guān)系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是________． 答案　6 解析　由題意知①②③④中有且只有一個正確，其余三個均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)：(1)若①正確，即a＝1，則②③④都錯誤，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1與b＝1矛盾，顯然此種情況不存在； (2)若②正確，即b≠1，則①③④都錯誤，即a≠1，c≠2，d＝4，則當b＝2時，有a＝3，c＝1；當b＝3時，有a＝2，c＝1，此時有2種有序數(shù)組． (3)若③正確，即c＝2，則①②④都錯誤，即a≠1，b＝1，d＝4，則a＝3，即此種情況有1種有序數(shù)組． (4)若④正確，即d≠4，則①②③都錯誤，即a≠1，b＝1，c≠2，則當d＝2時，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2種有序數(shù)組；當d＝3時，有c＝4，a＝2，僅1種有序數(shù)組． 綜上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(種)有序數(shù)組． 2．(xx陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是____________． 答案　F＋V－E＝2 解析　觀察F，V，E的變化得F＋V－E＝2. 押題精練 1．圓周上2個點可連成1條弦，這條弦可將圓面劃分成2部分；圓周上3個點可連成3條弦，這3條弦可將圓面劃分成4部分；圓周上4個點可連成6條弦，這6條弦最多可將圓面劃分成8部分．則n個點連成的弦最多可把圓面分成________部分．(　　) A．2n－1 B．2n C．2n＋1 D．2n＋2 答案　A 解析　由已知條件得： 圓周上的點數(shù) 連成的弦數(shù) 把圓面分成的部分數(shù) 2 1＝ 2＝21＝22－1 3 3＝ 4＝22＝23－1 4 6＝ 8＝23＝24－1 5 10＝ 16＝24＝25－1 … … … 由此可以歸納出，當點數(shù)為n時，連成的弦數(shù)為；弦把圓面分成的部分數(shù)為2n－1，故選A. 2．在計算“12＋23＋…＋n(n＋1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項，k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]， 由此得12＝(123－012)， 23＝(234－123)， … n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]． 相加，得12＋23＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)． 類比上述方法，計算“123＋234＋…＋n(n＋1)(n＋2)”的結(jié)果為____________． 答案　n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 解析　類比k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]， 可得到k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]， 先逐項裂項，然后累加即得n(n＋1)(n＋2)(n＋3)． (推薦時間：50分鐘) 一、選擇題 1．下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．以上均不正確 答案　B 解析　從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 答案　C 解析　觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4,7,11，…，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項． 繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十項為123，即a10＋b10＝123. 3．已知x>0，觀察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N*)，則a的值為(　　) A．nn B．n2 C．3n D．2n 答案　A 解析　根據(jù)已知，續(xù)寫一個不等式： x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故選A. 4．已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負數(shù) C．恒為0 D．可正可負 答案　A 解析　由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0， 所以a1>－a5. 由于f(x)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)， 所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0， 又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0. 故選A. 5．在平面內(nèi)點O是直線AB外一點，點C在直線AB上，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝1；類似地，如果點O是空間內(nèi)任一點，點A，B，C，D中任意三點均不共線，并且這四點在同一平面內(nèi)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z等于(　　) A．0 B．－1 C．1 D．1 答案　B 解析　在平面內(nèi)，由三角形法則， 得＝－，＝－. 因為A，B，C三點共線， 所以存在實數(shù)t，使＝t，即－＝t(－)， 所以＝－＋(＋1). 因為＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝＋1， 所以λ＋μ＝1. 類似地，在空間內(nèi)可得＝λ＋μ＋η，λ＋μ＋η＝1. 因為＝－，所以x＋y＋z＝－1.故選B. 6．已知f(n)＝32n＋2－8n－9，存在正整數(shù)m，使n∈N*時，能使m整除f(n)，則m的最大值為(　　) A．24 B．32 C．48 D．64 答案　D 解析　由f(1)＝64，f(2)＝704＝1164，f(3)＝6 528＝10264， 所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除． 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，由上得證； ②假設當n＝k(k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9＝9k＋1－8k－9能被64整除， 則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝9(k＋1)＋1－8(k＋1)－9＝99k＋1－8k－17＝9f(k)＋64(k＋1)． 由歸納假設，f(k)是64的倍數(shù)，又64(k＋1)是64的倍數(shù)，所以f(k＋1)能被64整除，所以當n＝k＋1時，猜想也成立． 因為f(1)不能被大于64的數(shù)整除， 所以所求m的最大值等于64.故選D. 二、填空題 7．如圖所示的是由火柴棒拼成的一列圖形，第n個圖形由n個正方形組成， 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第4個圖形中，火柴棒有________根；第n個圖形中，火柴棒有________根． 答案　13,3n＋1 解析　易得第四個圖形中有13根火柴棒，通過觀察可得，每增加一個正方形，需增加三根火柴棒，所以第n個圖形中的火柴棒為4＋3(n－1)＝3n＋1. 8．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為________． 答案　 解析　1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區(qū)域． 9．(xx課標全國Ⅰ)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此判斷乙去過的城市為________． 答案　A 解析　由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A. 10．對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m＝________. 答案　8 解析　由已知可觀察出m3可分裂為m個連續(xù)奇數(shù)，最小的一個為(m－1)m＋1.當m＝8時，最小的數(shù)為57，第二個便是59.所以m＝8. 三、解答題 11．已知a，b，m為非零實數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0. (1)求證：＋≥； (2)求證：m≥. 證明　(1)(分析法)要證＋≥成立， 只需證(＋)(a2＋b2)≥9， 即證1＋4＋＋≥9， 即證＋≥4. 根據(jù)基本不等式，有＋≥2＝4成立， 所以原不等式成立． (2)(綜合法)因為a2＋b2＝m－2，＋＝2m－1， 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9， 即2m2－5m－7≥0， 解得m≤－1或m≥. 又∵a2＋b2＝m－2>0 ∴m>2,故m≤－1舍去， ∴m≥. 12．若不等式＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 解　方法一　當n＝1時，＋＋>， 即>，所以a<26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25， 下面用數(shù)學歸納法證明 ＋＋…＋>. ①當n＝1時，已證得不等式成立． ②假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當n＝k＋1時， 有＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]． 因為＋－ ＝－ ＝ ＝>0， 所以當n＝k＋1時不等式也成立． 由①②知，對一切正整數(shù)n，都有＋＋…＋>， 所以正整數(shù)a的最大值為25. 方法二　設f(n)＝＋＋…＋ 則f(n＋1)－f(n)＝＋＋－ ＝＋－＝>0， ∴數(shù)列{f(n)}為遞增數(shù)列， ∴f(n)min＝f(1)＝＋＋＝， ∴＋＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立可轉(zhuǎn)化為<f(n)min，∴<，∴a<26. 故正整數(shù)a的最大值為25.