高數(shù)2005專插本試題及答案

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1、 高等數(shù)學(xué) 歷年試題集及答案 (2005-2016) 2005年廣東省普通高等學(xué)校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、下列等式中,不成立的是 A、 B、 C、 D、 2、設(shè)是在()上的連續(xù)函數(shù),且,則= A、 B、 C、 D、 3、設(shè),則 A、-

2、 B、 C、- D、 4、下列函數(shù)中,在閉區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是 A、x B、 C、 D、 5、已知,則= A、 B、 C、 D、 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、極限= 。 7、定積分= 。 8、設(shè)函數(shù),則= 。 9、若函數(shù)在x=0處連續(xù),則a= 。 10、微分方程的通解是

3、 。 三、計(jì)算題(本大題共10小題,每小題5分,共50分) 11、求極限)。 12、求極限。 13、已知,求。 14、設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求。 15、計(jì)算不定積分。 16、計(jì)算定積分。 17、求由兩條曲線及兩條直線所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。 18、計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域 。 19、求微分方程滿足初始條件的特解。 20、已知,求全微分。 四、綜合題(本大題共3小題,第21小題8分,第22、23小題各6分,共20分) 21、設(shè), (1)求的單調(diào)區(qū)間及極值; (2)求的閉區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。 22、證明

4、:當(dāng)時,。 23、已知,且,求f(0)。 2005年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題答案及評分參考 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、1; 7、0; 8、 9、 10、 三、計(jì)算題(本大題共10小題,每小題5分,共50分) 11、解: 5分 2分 2分 12、解: 5分 2分 13、解: 5分

5、 2分 14、解法一:設(shè),則 2分 4分 故5分 (x≠y)。 解法二:方程可寫為 視,上式兩邊對x求導(dǎo)得 3分 , 4分 即, 5分 所以,推出 (x≠y) 15、解: (每項(xiàng)的原函數(shù)求對各得1分,總體答案寫對得5分) 1分 16、解:令,則 3分 6分 6分 17、解:由兩條曲線及兩條直線所圍成的平面圖形 如圖所示(要畫出草圖,不畫圖不扣分),依題意,旋轉(zhuǎn)體的體積為 3分

6、 5分 18、解:采用極坐標(biāo)變換,則 3分 5分 19、解:方程的特征方程為 2分 解出 可知方程的通解為3分 由上式可得 用初始條件代入上面兩式得 解出5分 故所求的特解為 2分 20、解: 4分 故 5分 四、綜合題(本大題共3小題,第21小題8分,第22、23小題各6分,共20分) 21、解:的定義域?yàn)椋? 2分 令,解出駐點(diǎn)(即穩(wěn)

7、定點(diǎn)) 列表 x -1 (-1,1) 1 — 0 + 0 — 單調(diào)減 極小 單調(diào)增 極大 單調(diào)減 4分 可知極小值 5分 極大值 (2)因在[0,2]上連續(xù),由(1)知在(0,2)內(nèi)可導(dǎo),且在(0,2),內(nèi)只有一個駐點(diǎn)(極大值點(diǎn)),因,且 8分 故在閉區(qū)間[0,2]上的最大值為,最小值為 1分 22、證明:設(shè)則 由拉格朗日中值定理知,存在一點(diǎn),使 ,4分 即 , 6分 又因 ,故 23、解:應(yīng)用分部積分法 2分 4分 由題意有

8、 6分 2006年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分。每小題給出的四個選項(xiàng),只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1、函數(shù)在x = 0處 A. 無定義 B. 不連續(xù) C. 可導(dǎo) D. 連續(xù)但不可導(dǎo) 2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù),且則= A. -4 B. 0 C. D. 4 3、設(shè)函數(shù)若存在,則 = A.

9、 B. C. D. 4、設(shè),則 = A. B. C. D. 5、積分 A. 收斂且等于-1 B. 收斂且等于0 C. 收斂且等于1 D. 發(fā)散 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、若直線是曲線的水平漸近線,則= 。 7、由參數(shù)方程所確定的曲線在t=0相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程是 。 8、積分 。 9、曲線及直線x = 0,x = 1和y = 0所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的

10、旋轉(zhuǎn)體體積V = 。 10、微分方程的通解是 。 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分。解答應(yīng)寫出演算步驟和必要的文字說明) 11、求極限。 12、計(jì)算不定積分。 13、設(shè)函數(shù)。 14、函數(shù)y = y(x)是由方程所確定的隱函數(shù),求在點(diǎn)(1,0)處的值。 15、計(jì)算定積分。 16、求二重積分,其中積分區(qū)域。 17、設(shè)函數(shù),求。 18、求微分方程滿足初始條件的特解。 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題14分,第20小題8分,共22分) 19、已知函數(shù)是在上的一個原函數(shù),且f(0)=0. (1)求;

11、 (2)求的單調(diào)區(qū)間和極值; (3)求極限。 20、設(shè),都是上的可導(dǎo)函數(shù),且,g=(0)=0。試證:。 2006年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題答案及評分參考 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、8 7、x+2y-3=0 8、4 9、 10、 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11、解法一: 2分 3分 6分

12、 2分 4分 解法二: 6分 1分 解法三: 2分 4分 5分 6分 (說明:不轉(zhuǎn)換成函數(shù)極限,直接用洛必達(dá)法則計(jì)算可以不扣分) 6分 2分 2分 12、解法一: = 2分 解法二: 6分 = 1分 解法三:設(shè)= t,則x = 3分 5分 == 6分 = 3分 13、解:=, 5分 , 6分 1分 14、解法一:將方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得 4分

13、 , 5分 則 6分 。 解法二:將方程兩邊取自然對數(shù)得 4分 1分 5分 則 6分 . 1分 解法三:設(shè)F(x,y)=, 2分 則,, 3分 , 5分 6分 . 2分 15、解: 6分 5分 4分 1分 16、解法一:D=如答圖1所示 3分 6分 5分 4分 1分 解法二:D=如答圖1所示 3分 6分 5分 4分 (說明:本題不畫圖,不扣

14、分) 2分 17、解: 3分 =, 6分 5分 2分 18、解:原方程可變形為:, 4分 (說明:沒寫絕對值不扣分) 5分 化簡得: 將初始條件代入得: 6分 故所求的特解為. 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題14分,第20小題8分,共22分) 1分 19、解:(1) 4分 3分 (2), 5分 令,解得x=0,x=1,x=3. 列函數(shù)性態(tài)表如下 () 0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,) + 0 + 0 - 0 + ↗ 無極值 ↗ 極大值 ↘ 極小

15、值 ↗ 8分 (說明:不列表,分別討論單調(diào)性不扣分) 9分 故f(x)在區(qū)間()及(3,)單調(diào)上升,在區(qū)間(1,3)單調(diào)下降; f(x)的極大值f(1)=1,極小值f(3)=-27。 11分 (3)解法一: 14分 12分 11分 解法二: 14分 12分 14分 1分 20、證明:設(shè), 3分 則。 5分 6分 故=c,c為常數(shù)。 又 8分 。 2007年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等

16、數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分。每小題給出的四個選項(xiàng),只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1、函數(shù)的定義域是 A.(,0)(0,) B.(,0) C.(0,) D. 2、極限 A. 等于-1 B. 等于0 C. 等于1 D.不存在 3、設(shè)是在(0,)內(nèi)的一個原函數(shù),下列等式不成立的 A. B. C. D. 4、設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是 A. 的極大值為1

17、 B. 的極小值為1 C. 的極大值為 D. 的極小值為 5、設(shè)則 A.等于1 B.等于-1 C.等于0 D. 不存在 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6、極限 。 7、設(shè),要使在處連續(xù),應(yīng)補(bǔ)充定義= 。 8、設(shè)函數(shù),則其函數(shù)圖像的水平漸近線方程是 。 9、微分方程的通解是y= 。 10、設(shè),則全微分du=

18、 。 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11、求極限的值。 12、設(shè),求二階導(dǎo)數(shù)。 13、設(shè)函數(shù)由方程確定,求。 14、計(jì)算不定積分。 15、計(jì)算定積分。 16、設(shè)平面圖形由曲線與直線及圍成,求該圖形線y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積。 17、設(shè),計(jì)算的值。 18、計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域。 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 19、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且滿足,求。 20、設(shè)函數(shù), (1)求; (2)證明:當(dāng)x>0時,單調(diào)增加。 2007年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題答案及評分參考

19、一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、 7、 8、y=1 9、 10、 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11、解:應(yīng)用洛必塔法則, 原式= …………(3分) = …………(6分) = =0. …………(4分) 12、解:. [說明:正確計(jì)算和各得2分] …………(6分)

20、 . 13、解:將代入方程得: …………(2分) . 方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得: …………(4分) . 將代入上式得: …………(6分) . 14、解:原式 …………(6分) . (說明:正確計(jì)算) …………(2分) 15、解法一:設(shè),則時,;時,. …………(4分) = = = …………(6分) =

21、 …………(2分) 解法二:原式= …………(4分) = …………(6分) =. 16、解:如答圖1所示,所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 …………(3分) …………(6分) . …………(2分) 17、解:由題意知, …………(4分) …………(6分) 18、解:如答圖2所示, …………(3分) = = = …………(6分) = 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題14分,第20小題8分,共22分) …………(1分) 19、解:當(dāng)時,有 由題意知可導(dǎo),

22、 等式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得: …………(4分) 記,則有=0. …………(6分) …………(8分) . …………(10分) 故. 20、解:(1)兩邊取對數(shù)得 …………(2分) 兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得 …………(6分) 則. (2)(證法一)當(dāng)x>0時, 記,在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得 << …………(10分) 即>>0, 于是>0, …………(12分) 故當(dāng)>0時,單調(diào)增加. (證法二)當(dāng)>0時,記, …………(8分) 則<0, 所以在(0,)內(nèi)單調(diào)下降. 又 …………(10分) 當(dāng)>0時,>0,于是>0,

23、 …………(12分) 故當(dāng)>0時,單調(diào)增加. 2008年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分。每小題給出的四個選項(xiàng),只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1、下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 A. B. C. D. 2、極限= A. e B. C. 1 D.-1 3、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在該點(diǎn)處可導(dǎo)的 A.必要非充分條件

24、 B. 充分非必要條件 C.充分必要條件 D. 既非充分也非必要條件 4、下列函數(shù)中,不是的原函數(shù)的是 A. B. C. D. 5、已知函數(shù),則 = A. B. C. D. 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6、極限= 。 7、曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程是= 。 8、積分= 。 9、設(shè),則= 。 10、微分方程的通解是

25、 。 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11、計(jì)算。 12、求函數(shù)在區(qū)間[-1,2]上的最大值及最小值。 13、設(shè)參數(shù)方程確定函數(shù)y=y(x),計(jì)算。 14、求不定積分。 15、計(jì)算定積分。 16、設(shè)方程確定隱函數(shù),求。 17、計(jì)算二重積分,其中D是由y軸、直線y=1,y=2及曲線xy=2所圍成的平面區(qū)域。 18、求微分方程滿足初始條件的特解。 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 19、證明:對>0,>。 20、設(shè)函數(shù)在區(qū)間[0,1]上連續(xù),且0<<1,判斷方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有幾個實(shí)根

26、,并證明你的結(jié)論。 2008年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題答案及評分參考 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、 7、 8、2 9、0 10、 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) (3分) 11、解:= (4分) = (6分)

27、 =. (2分) 12、解:, (4分) 令,即,解得駐點(diǎn)x=0, (6分) 又,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上最大值M=2 及最小值m=0. (3分) 13、解:, (6分) . (1分) 14、解: (3分) (5分) (6分) . (2分) 15、解:. (3分) (5分) (6分) . 16、解:設(shè), (3分) 則, (6分) . (2分) 17、解: (4分) = (6分) = . (2分) 18、解: (4分

28、) , 由條件有, (6分) 故滿足初始條件的特解為. 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 19、證明:>等價于>. (2分) 令, (4分) , (6分) >0, (8分) 于是在內(nèi)單調(diào)增加,從而>=0, (10分) 所以在內(nèi)單調(diào)增加,故>=0,即>. (3分) 20、解:設(shè),則在[0,1]上連續(xù), ,因?yàn)?<f(x)<1,可證<1,于是>0, (6分) 所以在(0,1)內(nèi)至少有一個零點(diǎn). (9分) 又>2﹣1>0,在[0,1]上單調(diào)遞增, (12分) 所以在

29、(0,1)內(nèi)有唯一零點(diǎn),即在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根 2009年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分。每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求) 1、設(shè)則 A. -1 B. 1 C. 3 D. 2、極限 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3、下列函數(shù)中,在點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)的是 A.

30、 B. C. D. 4、積分 A. B. C. D. 5、改變二次積分的積分次序,則I= A. B. C. D. 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6、若當(dāng)時,,則常數(shù)a= 。 7、曲線的水平漸近線方程是 。 8、若曲線在t=0處的切線斜率為1,則常數(shù)k= 。 9、已知二元函數(shù)的全微分則=

31、 。 10、已知函數(shù)滿足 。 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11、計(jì)算極限。 12、設(shè)用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算。 13、已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 14、計(jì)算不定積分。 15、計(jì)算定積分。 16、設(shè)隱函數(shù)由方程。 17、計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域。 18、求微分方程滿足初始條件的特解。 四、綜合題(大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 19、用G表示由曲線y=1nx及直線x+y=1,y=1圍成的平面圖形。 (1)求G的面積; (2)求G繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 20、設(shè)函數(shù). (1)

32、判斷在區(qū)間(0,2)上的圖形的的凹凸性,并說明理由; (2)證明:當(dāng)0<x<2時,有<0。 2009年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題答案及評分參考 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1、A 2、C 3、A 4、D 5、C 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6、-4 7、 8、4 9、2y 10、 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) (2分) 11、解:原式= (4分)

33、 = (6分) =. 12、解:, (3分) = (6分) =. (2分) 13、解:, (5分) (6分) . 14、解:設(shè) (3分) 原式= = (6分) =(6分) . (2分) 15、解:為奇函數(shù),, 而為偶函數(shù), (5分) (6分) 故原式 (6分) 16、解:設(shè),則 (3分) (6分)

34、 所以 17、解:設(shè), (4分) 則原式= (6分) = 18、解:因?yàn)槲⒎址匠痰奶卣鞣匠虨? (2分) 解得. (4分) 微分方程的通解為. , 有, (6分) ,解得,, 故特解為. 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) (3分) 19、解:(1) = (5分) (8分) (2) = (10分) = (2分) 20、解:(1) (5分)

35、當(dāng)0<x<2時,<<0,所以在(0,2)上的圖形是凸的。 (2)當(dāng)0<x<2時,<<0, 在(0,2]上單調(diào)減少,由此知: (8分) 當(dāng)0<x<2時,有 故在區(qū)間(0,2]上單調(diào)增加. 因此當(dāng)0<x<2時,有 (12分) 2010年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、選擇題(本大題共5題,每小題3分,共15分。每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求) 1.

36、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)在其定義域上是 A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.周期函數(shù) D.有界函數(shù) 2. 是函數(shù)的 A.連續(xù)點(diǎn) B.第一類可去間斷點(diǎn) C.第一類跳躍間斷點(diǎn) D.第二類間斷點(diǎn) 3.當(dāng)時,下列無窮小量中,與等價的是 A. B. C. D. 4.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則下列結(jié)論中正確的是 A.在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 B.在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 C.在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 D.在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 5.設(shè),則 A. B. C. D. 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分)

37、 6.設(shè)為常數(shù),若,則 7.圓在點(diǎn)處的切線方程是 8.由曲線和直線及圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的幾何體的體積 9.微分方程的通解是 10.設(shè)平面區(qū)域,則二重積分 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11.計(jì)算. 12.設(shè)函數(shù),用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算. 13已知點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),求常數(shù)的值. 14.計(jì)算不定積分. 15.計(jì)算定積分. 16.求微分方程的通解. 17.已知隱函數(shù)由方程所確定,求和. 18.計(jì)算二重積分,其中是由拋物線和直線及 圍成的區(qū)域 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 1

38、9.求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值. 20.已知是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù), (1)求;(2)計(jì)算 2010年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6.0 7. 8. 9. 10. 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) 11.解:原式= ………………………………(2分) ……………………………………(6分) 12.解:……(2分

39、) ……(4分) ……………………………………(6分) 13.解:由題意知 ①…………………………………………(1分) 又因?yàn)椤?分) 所以,由題意知 ② 由①和②解得……………………………………(6分) 14.解一:原式=………(2分) ………………(4分) …………………………(6分) 解二:原式=……………………………………(2分) …(4分) …………………………………(6分) 15.解:令,則,…………(2分) 所以……(4分) …………………………(6分)

40、 16.解:………(2分) ……………………(3分) ……………………………………(6分) 17.解:設(shè),則 …(3分) 所以 ……………………………………………………………(6分) 18.解:畫出積分區(qū)域 解方程組,可求得切點(diǎn)為………………(3分) ………(6分) 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題10分,第20小題12分,共22分) 19.解:在上可導(dǎo),…(2分) 令,得駐點(diǎn)…………………(3分) 列表 0 1 0

41、 0 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 ………………………………………………………………(7分) 極大值, 極小值…………………………………(10分) 20.解:…………………………(2分) ……………………………(6分) ………………………………………………………………………(8分) …………………………(12分) 2011年廣東省普通高校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分)

42、 1、下列極限等式中,正確的是( ) 2、若函數(shù)在處連續(xù),則常數(shù)( ) 3、已知的二階導(dǎo)數(shù)存在,且,則是函數(shù)的( ) A.極小值點(diǎn) B 最小值點(diǎn) C 極大值點(diǎn) D 最大值點(diǎn) 4、若,則( ) 5、設(shè),則( ) 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6、當(dāng)時,與是等價無窮小,則常數(shù) 7、參數(shù)方程,則 8、已知函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且,則 9、若二元函數(shù),則 10、設(shè)平面區(qū)域由直線及所圍成,則二重積分 三、

43、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48) 11、計(jì)算 12、已知函數(shù)的階導(dǎo),求。 13、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。 14、計(jì)算不定積分 15、設(shè),計(jì)算定積分 16、求微分方程滿足初始條件的特解。 17、已知二元函數(shù),求偏導(dǎo)數(shù)。 18、化二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分,并求其值。 四、綜合題(本大題共2小題,第19題12分,第20題10分,共22分) 19、過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,切線與曲線及軸圍成的平面圖形記為,求: (1)切線的方程(2)的面積(3)繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。 20、若定義在區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)滿足,且,(1)求函數(shù)的表達(dá)式; (2)證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單

44、調(diào)遞減。 廣東省2012年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》(公共課)試題 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分。每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求) 1.已經(jīng)三個數(shù)列{an)、{bn)和{cn)滿足anbncn(n∈N+),且an =a,cn =c(a、b 為常數(shù),且a

45、 A.連續(xù)點(diǎn) B.可去間斷點(diǎn) C.跳躍間斷點(diǎn) D.第二類間斷點(diǎn) 3.極限2x sin= A.0 B.2 C.3 D.6 4.如果曲線y=ax-的水平漸近線存在,則常數(shù)a= A.2 B.1 C.0 D.-1 5

46、.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù),將極坐標(biāo)形式的二次積分化為直角坐標(biāo)形式,則I= A. B. C. D. 二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 6.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處可到,且f’(x0)=3,則 . 7.若,則f”()= . 8.若曲線y=x3+ax2 +bx+l有拐點(diǎn)(-l,0),則常數(shù)b= ____. 9.廣義積分 . 10.設(shè)函數(shù)f(u)可微,且f’(o)=,則z=f(4x2一y2)在點(diǎn)(1,2)處的全微分 . 三、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6

47、分,共48分) 11.計(jì)算. 12.設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定,求(結(jié)果要化為最簡形式). 13.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值. 14.求不定積分. 15.設(shè),利用定積分的換元法求定積分. 16.求微積分方程y’’一4y+13y=0滿足初始條件特解. 17.已知二元函數(shù)z=x(2y+1)x,求. 18.計(jì)算二重積分,其中D是由曲線y=及直線y=1,x=0圍成的閉區(qū)域. 四、綜合題(大題共2小題,第19小題12分,第20小題10分,共22分) 19.已知C經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),且曲線C上任意點(diǎn)P(x,y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之差等于ax(常

48、數(shù)a>0). (1)求曲線C的方程; (2)誠確a的值,使曲線C與直線y=ax圍成的平面圖形的面積等于. 20.若當(dāng)x→0,函數(shù)與x是等價無窮小量; (1)求常數(shù)a的值;(2)證明:. 廣東省2012年普通高等學(xué)校本科插班生招生考試 《高等數(shù)學(xué)》參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題3分,共15分) 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 二、填空題(本大題共5小題,每個空3分,共15分) 6.-6 7. 8.3 9.ln2 10.4dx - 2dy 三

49、、計(jì)算題(本大題共8小題,每小題6分,共48分) -Wl+x) (2分) 1l.解:原式=, (2分) (4分) (6分) 12.解: (3分) (結(jié)果沒有化簡扣2分).

50、 (6分) 13.解:函數(shù)的定義域?yàn)椋? , (2分) 令,解得x=0,x=-1 因?yàn)樵趨^(qū)間(-∞,-1)內(nèi),;在區(qū)間(-l,0)內(nèi),<0; 在區(qū)間(0,+)內(nèi),, 所以的遞增區(qū)間是(-,-1)及(0,+),遞減區(qū)間是(-1,0), (4分) 的極大值是的極小值. (6分) 14.解:

51、 (2分), (6分) 15.解: (2分) (4分) . (6分) 16.解:由微分方程的特征方程r2 - 4r +13=0解得r

52、=23i, (2分) 所以此微分方程的通解為 . (4分) 因?yàn)? 由 解得C1=1,C2=2, 故所求特解為. (6分) 17.解:, (2分) , (4分) 故

53、 (6分) 18.解:積分區(qū)域D如圖: (3分) = = (6分) 四、綜合題(本大題共2小題,第19小題12分,第20小題10分,共22分) 19.解:(1)設(shè)曲線C的方程為y=廠O),由題意知 . (2分)

54、 由得 (4分) ,, 因?yàn)?,解? 故曲線C的方程為. (6分) (2)如圖, 由解得x=0,x=2, (10分) 即, 解得a=2. (12分) 由

55、題意知, 20.解:(1)解:由題意知, (4分) . (2)證:, 設(shè),則, (6分) 令,在區(qū)間(0,2)內(nèi)解得x=l, 因?yàn)間(0)=1,g(1)=,g(2)=4, 所以g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為4,最小值為. (8分) 由定積分的估值定理可得, 所以有. (10分)

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