2019-2020年九年級數學下冊 1.2 30°45°60°角的三角函數值(1)教案 北師大版.doc

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2019-2020年九年級數學下冊 1.2 30，45，60角的三角函數值(1)教案 北師大版 本節(jié)在前兩節(jié)介紹了正切、正弦、余弦定義的基礎上，經歷探索30、45、60角的三角函數值的過程，進一步體會三角函數的意義，并能夠進行含有30、45、60角的三角函數值的計算. 因此本節(jié)的重點是利用三角函數的定義求30、45、60這些特殊角的特殊三角函數值，并能夠進行含有30、45、60角的三角函數值的計算.難點是利用已有的數學知識推導出30、45、60這些特殊角的三角函數值. 三角尺是學生非常熟悉的學習用具，教學中，教師應大膽地鼓勵學生用所學的數學知識如“直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半”的特性，經歷探索30、45、60角的三角函數值的過程，發(fā)展學生的推理能力和計算能力. 教學目標 (一)教學知識點 1.經歷探索30、45、60角的三角函數值的過程，能夠進行有關的推理.進一步體會三角函數的意義. 2.能夠進行30、45、60角的三角函數值的計算. 3.能夠根據30、45、60的三角函數值說明相應的銳角的大小. (二)思維訓練要求 1.經歷探索30、45、60角的三角函數值的過程，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力. 2.培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數學問題的能力. (三)情感與價值觀要求 1.積極參與數學活動，對數學產生好奇心.培養(yǎng)學生獨立思考問題的習慣. 2.在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心. 教具重點 1.探索30、45、60角的三角函數值. 2.能夠進行含30、45、60角的三角函數值的計算. 3.比較銳角三角函數值的大小. 教學難點 進一步體會三角函數的意義. 教學方法 自主探索法 教學準備 一副三角尺 多媒體演示 教學過程 Ⅰ.創(chuàng)設問題情境，引入新課 [問題]為了測量一棵大樹的高度，準備了如下測量工具：①含30和60兩個銳角的三角尺；②皮尺.請你設計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度. (用多媒體演示上面的問題，并讓學生交流各自的想法) [生]我們組設計的方案如下： 讓一位同學拿著三角尺站在一個適當的位置B處，使這位同學拿起三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢C點，30的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測出AB的長度，BE的長度，因為DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的長度即可. [生]在Rt△ACD中，∠CAD＝30，AD＝BE，BE是已知的，設BE=a米，則AD＝a米，如何求CD呢? [生]含30角的直角三角形有一個非常重要的性質：30的角所對的邊等于斜邊的一 半，即AC＝2CD，根據勾股定理，(2CD)2＝CD2+a2. CD＝a. 則樹的高度即可求出. [師]我們前面學習了三角函數的定義，如果一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、余弦值也隨之確定，如果能求出30的正切值，在上圖中，tan30=，則CD= atan30，豈不簡單. 你能求出30角的三個三角函數值嗎? Ⅱ.講授新課 1.探索30、45、60角的三角函數值. [師]觀察一副三角尺，其中有幾個銳角?它們分別等于多少度? [生]一副三角尺中有四個銳角，它們分別是30、60、45、45. [師]sin30等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流. [生]sin30＝. sin30表示在直角三角 形中，30角的對邊與 斜邊的比值，與直角三角形的大小無關.我們不妨設30角所對的邊為a(如圖所示)，根據“直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半”的性質，則斜邊等于2a.根據勾股定理，可知30角的鄰邊為a，所以sin30＝. [師]cos30等于多少?tan30呢? [生]cos30＝. tan30= [師]我們求出了30角的三個三角函數值，還有兩個特殊角——45、60，它們的三角函數值分別是多少?你是如何得到的? [生]求60的三角函數值可以利用求30角三角函數值的三角形.因為30角的對邊和鄰邊分別是60角的鄰邊和對邊.利用上圖，很容易求得sin60=, cos60=, tan60＝. [生]也可以利用上節(jié)課我們得出的結論：一銳角的正弦等于它余角的余弦，一銳角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60＝cos(90-60)＝cos30=cos60=sin(90- 60)=sin30=. [師生共析]我們一同來 求45角的三角函數值.含 45角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如圖)設其中一 條直角邊為a，則另一條直角 邊也為a，斜邊a.由此可求得 sin45=, cos45＝, tan45= [師]下面請同學們完成下表(用多媒體演示) 30、45、60角的三角函數值 三角函數角 sinα coα tanα 30 45 1 60 這個表格中的30、45、60角的三角函數值需熟記，另一方面，要能夠根據30、45、60角的三角函數值，說出相應的銳角的大小. 為了幫助大家記憶，我們觀察表格中函數值的特點.先看第一列30、45、60角的正弦值，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢? [生]30、45、60角的正弦值分母都為2，分子從小到大分別為，，，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大. [師]再來看第二列函數值，有何特點呢? [生]第二列是30，45、60角的余弦值，它們的分母也都是2，而分子從大到小分別為，，，余弦值隨角度的增大而減小. [師]第三列呢? [生]第三列是30、45、60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一個銳角，所以tan45=1比較特殊. [師]很好，掌握了上述規(guī)律，記憶就方便多了.下面同桌之間可互相檢查一下對30、 45、60角的三角函數值的記憶情況.相信同學們一定做得很棒. 2.例題講解(多媒體演示) [例1]計算 (1)sin30+cos45； (2)sin260+cos260-tan45. 分析：本題旨在幫助學生鞏固特殊角的三角函數值，今后若無特別說明，用特殊角三角函數值進行計算時，一般不取近似值，另外sin260表示(sin60)2，cos260表示 (cos60)2. 解：(1)sin30+cos45=, (2)sin260+cos260-tan45 =()2+()2-1 = + -1 ＝0. [例2]一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m，當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結果精確到0.01 m) 分析：引導學生自己根據題意畫出示意圖，培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數學問題的能力. 解：根據題意(如圖) 可知，∠BOD=60， OB=OA＝OD=2.5 m， ∠AOD＝60＝30， ∴OC=ODcos30 =2.5≈2.165(m). ∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m). 所以，最高位置與最低位置的高度約為 0.34 m. Ⅲ.隨堂練習 多媒體演示 1.計算： (1)sin60-tan45； (2)cos60+tan60； (3) sin45+sin60-2cos45. 解：(1)原式＝-1=； (2)原式=+= (3)原式=+； = 2.某商場有一自動扶梯，其傾斜角為30.高為7 m，扶梯的長度是多少? 解：扶梯的長度為=14(m)， 所以扶梯的長度為14 m. Ⅳ.課時小結 本節(jié)課總結如下： (1)探索30、45、60角的三角函數值. sin30＝，sin45＝，sin60＝； cos30＝，cos45＝ ，cos60＝； tan30= ，tan45 ＝1，tan60=. (2)能進行含30、45、60角的三角函數值的計算. (3)能根據30、45、60角的三角函數值，說出相應銳角的大小. Ⅴ.課后作業(yè) 習題1.3第1、2題 Ⅵ.活動與探究 (xx年甘肅)如圖為住宅區(qū)內的兩幢樓，它們的高AB＝CD=30 m，兩樓問的距離AC=24 m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當太陽光與水平線的夾角為30時，求甲樓的影子在乙樓上有多高? (精確到0.1 m，≈1.41，≈1.73) [過程]根據題意，將實際問題轉化為數學問題，當光線從樓頂E，直射到乙樓D點，D點向下便接受不到光線，過D作DB⊥AE(甲樓).在Rt△BDE中.BD=AC＝24 m，∠EDB＝30.可求出BE，由于甲、乙樓一樣高，所以DF=BE. [結果]在Kt△BDE中，BE=DBtan30＝24=8m. ∵DF＝BE， ∴DF=8≈81.73＝13.84(m). 甲樓的影子在乙樓上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 板書設計 1.2 30、45、60角的三角函數值 一、探索30、45、60的三角函數值1.預備知識：含30的直角三角形中，30角 的對邊等于斜邊的一半. 含45的直角三角形是等腰直角三角形. 2.30，45，60角的三角函數值列表如下： 三角函數角 角α sinα coα tanα 30 45 1 60 二、含30、45、60角的三角函數值的計算. 三、實際應用 備課資料 參考練習 1.(xx年北京石景山)計算：. 答案：3- 2.(xx年北京崇文)汁算：(+1)-1+2sin30- 答案：- 3.(xx年廣東梅州)計算：(1+)0-｜1-sin30｜1+()-1. 答案： 4. (xx 年廣西)計算：sin60+ 答案：- 5.(xx年內蒙古赤峰)計算；2-3-(+π)0-cos60-. 答案：-