2019-2020年九年級數(shù)學下冊 1.2 30°45°60°角的三角函數(shù)值(1)教案 北師大版.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學下冊 1.2 30°45°60°角的三角函數(shù)值(1)教案 北師大版.doc
2019-2020年九年級數(shù)學下冊 1.2 30,45,60角的三角函數(shù)值(1)教案 北師大版
本節(jié)在前兩節(jié)介紹了正切、正弦、余弦定義的基礎上,經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程,進一步體會三角函數(shù)的意義,并能夠進行含有30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.
因此本節(jié)的重點是利用三角函數(shù)的定義求30、45、60這些特殊角的特殊三角函數(shù)值,并能夠進行含有30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.難點是利用已有的數(shù)學知識推導出30、45、60這些特殊角的三角函數(shù)值.
三角尺是學生非常熟悉的學習用具,教學中,教師應大膽地鼓勵學生用所學的數(shù)學知識如“直角三角形中,30角所對的邊等于斜邊的一半”的特性,經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程,發(fā)展學生的推理能力和計算能力.
教學目標
(一)教學知識點
1.經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程,能夠進行有關的推理.進一步體會三角函數(shù)的意義.
2.能夠進行30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.
3.能夠根據(jù)30、45、60的三角函數(shù)值說明相應的銳角的大小.
(二)思維訓練要求
1.經(jīng)歷探索30、45、60角的三角函數(shù)值的過程,發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力.
2.培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.
(三)情感與價值觀要求
1.積極參與數(shù)學活動,對數(shù)學產(chǎn)生好奇心.培養(yǎng)學生獨立思考問題的習慣.
2.在數(shù)學活動中獲得成功的體驗,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.
教具重點
1.探索30、45、60角的三角函數(shù)值.
2.能夠進行含30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.
3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.
教學難點
進一步體會三角函數(shù)的意義.
教學方法
自主探索法
教學準備
一副三角尺
多媒體演示
教學過程
Ⅰ.創(chuàng)設問題情境,引入新課
[問題]為了測量一棵大樹的高度,準備了如下測量工具:①含30和60兩個銳角的三角尺;②皮尺.請你設計一個測量方案,能測出一棵大樹的高度.
(用多媒體演示上面的問題,并讓學生交流各自的想法)
[生]我們組設計的方案如下:
讓一位同學拿著三角尺站在一個適當?shù)奈恢肂處,使這位同學拿起三角尺,她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點,30的鄰邊和水平方向平行,用卷尺測出AB的長度,BE的長度,因為DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的長度即可.
[生]在Rt△ACD中,∠CAD=30,AD=BE,BE是已知的,設BE=a米,則AD=a米,如何求CD呢?
[生]含30角的直角三角形有一個非常重要的性質(zhì):30的角所對的邊等于斜邊的一
半,即AC=2CD,根據(jù)勾股定理,(2CD)2=CD2+a2.
CD=a.
則樹的高度即可求出.
[師]我們前面學習了三角函數(shù)的定義,如果一個角的大小確定,那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定,如果能求出30的正切值,在上圖中,tan30=,則CD=
atan30,豈不簡單.
你能求出30角的三個三角函數(shù)值嗎?
Ⅱ.講授新課
1.探索30、45、60角的三角函數(shù)值.
[師]觀察一副三角尺,其中有幾個銳角?它們分別等于多少度?
[生]一副三角尺中有四個銳角,它們分別是30、60、45、45.
[師]sin30等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.
[生]sin30=.
sin30表示在直角三角
形中,30角的對邊與
斜邊的比值,與直角三角形的大小無關.我們不妨設30角所對的邊為a(如圖所示),根據(jù)“直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半”的性質(zhì),則斜邊等于2a.根據(jù)勾股定理,可知30角的鄰邊為a,所以sin30=.
[師]cos30等于多少?tan30呢?
[生]cos30=.
tan30=
[師]我們求出了30角的三個三角函數(shù)值,還有兩個特殊角——45、60,它們的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的?
[生]求60的三角函數(shù)值可以利用求30角三角函數(shù)值的三角形.因為30角的對邊和鄰邊分別是60角的鄰邊和對邊.利用上圖,很容易求得sin60=,
cos60=,
tan60=.
[生]也可以利用上節(jié)課我們得出的結論:一銳角的正弦等于它余角的余弦,一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60=cos(90-60)=cos30=cos60=sin(90-
60)=sin30=.
[師生共析]我們一同來
求45角的三角函數(shù)值.含
45角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如圖)設其中一
條直角邊為a,則另一條直角
邊也為a,斜邊a.由此可求得
sin45=,
cos45=,
tan45=
[師]下面請同學們完成下表(用多媒體演示)
30、45、60角的三角函數(shù)值
三角函數(shù)角
sinα
coα
tanα
30
45
1
60
這個表格中的30、45、60角的三角函數(shù)值需熟記,另一方面,要能夠根據(jù)30、45、60角的三角函數(shù)值,說出相應的銳角的大小.
為了幫助大家記憶,我們觀察表格中函數(shù)值的特點.先看第一列30、45、60角的正弦值,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?
[生]30、45、60角的正弦值分母都為2,分子從小到大分別為,,,隨著角度的增大,正弦值在逐漸增大.
[師]再來看第二列函數(shù)值,有何特點呢?
[生]第二列是30,45、60角的余弦值,它們的分母也都是2,而分子從大到小分別為,,,余弦值隨角度的增大而減小.
[師]第三列呢?
[生]第三列是30、45、60角的正切值,首先45角是等腰直角三角形中的一個銳角,所以tan45=1比較特殊.
[師]很好,掌握了上述規(guī)律,記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30、
45、60角的三角函數(shù)值的記憶情況.相信同學們一定做得很棒.
2.例題講解(多媒體演示)
[例1]計算
(1)sin30+cos45;
(2)sin260+cos260-tan45.
分析:本題旨在幫助學生鞏固特殊角的三角函數(shù)值,今后若無特別說明,用特殊角三角函數(shù)值進行計算時,一般不取近似值,另外sin260表示(sin60)2,cos260表示
(cos60)2.
解:(1)sin30+cos45=,
(2)sin260+cos260-tan45
=()2+()2-1
= + -1
=0.
[例2]一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5 m,當秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為60,且兩邊的擺動角度相同,求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結果精確到0.01 m)
分析:引導學生自己根據(jù)題意畫出示意圖,培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.
解:根據(jù)題意(如圖)
可知,∠BOD=60,
OB=OA=OD=2.5 m,
∠AOD=60=30,
∴OC=ODcos30
=2.5≈2.165(m).
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
所以,最高位置與最低位置的高度約為
0.34 m.
Ⅲ.隨堂練習
多媒體演示
1.計算:
(1)sin60-tan45;
(2)cos60+tan60;
(3) sin45+sin60-2cos45.
解:(1)原式=-1=;
(2)原式=+=
(3)原式=+;
=
2.某商場有一自動扶梯,其傾斜角為30.高為7 m,扶梯的長度是多少?
解:扶梯的長度為=14(m),
所以扶梯的長度為14 m.
Ⅳ.課時小結
本節(jié)課總結如下:
(1)探索30、45、60角的三角函數(shù)值.
sin30=,sin45=,sin60=;
cos30=,cos45= ,cos60=;
tan30= ,tan45
=1,tan60=.
(2)能進行含30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.
(3)能根據(jù)30、45、60角的三角函數(shù)值,說出相應銳角的大小.
Ⅴ.課后作業(yè)
習題1.3第1、2題
Ⅵ.活動與探究
(xx年甘肅)如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓,它們的高AB=CD=30 m,兩樓問的距離AC=24 m,現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當太陽光與水平線的夾角為30時,求甲樓的影子在乙樓上有多高?
(精確到0.1 m,≈1.41,≈1.73)
[過程]根據(jù)題意,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,當光線從樓頂E,直射到乙樓D點,D點向下便接受不到光線,過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC=24 m,∠EDB=30.可求出BE,由于甲、乙樓一樣高,所以DF=BE.
[結果]在Kt△BDE中,BE=DBtan30=24=8m.
∵DF=BE,
∴DF=8≈81.73=13.84(m).
甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m).
板書設計
1.2 30、45、60角的三角函數(shù)值
一、探索30、45、60的三角函數(shù)值1.預備知識:含30的直角三角形中,30角
的對邊等于斜邊的一半.
含45的直角三角形是等腰直角三角形.
2.30,45,60角的三角函數(shù)值列表如下:
三角函數(shù)角
角α
sinα
coα
tanα
30
45
1
60
二、含30、45、60角的三角函數(shù)值的計算.
三、實際應用
備課資料
參考練習
1.(xx年北京石景山)計算:.
答案:3-
2.(xx年北京崇文)汁算:(+1)-1+2sin30-
答案:-
3.(xx年廣東梅州)計算:(1+)0-|1-sin30|1+()-1.
答案:
4. (xx 年廣西)計算:sin60+
答案:-
5.(xx年內(nèi)蒙古赤峰)計算;2-3-(+π)0-cos60-.
答案:-