中考數(shù)學專題訓練 圓專題復習.doc

——圓 ◆知識講解 一．圓的定義 1、在一個平面內(nèi)，線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。 2、圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合。 3、確定一個圓需要兩個要素：一是位置二是大小，圓心確定其位置，半徑確定其大小。 4、連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弦記作“圓弧AB”，或者“弧AB”。大于半圓的弧叫作優(yōu)?。ㄓ萌齻€字母表示，如ABC）叫優(yōu)弧；小于半圓的?。ㄈ鏏B）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直徑、弧、弦、圓心角 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弦。 2、垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 3、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。 在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等。 在等圓中，弦心距相等的弦相等。 三、圓周角 1、定義：頂點在圓上，并且角的兩邊和圓相交的角。 2、定理：一條弧所以的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半。 3、推論：（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所以的圓周角相等。 （2）直徑所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑。 四、點和圓的位置關(guān)系 1、設(shè)⊙O的半徑為r，點到圓心的距離為d。 則d>r 點在圓外，d=r 點在圓上，d<r 點在圓內(nèi)。 2、確定圓條件：不在一條直線上的三個點。 3、經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫這個圓的內(nèi)接三角形。外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的距離相等。 4、反證法證題的步驟 （1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 5、銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部。 五、直線和圓的位置關(guān)系（一） 1、直線與圓的三種位置關(guān)系 （1）從公共點個數(shù)來判斷 直線與圓有兩個公共點時，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共點時，直線與圓相交；直線與圓沒有公共點時，直線與圓相離。 （2）從點到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷 d<r時，直線與圓相交；d=r時，直線與圓相切；d>r時，直線與圓相離； 2、切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。 六、直線和圓的位置關(guān)系（二） 1、切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。 2、切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等。這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 3、與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊距離相等。 七、圓與圓的位置關(guān)系 1、位置關(guān)系 （1）從公共點的個數(shù)和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內(nèi)部來考慮，兩個圓的位置關(guān)系有五種，外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。 （2）從公共點的個數(shù)來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離（外離、內(nèi)含），相切（外切、內(nèi)切）。 兩圓的位置關(guān)系 d與r1和r2之間的關(guān)系 公共點的個數(shù) 相離 d>r1+r2 無 外切 d=r1+r2 1 相交 r1-r2<d<r1+r2 2 內(nèi)切 d= r1-r2 1 內(nèi)含 d<r1-r2 無 （其中r1和r2是兩圓半徑，d是圓心距，且r1>r2） 八、正多邊形的有關(guān)概念及計算 1、正多邊形的有關(guān)概念：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。 2、正多邊形的計算： （1）正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。 （2）邊長（an）、半徑（R）、邊心距（rn）、中心角（an）、周長（Pn）、面積（Sn）之間的關(guān)系為： ①中心角an=；②周長Pn=nan；③面積Sn =n rn an =Pn rn.. （3）作正多邊形：利用、規(guī)等分圓周。 九、弧長和扇形面積 1、弧長計算公式：在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長為l= 2、扇形面積計算公式：S扇形= (其中R為扇形半徑，n為圓心角)； 3、弧長和扇形面積的關(guān)系：S扇形=R 十、圓錐的側(cè)面積和全面積 1、圓錐的側(cè)面展開圖形狀:扇形 2、側(cè)面積計算公式：S側(cè) = 全面積的計算公式：S全 = +（其中l(wèi) 為圓錐母線長，r為底面圓的半徑） ◆例題解析 【例1】在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，已知A、B、C三點的坐標分別為A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。試判斷A、B、C三點與⊙O的位置關(guān)系。 【分析】要判斷點與圓的位置關(guān)系就是要比較點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。 解：∵OA＝ ∴點A在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，點C在⊙O外。 【例2】如圖，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長都相等，則∠BOC＝ 。 【分析】由于⊙O截△ABC的三條邊所截得的弦長都相等，則點O到三邊的距離也相等，即O是△ABC角平分線的交點，問題就容易解決了。 解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，則OD＝OE＝OF ∴O為△ABC角平分線的交點 ∵∠A＝700 ∴∠ABC＋∠ACB＝1100 ∴∠OBC＋∠OCB＝1100＝550 ∴∠BOC＝1800－550＝1250 【例3】如圖1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ） A、 B、 C、 D、與的大小關(guān)系不能確定 【分析】如圖1，把作出來，變成一段弧，然后比較與的大小。 解：如圖1，作，則 ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE ∴2CD＞CE ∵AB＝2CD ∴AB＞CE ∴，即 變式：如圖，在⊙O中，，問AB與2CD的大小關(guān)系？ 略解：取的中點E，則 ∴AB＝BE＝CD ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB ∴2CD＞AB，即AB＜2CD 探索與創(chuàng)新： 【問題】已知點M（，）在拋物線上，若以M為圓心的圓與軸有兩個交點A、B，且A、B兩點的橫坐標是關(guān)于的方程的兩根（如上圖）。 （1）當M在拋物線上運動時，⊙M在軸上截得的弦長是否變化？為什么？ （2）若⊙M與軸的兩個交點和拋物線的頂點C構(gòu)成一個等腰三角形，試求、的值。 【分析】（1）設(shè)A、B兩點的橫坐標分別是、，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，那么：，又因為M在拋物線上，所以。故AB＝2，即⊙M在軸上截得的弦長不變。 （2）C（0，－1），， ①當AC＝BC，即時，，； ②當AC＝AB時，，，，或， ③當BC＝AB時，，，或， ◆強化訓練 一、選擇題： 1、兩個圓的圓心都是O，半徑分別為、，且＜OA＜，那么點A在（ ） A、⊙內(nèi) B、⊙外 C、⊙外，⊙內(nèi) D、⊙內(nèi)，⊙外 2、一個點到圓的最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（ ） A、2.5 cm或6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm或13cm 3、三角形的外心恰在它的一條邊上，那么這個三角形是（ ） A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定 4、如圖，AB為⊙O的一固定直徑，它把⊙O分成上、下兩個半圓，自上半圓上一點C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在上半圓（不包括A、B兩點）上移動時，點P（ ） A、到CD的距離保持不變 B、位置不變 C、等分 D、隨C點移動而移動 二、填空題： 1、若為⊙O的直徑，為⊙O的一條弦長，則與的大小關(guān)系是 。 2、△ABC的三邊分別為5 cm、12 cm、13 cm，則△ABC的外心和垂心的距離是 。 3、如圖，⊙O中兩弦AB＞CD，AB、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，連結(jié)OM、ON、MN，則∠MNE與∠NME的大小關(guān)系是∠MNE ∠NME。 4、如圖，⊙O中，半徑CO垂直于直徑AB，D為OC的中點，過D作弦EF∥AB，則∠CBE＝ 。 5、在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為和，則∠BAC的度數(shù)為 。 三、計算或證明： 1、如圖，的度數(shù)為900，點C和點D將三等分，半徑OC、OD分別和弦AB交于E、F。求證：AE＝CD＝FB。 2、如圖，在⊙O中，兩弦AB與CD的中點分別是P、Q，且，連結(jié)PQ，求證：∠APQ＝∠CQP。 3、如圖，在⊙O中，兩弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半徑。 4、如圖，已知A、B、C、D四點順次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求證：AM＝DC＋CM。 參考答案 一、選擇題：CABB 二、填空題： 1、≥；2、6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750 三、計算或證明： 1、提示：連結(jié)AC、BD，先證AC＝CD＝BD，再利用角證AC＝AE，BD＝DF即可； 2、提示：連結(jié)OP、OQ ∵P、Q是AB、CD的中點，∴OP⊥AB，OQ⊥CD ∵，∴OP＝OQ ∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP 3、提示：連結(jié)CO并延長交⊙O于E，連結(jié)ED、AE，設(shè)⊙O的半徑為R，則∠EDC＝∠EAC＝900，∴?！逜C⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5 4、提示：延長DC至N，使CN＝CM，連結(jié)NB，則∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可證得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。