北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用》

4　數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用 知能目標解讀 1.理解常見儲蓄如零存整取、定期自動轉(zhuǎn)存、分期付款及利息的計算方法，能夠抽象出所對應(yīng)的數(shù)列模型，并能用數(shù)列知識求解相關(guān)問題. 2.能夠?qū)F(xiàn)實生活中涉及到銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、工作效率等實際問題，抽象出數(shù)列模型，將實際問題解決. 重點難點點撥 重點：用數(shù)列知識解決日常經(jīng)濟生活中的實際問題. 難點：將現(xiàn)實生活中的問題抽象出數(shù)列模型，使問題得以解決. 學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 1.零存整取模型 銀行有一種叫做零存整取的業(yè)務(wù)，即每月定時存入一筆數(shù)目相同的資金，這叫做零存；到約定日期，可以取出全部的本利和，這叫做整取.規(guī)定每次存入的錢按單利計算，單利的計算是指僅在原有本金上計算利息，對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息.其計算公式為：利息=本金利率存期.如果用符號P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下簡稱本利和)，則有S=P(1+nr). 2.定期自動轉(zhuǎn)存模型 （1）銀行有一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如，儲戶某月存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲戶不取出本利和，則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自動轉(zhuǎn)存按復(fù)利計算. （2）何謂復(fù)利？ 所謂復(fù)利，就是把上期的本利和作為下一期的本金，在計算時，每一期的本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計算公式為S=P(1+r) n. 一般地，一年期滿后，借貸者(銀行)收到的款額v1=v0(1+a)，其中v0為初始貸款額，a為每年的利率；假若一年期滿后，銀行又把v1貸出，利率不變，銀行在下一年期滿后可收取的款額為v2=v1(1+a)=v0(1+a) 2;…依次類推，若v0貸出t年，利率每年為a，這批款額到期后就會增到vt=v0(1+a) t.我們指出這里的利息是按每年一次重復(fù)計算的，稱為年復(fù)利. 3.分期付款模型 分期付款是數(shù)列知識的一個重要的實際應(yīng)用，在現(xiàn)實生活中是幾乎涉及到每個人的問題，要在平時的學(xué)習(xí)中及時發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法去分析，解決問題，關(guān)于分期付款應(yīng)注意以下問題： (1)分期付款分若干次付款，每次付款的款額相同，各次付款的時間間隔相同； (2)分期付款中雙方的每月(年)利息均按復(fù)利計算，即上月(年)的利息要計入下月（年）的本金； (3)分期付款中規(guī)定：各期所付的款額連同到最后一次付款時所產(chǎn)生的利息和等于商品售價及從購買到最后一次付款的利息和，這在市場經(jīng)濟中是相對公平的. (4)分期付款總額要大于一次性付款總額，二者的差額與多少次付款有關(guān)，分期付款的次數(shù)（大于或等于2）越多，差額越大，即付款總額越多. 注意： 目前銀行規(guī)定有兩種付款方式：(1)等額本息還款法；(2)等額本金還款法.等額本金還款法的特點是：每期還款額遞減，利息總支出比等額款法少，等額本金還款法還可以按月還款和按季還款，由于銀行結(jié)息貫例的要求，一般采用按季還款方式. 4.本節(jié)的規(guī)律方法 (1)銀行存款中的單利是等差數(shù)列模型，本息和公式為S=P(1+nr). (2)銀行存款中的復(fù)利是等比數(shù)列模型，本利和公式為S=P(1+r) n. (3)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為P，對于時間x的總產(chǎn)值為y=N(1+P) x. (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b=. 5.數(shù)列模型在實際問題中的應(yīng)用 數(shù)列應(yīng)用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經(jīng)濟上涉及利潤、成本、效益的增減，在人口數(shù)量的研究中也要研究增長率問題，金融問題更要涉及利率問題等. 6.建立數(shù)學(xué)模型的過程 解決該類題的關(guān)鍵是建立一個數(shù)列模型{an}，利用該數(shù)列的通項公式或遞推公式或前n項和公式求解問題. 基本步驟如下表所示： 知能自主梳理 1.(1)單利：單利的計算是僅在原有本金上計算利息，對本金所產(chǎn)生的利息 ，其公式為利息= .若以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和（以下簡稱本利和），則有 . （2）復(fù)利：把上期末的本利和作為下一期的 ，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計算公式是 . 2.（1）數(shù)列知識有著廣泛的應(yīng)用，特別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例如銀行中的利息計算，計算單利時用 數(shù)列，計算復(fù)利時用 數(shù)列，分期付款要綜合運用 、 數(shù)列的知識. （2）解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟為：①仔細閱讀題目，認真審題，將實際問題轉(zhuǎn)化為 ；②挖掘題目的條件，分析該數(shù)列是 數(shù)列，還是 數(shù)列，分清所求的是 的問題，還是 問題.③檢驗結(jié)果，寫出答案. ［答案］　1.（1）不再計算利息　本金利率存期　S=P(1+nr)　(2)本金　S=P(1+r) n 2.(1)等差　等比　等差　等比?。?）①數(shù)列模型?、诘炔睢〉缺取№棥∏蠛? 思路方法技巧 命題方向　單利計算問題 ［例1］　有一種零存整取的儲蓄項目，它是每月某日存入一筆相同的金額，這是零存；到一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取.它的本利和公式如下： 本利和=每期存入金額［存期+存期(存期+1)利率］. (1)試解釋這個本利公式. (2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12月底的本利和是多少？ (3)若每月初存入一筆金額，月利率是5.1‰，希望到第12個月底取得本利和2000元，那么每月應(yīng)存入多少金額？ ［分析］　存款儲蓄是單利計息，若存入金額為A，月利率為P，則n個月后的利息是nAP. ［解析］　(1)設(shè)每期存入金額A，每期利率P，存入期數(shù)為n，則各期利息之和為 AP+2AP+3AP+…+nAP=n(n+1)AP. 連同本金，就得：本利和=nA+n(n+1)AP=A［n+n(n+1)P］. (2)當(dāng)A=100,P=5.1‰,n=12時， 本利和=100（12+12135.1‰）=1239.78(元). (3)將(1)中公式變形得 A==≈161.32(元). 即每月應(yīng)存入161.32元. ［說明］　單利的計算問題，是等差數(shù)列模型的應(yīng)用. 變式應(yīng)用1　王先生為今年上高中的女兒辦理了“教育儲蓄”，已知當(dāng)年“教育儲蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)欲在3年后一次支取本息合計2萬元，王先生每月大約存入多少元？ (2)若“教育儲蓄”存款總額不超過2萬元，零存整取3年期教育儲蓄每月至多存入多少元？此時3年后本息合計約為多少元？（精確到1元） ［解析］　（1）設(shè)王先生每月存入A元，則有 A(1+2.7‰)+A(1+22.7‰)+…+A(1+362.7‰)=20000,利用等差數(shù)列前n項和公式， 得A（36+362.7‰+2.7‰）=20000, 解得A≈529元. （2）由于教育儲蓄的存款總額不超過2萬元，所以3年期教育儲蓄每月至多存入≈555（元），這樣，3年后的本息和為： 555(1+2.7‰)+555(1+22.7‰)+…+555(1+362.7‰)=555（36+362.7‰+2.7‰） ≈20978（元）. 命題方向　復(fù)利計算問題 ［例2］　某人參加工作后，計劃參加養(yǎng)老保險.若第一年年末存入p元，第二年年末存入2p元，…，第n年年末存入np元，年利率為k.問第n+1年年初他可一次性獲得養(yǎng)老金（按復(fù)利計算本利和）多少元？ ［分析］　分期存款，應(yīng)利用“本利和本金(1+利率)”分段計算.第1年年末存入的p元，到第n+1年年初，逐年獲得的本利和構(gòu)成公比為1+k的等比數(shù)列，即第一年的本利和為p(1+k) n-1；同理，第2年年末存入2p元，…第n年年末存入np元的本利和依次為2p(1+k) n-2,…,np. ［解析］　設(shè)此人第n+1年年初一次性獲得養(yǎng)老金為Sn元，則Sn=p(1+k) n-1+2p(1+k) n-2+…+(n-1)p(1+k) 1+np, ① 把等式兩邊同時乘以1+k,得(1+k)Sn=p(1+k) n+2p(1+k) n-1+…+(n-1)p(1+k) 2+np(1+k). ② ②-①，得kSn=p(1+k) n+p(1+k) n-1+…+p(1+k)-np=-np. 所以Sn=. 故第n+1年年初他可一次性獲得養(yǎng)老金為元. ［說明］　“復(fù)利計算”就是“利息生利息”，也就是在存款過程中，到約定期時，將上次存款的本利和全部轉(zhuǎn)為下一次的本金.求所有n次的本利和，就轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的前n項和.復(fù)利計算是銀行常用于定期自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)的方法，在這里也是等比數(shù)列在實際問題中的具體應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，更是學(xué)生對知識的應(yīng)用能力的體現(xiàn).復(fù)利計算問題不但應(yīng)用于銀行儲蓄業(yè)務(wù)中，在其他經(jīng)濟領(lǐng)域也有應(yīng)用. 變式應(yīng)用2　某家庭打算在2017年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計劃從2011年年初開始，每年年初存入一筆購房專用款，使這筆款到2017年年底連本帶利共有40萬元.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利率2.50％并按復(fù)利計算，問每年年初應(yīng)該存入多少錢？（不考慮利息稅） ［解析］　設(shè)每年年初應(yīng)存入x萬元，那么2011～2017年年底本利和依次為： a1=1.025x, a2=(1.025+1.0252)x, a3=(1.025+1.0252+1.0253)x, … a7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x. 若這筆款到2017年年底連本帶利共有40萬元，則有a7=(1.025+1.0252+…+1.0257)x=40, 運用等比數(shù)列的前n項和公式，化簡得x=≈5.171(萬元)， 所以每年年初大約應(yīng)存入5.171萬元. 命題方向　數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用 ［例3］　小陸計劃年初向銀行貸款10萬元用于買房，他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從貸后次年年初開始歸還，若10年期貸款的年利率為4%，且年利息均按復(fù)利計算，問每年應(yīng)還多少元？（計算結(jié)果精確到1元） ［分析］　本題屬于分期付款模型，如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值與還款的價值總額應(yīng)該相等，則可以考慮把所有的款項都轉(zhuǎn)化為同一時間來計算.10萬元在10年后（即貸款全部付清時）的價值為105(1+4%)10元. ［解析］　設(shè)每年還款x元，則第1次償還x元，在貸款全部付清時的價值為x(1+4%)9;第2次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為x(1+4%)8;第10次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為x元，于是有105(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x. 由等比數(shù)列求和公式，得 1051.0410=x, 1.0410=(1+0.04) 10≈1.4802. ∴x≈≈12330. 答：每年約應(yīng)還12330元. ［說明］　解決分期付款問題的數(shù)學(xué)方法是等比數(shù)列求和，用到的等量關(guān)系即分期所付的款連同到最后一次所付款時的利息之和，等于商品售價與從購物到最后一次付款時的利息之和. 變式應(yīng)用3　某工廠為提高產(chǎn)品質(zhì)量，擴大生產(chǎn)需要大量資金，其中征地需40萬元，建新廠房需100萬元，購置新機器需60萬元，舊設(shè)備改造及干部工作培訓(xùn)需15萬元，流動資金需40萬元，該廠現(xiàn)有資金125萬元，廠內(nèi)干部30人，工人180人，干部每人投資4000元，工人每人投資1000元（不記利息僅在每年年底利潤中分紅），尚缺少資金，準備今年年底向銀行貸款，按年利率9%的復(fù)利計算，若從明年年底開始分5年等額分期付款，還清貸款及全部利息，問該廠每年還款多少萬元？（精確到0.1萬元） ［解析］　因擴大生產(chǎn)急需的資金共有40+100+60+15+40=255（萬元）.已知籌集到資金為125+0.430+0.1180=155(萬元)，資金缺口為255-155=100（萬元）.設(shè)每次向銀行還款x萬元，則貸款100萬元，五年一共還清本金和利息共計100（1+9%）5萬元.第一次還款到第五年年底的本利和為x(1+9%)4萬元；第二次還款到第五年年底的本利和為x(1+9%)3萬元；第三次還款到第五年年底的本利和為x(1+9%)2萬元；第四次還款到第五年年底的本利和為x(1+9%)萬元；第五次還款（無利息）為x萬元.由題意得x+x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+ x(1+9%)4=100(1+9%)5.即=1001.095,所以x≈25.7.故該廠每年還款25.7萬元. 探索延拓創(chuàng)新 命題方向　數(shù)列在日常生活中其他方面的應(yīng)用 ［例4］　甲、乙兩人連續(xù)6年對某農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)的規(guī)模進行調(diào)查，提供了兩條不同信息，如圖所示. 甲調(diào)查表明：由第1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞. 乙調(diào)查表明：由第1年30個養(yǎng)雞場減少到第6年10個養(yǎng)雞場.請您根據(jù)提供的信息回答： （1）第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全村出產(chǎn)雞的總只數(shù)； （2）到第6年這個村養(yǎng)雞業(yè)的規(guī)模比第1年擴大了還是縮小了？請說明理由. （3）哪一年的規(guī)模最大？請說明理由. ［分析］　審清題意，弄清圖甲表示每個養(yǎng)雞場平均出產(chǎn)雞的只數(shù)（單位：萬只），圖乙表示該村所擁有的養(yǎng)雞場的個數(shù)（單位：個）. ［解析］?。?）由圖可知：第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個，每個養(yǎng)雞場平均出產(chǎn)1.2萬只雞，那么全村出產(chǎn)雞的總只數(shù)是S2=261.2=31.2(萬只). (2)第1年總共出產(chǎn)雞的只數(shù)是S1=301=30(萬只)；第6年總共出產(chǎn)雞的只數(shù)是S6=210=20(萬只)，由此得出S6<S1,這說明規(guī)?？s小了. (3)由圖可知：每年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞的只數(shù)所滿足的數(shù)列為an=1+(n-1)0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6).每年的養(yǎng)雞場的個數(shù)所滿足的數(shù)列為bn=30-4(n-1)=-4n+34(1≤n≤6). 第n年出產(chǎn)的雞的只數(shù)滿足的數(shù)列為Sn=anbn = (-2n2+9n+68)=- （n-）+ (1≤n≤6). 因為n∈N+,故當(dāng)n=2時，Sn最大，即第2年規(guī)模最大. ［說明］　依此圖像建立等差數(shù)列模型，問題就能得到解決.每年的總出產(chǎn)量則要與二次函數(shù)聯(lián)系，n為正整數(shù)不能忽略，利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系解決，是本類問題的特色. 名師辨誤做答 ［例5］　某工廠去年的產(chǎn)值為138萬元，預(yù)計今后五年的每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起計算，第5年這個工廠的產(chǎn)值是多少元？（精確到萬元） ［誤解］　依題意，該工廠每年的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列{an}. 其中a1=138,q=1+10%=1.1,n=5. ∴a5=a1q4=1381.14≈202(萬元). ［辨析］　138萬元是去年的產(chǎn)值，從今年算起，則a1=1381.1，由于首項弄錯而造成錯誤. ［正解］　依題意，該工廠每年的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列{an}.其中a1=1381.1, ∴a5=a1q4=1381.11.14 =1381.15≈222(萬元). 課堂鞏固訓(xùn)練 一、選擇題 1.預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法.“直接推算法”使用的公式是pn=p0(1+k) n(k>-1)，其中pn為預(yù)測期人口數(shù)，p0為初期人口數(shù)，k為預(yù)測期內(nèi)年增長率，n為預(yù)測期間隔年數(shù).如果在某一時期有-1<k<0，那么在這期間人口數(shù)（　?。? A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變 ［答案］　B ［解析］　∵-1<k<0， ∴0<k+1<1，pn>0, 又∵==1+k<1， ∴pn+1<pn. 即數(shù)列{pn}為遞減數(shù)列. 2.某同學(xué)在電腦上設(shè)置一個游戲，他讓一彈性球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程和為（　?。┆? A.199.8m B.299.6m C.166.9m D.266.9m ［答案］　B ［解析］　由題意知，彈球第1次著地時經(jīng)過的路程是100m，從這時到彈球第2次著地時共經(jīng)過了2m，從這時到彈球第3次著地時共經(jīng)過2m,……,到第10次時應(yīng)為2m. ∴S10=100+2+2+…+2＝100+100（1++…+）＝100+ ≈100+199.6＝299.6（m）. 3.某工廠生產(chǎn)總值連續(xù)兩年的年平均增長率依次為p%，q%，則這兩年的平均增長率是（　　） A. B.p%q% C. D. ［答案］　D ［解析］　設(shè)該工廠最初的產(chǎn)值為1，經(jīng)過兩年的平均增長率為r，則(1+p%)(1+q%)=(1+r) 2. 于是r=-1. 二、填空題 4.某工廠2011年的月產(chǎn)值按等差數(shù)列增長，第一季度總產(chǎn)值為20萬元，上半年總產(chǎn)值為60萬元，則2011年全年總產(chǎn)值為 元. ［答案］　200 3a1+d=20 ［解析］　由題意，得 ， 6a1+d=60 a1= 解得 . d= 所以S12=12+=200. 5.(2011湖北理，13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升. ［答案］　 ［解析］　本題考查等差數(shù)列通項公式、前n項和公式的基本運算. 設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d, a1+a2+a3+a4=3, 4a1+6d=3, a1=, 則 ∴ 解得 a7+a8+a9=4, 3a1+21d=4, d=， ∴a5=a1+4d=+4=. 課后強化作業(yè) 一、選擇題 1.某沿海漁村，近幾年不斷挖掘經(jīng)濟收入來源，除了漁業(yè)收入外，還增加了海濱休閑度假服務(wù)業(yè)的開發(fā)，使本村經(jīng)濟有了較快發(fā)展，2008年全村財政收入95 933萬元，比上年增長7.3%，如果在今后的幾年內(nèi)全村財政收入都按此年增長率增長，那么到2012年末全村財政收入大約為（　?。? A.115 000萬元 B.120 000萬元 C.127 000萬元 D.135 000萬元 ［答案］　C ［解析］　2012年末全村的財政收入為95 933(1+0.073) 4≈127 000(萬元).故選C. 2.某人從2011年1月份開始，每月初存入銀行100元，月利率是2.8‰（每月按復(fù)利計算），到12月底取出本利和應(yīng)是（　?。? A.1223.4元 B.1224.4元 C.1222.1元 D.1225.0元 ［答案］　C ［解析］　一月份開始存入銀行，到12月底本利和是a1=100(1+2.8‰) 12; 二月份開始存入銀行，到12月底本利和是a2=100(1+2.8‰) 11; …； 12月份開始存入銀行，到12月底本利和是a12=100(1+2.8‰). 則數(shù)列{an}構(gòu)成等比數(shù)列， S12= =≈1222.1(元). 3.農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元），預(yù)計該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6％的年增長率增長，其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（　?。┆? A.4200元~4400元 B.4400元～4600元 C.4600元～4800元 D.4800元～5000元 ［答案］　B ［解析］　將2003年記作第1年，該地區(qū)農(nóng)民人均收入第n年為an， 則a1=3150,a2==1800（1+6％）+1350+160，…，an=1800（1+6％）n-1+1350+（n-1）160. 2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為a6=1800（1+6％）6-1+1350+（6-1）160≈4558.81.故選B. 4.根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…，12）.按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是（　?。? A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D.8月、9月 ［答案］　C ［解析］　設(shè)第n個月份的需求量超過1.5萬件.則 Sn-Sn-1= (21n-n2-5)- ［21(n-1)-(n-1) 2-5］＞1.5, 化簡整理，得n2-15n+54＜0,即6＜n＜9.∴應(yīng)選C. 5.通過測量知道，溫度每降低6℃，某電子元件的電子數(shù)目就減少一半.已知在零下34℃時，該電子元件的電子數(shù)目為3個，則在室溫27℃時，該元件的電子數(shù)目接近（　?。? A.860個 　　B.1730個 　　C.3072個 　 D.3900個 ［答案］　C ［解析］　由題設(shè)知，該元件的電子數(shù)目變化為等比數(shù)列，且a1=3,q=2,由27-(-34)=61, =10,可得，a11=3210=3072，故選C. 6.一個卷筒紙，其內(nèi)圓直徑為4cm，外圓直徑為12cm，一共卷60層，若把各層都視為一個同心圓，π=3.14，則這個卷筒紙的長度為（精確到個位）（　?。? A.14m B.15m C.16m D.17m ［答案］　B ［解析］　紙的厚度相同，且各層同心圓直徑成等差數(shù)列，則l=πd1+πd2+…+πd60=60π =4803.14=1507.2(cm)≈15m，故選B. 7.現(xiàn)存入銀行8萬元，年利率為2.50％，若采用1年期自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，則5年末的本利和是 萬元. A.81.0253 B.81.0254 C.81.0255 D.81.0256 ［答案］　C ［解析］　定期自動轉(zhuǎn)存屬于復(fù)利計算問題，5年末的本利和為8（1＋2.50％）5＝81.0255. 8.某房屋開發(fā)商出售一套50萬元的住宅，可以首付5萬元，以后每過一年付5萬元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款稅后利率設(shè)為2%，按復(fù)利計算）并優(yōu)惠x%，為鼓勵購房者一次付款，問優(yōu)惠率應(yīng)不低于多少？（x取整數(shù)，計算過程中參考以下數(shù)據(jù)：1.029=1.19,1.0210=1.2, 1.0211=1.24）（　　） A.15% B.16% C.17% D.18% ［答案］　B ［解析］　由題意，知50(1-x%)(1+2%)9≤5(1.029+1.028+…+1.02+1).整理，得 1-x%≤==0.8403,∴x%≥15.97%, ∴一次付款的優(yōu)惠率應(yīng)不低于16%. 二、填空題 9.據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2007年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，由此預(yù)測，該區(qū)下一年的垃圾量為 噸，2012年的垃圾量為 噸. ［答案］　a(1+b)　a(1+b)5 ［解析］　2007年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，下一年的垃圾量在2007年的垃圾量的基礎(chǔ)之上增長了ab噸，所以下一年的垃圾量為a(1+b)噸；2012年是從2007年起再過5年，所以2012年的垃圾量是a(1+b) 5噸. 10.某彩電價格在去年6月份降價10%之后經(jīng)10,11,12三個月連續(xù)三次回升到6月份降價前的水平,則這三次價格平均回升率是 . ［答案］　-1 ［解析］　設(shè)6月份降價前的價格為a,三次價格平均回升率為x,則a90%(1+x) 3=a, ∴1+x=,x=-1. 11.某大樓共有20層，有19人在第1層上了電梯，他們分別要去第2層至第20層，每層1人，而電梯只允許停1次，可只使1人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓，假設(shè)乘客每向下走1層的不滿意度為1，每向上走一層的不滿意度為2，所有人的不滿意度之和為S,為使S最小，電梯應(yīng)當(dāng)停在 層. ［答案］　14 ［解析］　設(shè)停在第x層，則S=［1+2+…+(20-x)］2+［1+2+…+(x-2)］=+421, ∴x=時取最小值，而x∈{2,3,…,20}, ∴x=14時取最小值. 12.某工廠生產(chǎn)總值的月平均增比率為p,則年平均增長率為 . ［答案］　(1+p) 12-1 ［解析］　設(shè)年平均增長率為x,原來總產(chǎn)值為a,由題意得a(1+x)=a(1+p) 12, ∴x=(1+p) 12-1. 三、解答題 13.某城市2002年底人口為500萬，人均居住面積為6平方米，如果該城市每年人口平均增長率為1%,每年平均新增住房面積為30萬平方米，到2012年底該城市人均住房面積是多少平方米？增加了還是減少了？說明了什么問題？（精確到0.01平方米） ［解析］　設(shè)2002年，2003年，…，2012年住房面積總數(shù)成等差數(shù)列{an}，人口數(shù)組成等比數(shù)列｛bn｝， 則2002年：a1=5006=3000(萬平方米)，b1=500(萬). 2003年：a2=a1+d=3000+30=3030(萬平方米)，b2=b1q=500(1+1%)=505（萬）. … 2012年:a11=a1+10d=3000+1030=3300(萬平方米)，b11=b1q10=500(1+1%)10=5001.0110≈552(萬). 所以人均住房面積是≈5.98(平方米). 答：該城市人均住房面積約5.98平方米，人均住房面積反而減少了，說明計劃生育的重要性. 14.某林場2008年底森林木材儲存量為330萬立方米，若樹林以每年25%的增長率生長，計劃從2009年起，每年冬天要砍伐的木材量為x萬立方米，為了實現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲存量翻兩番的目標，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？（lg 2≈0.3) ［解析］　設(shè)從2008年起的每年年底木材儲存量組成的數(shù)列為{an}，則 a1=330 an+1=an(1+25%)-x= an-x 則an+1-4x= (an-4x), 即=. ∴{an-4x}是以330-4x為首項，公比為的等比數(shù)列，即an=(330-4x)()n-1+4x. ∴a21=(330-4x)()20+4x. 令a21≥4a1，即(330-4x)()20+4x≥4330. 由lg 2≈0.3，可求得()20=100，代入上式整理得396x≤31 680, 解得x≤80(萬立方米）. 答：每年砍伐量最大為80萬立方米. 15.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元.今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500（1+）萬元（n為正整數(shù)）. （1）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（需扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達式； （2）依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？ ［解析］　（1）依題設(shè)，An=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n)=490n-10n2; Bn=500［(1+)+(1+)+…+(1+)］-600=500n--100. (2)Bn-An=(500n--100)-(490n-10n2) =10n2+10n--100=10［n(n+1)- -10］. 因為函數(shù)y=x(x+1)- -10在（0，+∞）上為增函數(shù), 當(dāng)1≤n≤3時，n(n+1)- -10≤12--10<0; 當(dāng)n≥4時，n(n+1)- -10≥20--10>0. ∴僅當(dāng)n≥4時，Bn>An. 答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤. 16.銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計算利息的方法叫復(fù)利.現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案.甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前年多獲利5千元，兩種方案，使用期限都是十年，到期一次性歸還本息，若銀行貸款利息按年息10%的復(fù)利計算，比較兩種方案，哪個獲利更多？（計算數(shù)據(jù)精確到千元，1.110=2.594,1.310=13.786） ［解析］　方案甲：十年獲利中，每年獲利數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，首項為1，公比為1+30%，前10項和為S10=1+（1+30%）+（1+30%）2+…+（1+30%）9. 所以S10=≈42.62（萬元）. 甲方案凈獲利42.62-25.94≈16.7（萬元）. 乙方案獲利構(gòu)成等差數(shù)列，首項為1，公差為，前10項和為 T10=1+(1+)+(1+2)+…+(1+9) ==32.50（萬元）, 而貸款本息總數(shù)為 1.1+［1+(1+10%)+…+(1+10%)9］=1.1+≈17.04（萬元）, 乙方案凈獲利32.50-17.04≈15.5萬元. 比較兩方案可得甲方案獲利較多.