2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算練習(xí) 文.doc
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算
考綱解讀
考點
內(nèi)容解讀
要求
高考示例
??碱}型
預(yù)測熱度
1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景
2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義
Ⅱ
2017課標(biāo)全國Ⅰ,14;
2017天津,10;
2016山東,10;
2015課標(biāo)Ⅰ,14;
2015課標(biāo)Ⅱ,16
選擇題、
填空題
★★★
2.導(dǎo)數(shù)的運算
1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導(dǎo)數(shù)
2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
Ⅲ
2016天津,10;
2015天津,11
選擇題、
解答題
分析解讀
本部分主要是對導(dǎo)數(shù)概念及其運算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點.
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.
2.導(dǎo)數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查.
3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.
五年高考
考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
答案 A
2.(2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為( )
A.y=12x3-12x2-x B.y=12x3+12x2-3x
C.y=14x3-x D.y=14x3+12x2-2x
答案 A
3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1, f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為 .
答案 1
4.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,14,5分)曲線y=x2+1x在點(1,2)處的切線方程為 .
答案 x-y+1=0
5.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是 .
答案 y=2x
6.(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1, f(1))處的切線過點(2,7),則a= .
答案 1
7.(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a= .
答案 8
8.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標(biāo)是 .
答案 (e,e)
教師用書專用(9—15)
9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 .
答案 5x+y+2=0
10.(2013江西,11,5分)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點,則α= .
答案 2
11.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a= .
答案 12
12.(2015山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線與直線2x-y=0平行.
(1)求a的值;
(2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值.
解析 (1)由題意知,曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線斜率為2,
所以f (1)=2,
又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1.
(2)k=1時,方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,
當(dāng)x∈(0,1]時,h(x)<0.
又h(2)=3ln 2-4e2=ln 8-4e2>1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),
使得h(x0)=0.
因為h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,
所以當(dāng)x∈(1,2)時,h(x)>1-1e>0,
當(dāng)x∈(2,+∞)時,h(x)>0,
所以當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增.
所以k=1時,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.
(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0,
且x∈(0,x0)時, f(x)<g(x),
x∈(x0,+∞)時, f(x)>g(x),
所以m(x)=(x+1)lnx, x∈(0,x0],x2ex,x∈(x0,+∞).
當(dāng)x∈(0,x0)時,若x∈(0,1],m(x)≤0;
若x∈(1,x0),由m(x)=ln x+1x+1>0,
可知0<m(x)≤m(x0);
故m(x)≤m(x0).
當(dāng)x∈(x0,+∞)時,由m(x)=x(2-x)ex,
可得x∈(x0,2)時,m(x)>0,m(x)單調(diào)遞增;
x∈(2,+∞)時,m(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,
可知m(x)≤m(2)=4e2,且m(x0)<m(2).
綜上可得函數(shù)m(x)的最大值為4e2.
13.(2014山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+x-1x+1,其中a為常數(shù).
(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解析 (1)由題意知a=0時,f(x)=x-1x+1,x∈(0,+∞),
此時f (x)=2(x+1)2,
可得f (1)=12,
又f(1)=0,
所以曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線方程為x-2y-1=0.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
f (x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.
當(dāng)a≥0時,f (x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).
①當(dāng)a=-12時,Δ=0,
f (x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
②當(dāng)a<-12時,Δ<0,g(x)<0,
f (x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
③當(dāng)-12<a<0時,Δ>0,
設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點,
則x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a.
由于x1=a+1-2a+1-a=a2+2a+1-2a+1-a>0,
所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
綜上可得:
當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a≤-12時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)-12<a<0時,
f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+∞上單調(diào)遞減,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上單調(diào)遞增.
14.(2014北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值;
(2)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;
(3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論)
解析 (1)由f(x)=2x3-3x得f (x)=6x2-3.
令f (x)=0,得x=-22或x=22.
因為f(-2)=-10, f-22=2, f22=-2, f(1)=-1,
所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f-22=2.
(2)設(shè)過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0,y0),
則y0=2x03-3x0,且切線斜率為k=6x02-3,
所以切線方程為y-y0=(6x02-3)(x-x0),
因此t-y0=(6x02-3)(1-x0).整理得4x03-6x02+t+3=0.
設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,
則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”.
g(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)與g(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值.
當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1時,因為g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個零點.
綜上可知,當(dāng)過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).
(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;
過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;
過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.
15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在點(a, f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f (x)=x(2+cos x).
(1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f (x)=0,得x=0.
f(x)與f (x)的情況如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f (x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.
當(dāng)b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;
當(dāng)b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=1<b,
所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上均單調(diào),所以當(dāng)b>1時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.
綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞).
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f (0)的值為 .
答案 3
2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù), f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f (1)=3,則a的值為 .
答案 3
三年模擬
A組 2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組
考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A
2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是( )
A.0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2)
B.0<f (3)<f (2)<f(3)-f(2)
C.0<f (3)<f(3)-f(2)<f (2)
D.0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3)
答案 C
3.(2017湖北百所重點高中聯(lián)考,4)已知函數(shù)f(x+1)=2x+1x+1,則曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線的斜率為( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案 A
4.(2018福建六校聯(lián)考,13)曲線y=ex-e在A(1,0)處的切線方程是 .
答案 y=ex-e
5.(2018河北“名校聯(lián)盟”高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,16)設(shè)函數(shù)y=f(x)在其圖象上任意一點(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(3x02-6x0)(x-x0),且f(3)=0,則不等式x-1f(x)≥0的解集為 .
答案 (-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞)
6.(2017湖南衡陽八中期中,14)曲線f(x)=xex在點(1,f(1))處的切線的斜率是 .
答案 2e
7.(2017廣東韶關(guān)六校聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2,且曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線的斜率是-12,則a= .
答案 14
8.(2016北京東城期中,16)若過曲線f(x)=xln x上的點P的切線斜率為2,則點P的坐標(biāo)為 .
答案 (e,e)
9.(人教A選1—1,三,2,B1,變式)已知函數(shù)f(x)=x,g(x)=aln x,a∈R.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點處有相同的切線,則a= ,切線方程為 .
答案 e2;x-2ey+e2=0
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
10.(2018福建福安一中測試,6)已知f(x)=e-x+ex的導(dǎo)函數(shù)為f (x),則f (1)=( )
A.e-1e B.e+1e C.1+1e D.0
答案 A
11.(2018福建福州八縣聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f (x),且滿足f(x)=2xf (1)+ln1x,則f(1)=( )
A.-e B.2 C.-2 D.e
答案 B
12.(2017山西名校聯(lián)考,3)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則f(x)的解析式可能為( )
A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2x D.f(x)=ex+x
答案 C
13.(2016河北衡水中學(xué)二調(diào),10)若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為( )
A.1 B.2 C.22 D.3
答案 B
B組 2016—2018年模擬提升題組
(滿分:55分 時間:50分鐘)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1.(2018福建福州八縣聯(lián)考,9)函數(shù)f(x)=4x3-6x2+a的極大值為6,那么f(a-5)的值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
2. (2017河南鄭州、平頂山、濮陽二模,10)設(shè)函數(shù)f(0)(x)=sin x,定義f(1)(x)=f[f(0)(x)],f(2)(x)=f[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f [f(n-1)(x)],則f(1)(15)+f(2)(15)+f(3)(15)+…+f(2 017)(15)的值是( )
A.6+24 B.6-24 C.0 D.1
答案 A
3.(2016江西贛中南五校2月第一次聯(lián)考,11)已知函數(shù)fn(x)=xn+1,n∈N的圖象與直線x=1交于點P,若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn,則log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值為( )
A.-1 B.1-log2 0132 012 C.-log2 0132 012 D.1
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
4.(2017山西名校聯(lián)考,16)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,x>0,2ax+2+a,x≤0,且f(-1)=f(1),則當(dāng)x>0時,f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值為 .
答案 2
5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 (-∞,0)
三、解答題(每小題10分,共30分)
6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+1x.
(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)根據(jù)題意可得,f(e)=2e,f (x)=-lnxx2,
所以f (e)=-ln ee2=-1e2,
所以曲線在點(e,f(e))處的切線方程為y-2e=-1e2(x-e),即x+e2y-3e=0.
(2)根據(jù)題意可得,f(x)-1x-a(x2-1)x=lnx-a(x2-1)x≥0在x≥1時恒成立,
令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g(x)=1x-2ax,
當(dāng)a≤0時,g(x)>0,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0,
所以不等式f(x)-1x≥a(x2-1)x成立,故a≤0符合題意;
當(dāng)a>0時,令1x-2ax=0,解得x=12a(舍負),令12a=1,解得a=12,
①當(dāng)0<a<12時,12a>1,所以在1,12a上,g(x)>0,在12a,+∞上,g(x)<0,
所以函數(shù)y=g(x)在1,12a上單調(diào)遞增,在12a,+∞上單調(diào)遞減,
g1a=ln1a-a1a2-1=-ln a-1a+a,令h(a)=-ln a-1a+a,則h(a)=-1a+1a2+1=a2-a+1a2,易知h(a)>0恒成立,又0<a<12,
所以h(a)<h12=-ln12-2+12=ln 2-32<0,
所以存在g1a<0,
所以0<a<12不符合題意;
②當(dāng)a≥12時,12a≤1,g(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(1)=0,顯然a≥12不符合題意.
綜上所述,a的取值范圍為{a|a≤0}.
7.(2017皖南八校12月聯(lián)考,21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-2ax-1.
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x>0時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=1e,
所以切點坐標(biāo)為-1,1e,
f (x)=ex-2x-2,所以f (-1)=1e,
故曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程為y-1e=1e[x-(-1)],即y=1ex+2e.
(2)對f(x)=ex-ax2-2ax-1求導(dǎo)得f (x)=ex-2ax-2a,
令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x>0),則g(x)=ex-2a(x>0).
①當(dāng)2a≤1,即a≤12時,g(x)=ex-2a>1-2a≥0,
所以g(x)=f (x)=ex-2ax-2a在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤12時符合題意.
②當(dāng)2a>1,即a>12時,令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a>0,當(dāng)x變化時,g(x),g(x)的變化情況如下表,
x
(0,ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,+∞)
g(x)
-
0
+
g(x)
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
當(dāng)x∈(0,ln 2a)時,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f (x)<0.
所以f(x)在(0,ln 2a)上為減函數(shù),
所以f(x)<f(0)=0,與條件矛盾,故舍去.
綜上,a的取值范圍是-∞,12.
8.(2017河南新鄉(xiāng)第一次調(diào)研,20)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+2ax.
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x2+2x,f (x)=ex-2x+2,
∴f (1)=e,f(1)=e+1,
∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f (x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上單調(diào)遞增,
∴f (x)≥0在R上恒成立,
∴a≥x-ex2在R上恒成立.令g(x)=x-ex2,
則g(x)=1-ex2,令g(x)=0,得x=ln 2,
∵在(-∞,ln 2)上,g(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,
∴a≥ln 2-1,
∴實數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法
1.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,3)已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上滿足xf (x)>0恒成立,則下列不等式成立的是( )
A.f(-3)<f(4)<f(-5) B.f(4)<f(-3)<f(-5)
C.f(-5)<f(-3)<f(4) D.f(4)<f(-5)<f(-3)
答案 A
2.(2017遼寧大連期中聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=x2 008,則f 12 00812 007=( )
A.0 B.1 C.2006 D.2007
答案 B
方法2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程
3.(2018河南天一大聯(lián)考,10)已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),滿足f[f(x)-ex]=1,則曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為( )
A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1
答案 A
4.(2016遼寧實驗中學(xué)分校期中,20)已知函數(shù)f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),其導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象過原點.
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程;
(2)若存在x<0,使得f (x)=-9,求a的最大值;
解析 (1)f (x)=x2-(a+1)x+b,由題意得f (0)=0,故b=0.所以f (x)=x(x-a-1).
當(dāng)a=1時,f(x)=13x3-x2+1,f (x)=x(x-2),
故f(3)=1,f (3)=3.
故函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.
(2)由f (x)=-9,得x(x-a-1)=-9.
當(dāng)x<0時,-a-1=-x-9x=(-x)+-9x≥2(-x)-9x=6,所以a≤-7.
當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時,a=-7,故a的最大值為-7.