2021高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課標(biāo)通用版作業(yè)：第10章 計(jì)數(shù)原理 課時(shí)作業(yè)52

課時(shí)作業(yè)52　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 一、選擇題詞　　　　　　　　　 1．(2019學(xué)年陜西省咸陽(yáng)市高二下學(xué)期期末)某人有3個(gè)電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有(　　) A．8種 B．15種 C．35種 D．53種 解析：由題意得，每一封不同的電子郵件都有三種不同的投放方式，所以把5封電子郵件投入3個(gè)不同的郵箱，共有33333＝35種不同的方法，故選C. 答案：C 2．(2019學(xué)年陜西省黃陵中學(xué)高二下學(xué)期期末)有不同顏色的四件上衣與不同顏色的三條長(zhǎng)褲，如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)(　　) A．7 B．64 C．12 D．81 解析：根據(jù)題意，由于有四件不同顏色的上衣與三件不同顏色的長(zhǎng)褲，所以先選擇褲子有3種，再選擇上衣有4種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到結(jié)論為34＝12，故答案為C. 答案：C 3．如圖1，電路中共有7個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為(　　) 圖1 A．12 B．28 C．54 D．63 解析：每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線a、b、c，支線a，b中至少有一個(gè)電阻斷路情況都有22－1＝3種；支線c中至少有一個(gè)電阻斷路的情況有23－1＝7種，每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈A就不亮，因此燈不亮的情況共有337＝63種情況． 答案：D 4．(2019年河南省豫南九校第二次聯(lián)考)將標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一球，則不同的方法種數(shù)為(　　) A．150 B．180 C．240 D．540 解析：①若5個(gè)小球分為1，1，3三部分后再放在3個(gè)不同的盒子內(nèi)，則不同的方法為A＝60種； ②若5個(gè)小球分為1，2，2三部分后再放在3個(gè)不同的盒子內(nèi)，則不同的方法為A＝90種． 所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的分法有60＋90＝150種．故選A. 答案：A 5．(2019年廣西南寧市第三中學(xué)高二下學(xué)期期中)將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子里，每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，若恰好有三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，則不同投放方法的種數(shù)為(　　) A．6 B．10 C．20 D．30 解析：根據(jù)題意，先在五個(gè)盒子中確定3個(gè)，使其編號(hào)與球的編號(hào)相同，有C＝10種情況， 剩下有2個(gè)盒子，2個(gè)球；其編號(hào)與球的編號(hào)不同，只有1種情況；由分步計(jì)數(shù)原理，共有110＝10種，故選B. 答案：B 6. 圖2 (2019年浙江省寧波市高三模擬)若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖2方格，要求有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有(　　) A．48種 B．72種　　 C．96種 D．216種 圖3 解析：方法一：按照以下順序涂色， A：C→B：C→D：C→C：C →E：C→F：C， 所以由乘法分步原理得總的方案數(shù)為 CCCCC＝96種． 所以總的方案數(shù)為96. 方法二：以圖形的對(duì)稱中心為公共頂點(diǎn)的四個(gè)方格顏色各不相同，有A種涂色方案，A、F各有2種涂色方案，所以共有A22＝96種方案． 答案：C 7．(2019年安徽省巢湖市柘皋中學(xué)高三月考)現(xiàn)有A，B，C，D，E，F(xiàn)六支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽(即任意兩支球隊(duì)只踢一場(chǎng)比賽)，第一周的比賽中A，B各踢了3場(chǎng)， C，D各踢了4場(chǎng)， E踢了2場(chǎng)，且A隊(duì)與C隊(duì)未踢過(guò)， B隊(duì)與D隊(duì)也未踢過(guò)，則在第一周的比賽中， F隊(duì)踢的比賽的場(chǎng)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：依據(jù)題意： C踢了4場(chǎng)， A隊(duì)與C隊(duì)未踢過(guò)，則C隊(duì)參加的比賽為： BC，CD，CE，CF； D踢了4場(chǎng)，B隊(duì)與D隊(duì)也未踢過(guò)，則D隊(duì)參加的比賽為： AD，CD，ED，F(xiàn)D； 以上八場(chǎng)比賽中， CE，DE包含了E隊(duì)參加的兩場(chǎng)比賽， 分析至此， C，D，E三隊(duì)參加的比賽均已經(jīng)確定，余下的比賽在A，B，F(xiàn)中進(jìn)行，已經(jīng)得到的八場(chǎng)比賽中，A，B各包含一場(chǎng)，則在A，B，F(xiàn)進(jìn)行的比賽中， A，B各踢了2場(chǎng)，即余下的比賽為： AB，AF，BF， 綜上可得，第一周的比賽共11場(chǎng)： BC，CD，CE，CF，AD，CD，ED，F(xiàn)D，AB，AF，BF 則F隊(duì)踢的比賽的場(chǎng)數(shù)是4.本題選擇D選項(xiàng)． 答案：D 8．(2019年廣東省中山市第一中學(xué)高二統(tǒng)測(cè))某體育彩票規(guī)定： 從01到36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元．某人想先選定吉利號(hào)18，然后再?gòu)?1到17個(gè)號(hào)中選出3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從19到29個(gè)號(hào)中選出2 個(gè)連續(xù)的號(hào)，從30到36個(gè)號(hào)中選出1個(gè)號(hào)組成一注．若這個(gè)人要把這種要求的號(hào)全買，至少要花的錢數(shù)為(　　) A．2 000元 B．3 200 元 C．1 800元 D．2 100元 解析：第1步從01到17中選3個(gè)連續(xù)號(hào)有15種選法；第2步從19到29中選2個(gè)連續(xù)號(hào)有10種選法；第3步從30到36中選1個(gè)號(hào)有7種選法．由分步計(jì)數(shù)原理可知：滿足要求的注數(shù)共有15107＝1 050注，故至少要花1 0502＝2 100，故選D. 答案：D 9．(2019年甘肅省武威市第一中學(xué)期末)用0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的全部五位數(shù)，若按從小到大的順序排列，則數(shù)字12 340應(yīng)是第________個(gè)數(shù)．(　　) A．6 B．9 C．10 D．8 解析：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題， 首位是1，第二位是0，則后三位可以用剩下的數(shù)字全排列，共有A＝6個(gè)， 前兩位是12，第三位是0，后兩位可以用余下的兩個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，共有A＝2種結(jié)果， 前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1種結(jié)果， 所以數(shù)字12 340前面有6＋2＋1＝9個(gè)數(shù)字，數(shù)字本身就是第十個(gè)數(shù)字． 答案：C 10．(2019年山東省德州市高二期末)已知6件不同產(chǎn)品中有2件是次品，現(xiàn)對(duì)它們依次進(jìn)行測(cè)試，直至找出所有次品為止，若恰在第4次測(cè)試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是(　　) A．24 B．72 C．96 D．360 解析：根據(jù)題意，若恰在第4次測(cè)試后，就找出了所有次品，需要分2種情況討論： ①2件次品一件在前3次測(cè)試中找到，另一件在第四次找到，有CCA＝72種情況， ②前4次沒(méi)有一次發(fā)現(xiàn)次品，即前4次都是正品，第四次測(cè)試后剩下2件就是次品，有A＝24種情況， 則不同測(cè)試方法數(shù)為72＋24＝96種； 本題選擇C選項(xiàng)． 答案：C 11．(2019年浙江省杭州市蕭山區(qū)第一中學(xué)月考)有六種不同顏色，給如圖4的六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，不同的涂色方法共有(　　) 圖4 A．4 320 B．2 880 C．1 440 D．720 解析：第一個(gè)區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個(gè)區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，第五個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第六個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)乘法原理654343＝4 320，故選A. 答案：A 12．(2019年陜西省咸陽(yáng)市高二下學(xué)期期末)“完成一件事需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟分別有m1，m2，…，mn種方法，則完成這件事有多少種不同的方法？”要解決上述問(wèn)題，應(yīng)用的原理是(　　) A．加法原理 B．減法原理 C．乘法原理 D．除法原理 解析：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理的概念可知，完成一件事需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟分別用m1，m2，…，mn種方法時(shí)，應(yīng)用的是乘法原理，故選C. 答案：C 二、填空題 圖5 13．建造一個(gè)花壇，花壇分為4個(gè)部分(如圖5)．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有________種(以數(shù)字作答)． 解析：先栽種第一塊地，有4種情況，然后栽種第二塊地，有3種情況，栽種第三塊地的時(shí)候考慮1和3相同，以及1和3不同的兩種情況，則有43(13＋32)＝129＝108. 答案：108 14．(2019年浙江省杭州市蕭山區(qū)第一中學(xué)高二下學(xué)期月考)6名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有___________種． 解析：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理獲得冠軍的可能性有666＝216. 答案：216 15．(2019年山東省聊城市高二下學(xué)期期末)今年暑假，小明一家準(zhǔn)備從A城到G城自駕游，他規(guī)劃了一個(gè)路線時(shí)間圖如圖6，箭頭上的數(shù)字表示所需的時(shí)間(單位：小時(shí))，那么從A城到G城所需的最短時(shí)間為_(kāi)_________小時(shí)． 圖6 解析：由題意得，小明從A城到G城，可經(jīng)過(guò)路徑分別為：①A→B→E→F→G，共用2＋4＋3＋2＝11小時(shí)； ②A→E→F→G，共用5＋3＋2＝10小時(shí)； ③A→D→F→G，共用4＋4＋2＝10小時(shí)； ④A→C→D→F→G，共用3＋2＋4＋2＝11小時(shí)， 所以小明從A城到G城所需的最短時(shí)間為10個(gè)小時(shí)． 答案：10 圖7 16．(2019年河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)月考)編號(hào)為A，B，C，D，E的5個(gè)小球放在如圖7所示的5個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放1個(gè)小球，且A球不能放在1，2號(hào)盒子里，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法有________種． 解析：根據(jù)A球所在位置分三類： (1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有321＝6種不同的放法； (2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，則根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有321＝6種不同的放法； (3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi)，則B球可以放在2號(hào)、3號(hào)、5號(hào)盒子中的任何一個(gè)，余下的三個(gè)盒子放球C、D、E，有321＝6種不同的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)有A＝36＝18種不同的放法． 綜上所述，由分類計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種． 答案：30 三、解答題 17．(2019學(xué)年天津市和平區(qū)高二下學(xué)期期末)從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會(huì)，問(wèn)： (1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？ (2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？ (3)如果4人中必須既有男生又有女生，有多少種選法？ 解：(1)CC＝60； (2)方法1：(間接法) 在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條件的選法數(shù)為： C－C＝91(種)； 方法2：(直接法) 甲在內(nèi)乙不在內(nèi)有C種，乙在內(nèi)甲不在內(nèi)有C種，甲、乙都在內(nèi)有C種，所以男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法共有： 2C＋C＝91(種)． (3)方法1：(間接法) 在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)為： C－C－C＝120(種)； 方法2：(直接法) 分別按含男1，2，3人分類，得到符合條件的選法總數(shù)為： CC＋CC＋CC＝120(種)． 18．(2019年灤縣第二中學(xué)度第二學(xué)期期中)甲、乙兩人從4門課程中各選2門，求 (1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不同的選法有多少種？ 解：(1)甲、乙兩人從4門課程中各選2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有CCC＝24種． (2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為CC，又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CC－C＝30種． 19．(2019年高三南京市聯(lián)合體學(xué)校調(diào)研)已知n∈N*，n≥2，k1，k2，k3…kn∈{－1，1}，A＝{x|x＝k12＋k222＋…＋kn2n，x>0}，記A(n)為集合A中所有元素之和． (1)求A(3)的值； (2)求A(n)(用n表示)． 解：(1)n＝3，A中元素有4個(gè)： 2＋22＋23，－2＋22＋23，2－22＋23，－2－22＋23，其和為32， ∴A(3)＝32. (2)先證明：2＋22＋…＋2n－1<2n(n≥2，n∈N*)， 2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－2<2n， 要使集合A中元素x>0，須使kn＝1， 從而k1，k2，k3，…，kn－1可任意取1或－1， 由乘法原理知： ki＝1(1≤i≤n－1)的x值共有2n－2個(gè)， 同樣ki＝－1(1≤i≤n－1)的x值也共有2n－2個(gè)， 從而集合A中元素除了2n這一項(xiàng)外，其余項(xiàng)恰好正負(fù)相消，于是集合A中所有元素的和為：2n2n－1＝22n－1， ∴A(n)＝22n－1.