數學建模第一章建立數學模型.ppt

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第一章建立數學模型,1.1從現(xiàn)實對象到數學模型1.2數學建模的重要意義1.3數學建模示例1.4數學建模的方法和步驟1.5數學模型的特點和分類1.6怎樣學習數學建模,,玩具、照片、飛機、火箭模型……,~實物模型,水箱中的艦艇、風洞中的飛機……,~物理模型,地圖、電路圖、分子結構圖……,~符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1從現(xiàn)實對象到數學模型,我們常見的模型,你碰到過的數學模型——“航行問題”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,答：船速每小時20千米/小時.,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?,x=20y=5,航行問題建立數學模型的基本步驟,作出簡化假設（船速、水速為常數）；,用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；,求解得到數學解答（x=20,y=5）；,回答原問題（船速每小時20千米/小時）。,數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling),對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。,建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數學模型,數學建模,1.2數學建模的重要意義,電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。,數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。,在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；,在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；,數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。,數學建模的具體應用,分析與設計,預報與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數學建模,計算機技術,知識經濟,1.3數學建模示例,1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設,通常~三只腳著地,放穩(wěn)~四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數學上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,模型構成,用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用?(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是?的函數,四個距離(四只腳),A,C兩腳與地面距離之和~f(?),B,D兩腳與地面距離之和~g(?),兩個距離,?,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD繞O點旋轉,用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來,f(?),g(?)是連續(xù)函數,對任意?,f(?),g(?)至少一個為0,數學問題,已知：f(?),g(?)是連續(xù)函數;對任意?，f(?)?g(?)=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在?0，使f(?0)=g(?0)=0.,模型構成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,,,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(?/2)=0,g(?/2)>0.令h(?)=f(?)–g(?),則h(0)>0和h(?/2)<0.由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數,據連續(xù)函數的基本性質,必存在?0,使h(?0)=0,即f(?0)=g(?0).因為f(?)?g(?)=0,所以f(?0)=g(?0)=0.,評注和思考,建模的關鍵~,?和f(?),g(?)的確定,1.3.2商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲),???3名商人???3名隨從,隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步決策過程,決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河.,模型構成,xk~第k次渡河前此岸的商人數,yk~第k次渡河前此岸的隨從數,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,??,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài),S={(x,y)?x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2},S~允許狀態(tài)集合,uk~第k次渡船上的商人數,vk~第k次渡船上的隨從數,dk=(uk,vk)~決策,D={(u,v)?u+v=1,2}~允許決策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,??,sk+1=skdk,+(-1)k,~狀態(tài)轉移律,求dk?D(k=1,2,?n),使sk?S,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).,多步決策問題,模型求解,窮舉法~編程上機,圖解法,,狀態(tài)s=(x,y)~16個格點,允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,,d1,?，d11給出安全渡河方案,,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S={(x,y)?x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2},背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,1.3.3如何預報人口的增長,指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798),常用的計算公式,x(t)~時刻t的人口,基本假設:人口(相對)增長率r是常數,今年人口x0,年增長率r,k年后人口,隨著時間增加，人口按指數規(guī)律無限增長,指數增長模型的應用及局限性,與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據吻合,適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預測,不符合19世紀后多數地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預測較長期的人口增長過程,19世紀后人口數據,阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數量增加而變大,假設,r~固有增長率(x很小時),xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數量）,,,,x(t)~S形曲線,x增加先快后慢,,阻滯增長模型(Logistic模型),參數估計,用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm,利用統(tǒng)計數據用最小二乘法作擬合,例：美國人口數據（單位~百萬）,專家估計,阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較,實際為281.4(百萬),,模型應用——預報美國2010年的人口,加入2000年人口數據后重新估計模型參數,Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),數學建模的基本方法,機理分析,測試分析,根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。,二者結合,用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數,1.4數學建模的方法和步驟,數學建模的一般步驟,模型準備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關信息,掌握對象特征,形成一個比較清晰的‘問題’,模型假設,針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設,在合理與簡化之間作出折中,模型構成,用數學的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數學工具,數學建模的一般步驟,模型求解,各種數學方法、軟件和計算機技術,如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析,模型分析,模型檢驗,與實際現(xiàn)象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性,模型應用,數學建模的一般步驟,數學建模的全過程,現(xiàn)實對象的信息,數學模型,現(xiàn)實對象的解答,數學模型的解答,(歸納),(演繹),表述,求解,解釋,驗證,根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題,選擇適當的數學方法求得數學模型的解答,將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象,用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答,實踐,現(xiàn)實世界,數學世界,1.5數學模型的特點和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進性,模型的強健性,模型的可轉移性,模型的非預制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數學模型的特點,數學模型的分類,應用領域,人口、交通、經濟、生態(tài)……,數學方法,初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……,表現(xiàn)特性,描述、優(yōu)化、預報、決策……,建模目的,確定和隨機,靜態(tài)和動態(tài),線性和非線性,離散和連續(xù),1.6怎樣學習數學建模,數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術,技術大致有章可循,藝術無法歸納成普遍適用的準則,想像力,洞察力,判斷力,學習、分析、評價、改進別人作過的模型,親自動手，認真作幾個實際題目,