2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 7.1空間幾何體

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1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析： 7.1空間幾何體 一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖 （一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 ※相關(guān)鏈接※ 1、幾種常見(jiàn)的多面體 （1）正方體 （2）長(zhǎng)方體 （3）直棱柱：指的是側(cè)棱垂直于底面的棱柱，特別地當(dāng)?shù)酌媸钦噙呅螘r(shí)，這樣的直棱柱叫正棱柱； （4）正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐。特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體； （5）平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱。 2、理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)培養(yǎng)空間想象能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系非常重要，每種

2、幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，注意?duì)比記憶。 ※例題解析※ 〖例1〗平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫(xiě)出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件： 充要條件① 充要條件② 思路解析：利用類比推理中“線面”再驗(yàn)證一下所給出的條件是否正確即可。 解答：平行六面體實(shí)質(zhì)是把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質(zhì)上的“相似性”。

3、平行四邊形 平行六面體 兩組對(duì)邊分別平行 一組對(duì)邊平行且相等 對(duì)角線互相平分 兩組相對(duì)側(cè)面分別平行 一組相對(duì)側(cè)面平行且全等 對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平分 答案：兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個(gè)即可）。 2 / 14 〖例2〗一正方體表面沿著幾條棱裁開(kāi)放平得到如圖的展開(kāi)圖，則在原正方體中（ ） A AB∥CD B AB∥EF C CD∥GH D AB∥GH 解答：選C。折回原正方體如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見(jiàn)CD∥GH （二）幾何體的三視圖 ※相差鏈接※ 1、幾何體的三視圖

4、的排列規(guī)則： 俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣，側(cè)視圖放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”注意虛、實(shí)線的區(qū)別。 注：嚴(yán)格按排列規(guī)則放置三視圖，并用虛線標(biāo)出長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，對(duì)準(zhǔn)確把握幾何體很有利。 2、應(yīng)用：在解題的過(guò)程中，可以根據(jù)三視圖的的及圖中所涉及到的線段的長(zhǎng)度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系及圖中一些線段的長(zhǎng)度，這樣我們就可以解出有關(guān)的問(wèn)題。 ※例題解析※ 〖例〗如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫(huà)出（單位：cm）.在正視圖下面，按照畫(huà)三視圖的要求畫(huà)出該多面體

5、的俯視圖。 思路解析：根據(jù)正視圖和側(cè)視圖可確定出點(diǎn)G、F的位置，從而可以畫(huà)出俯視圖。 解答：如圖： [ （三）幾何體的直觀圖 ※相關(guān)鏈接※ 畫(huà)幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫(huà)法，步驟清晰易掌握，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成450或1350）和“二測(cè)”（平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變）來(lái)掌握，在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來(lái)考查畫(huà)法中角度和長(zhǎng)度的變化。 ※例題解析※ 〖例〗（1）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖。 （2）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么ΔABC的平面直觀圖Δ的面積為

6、 思路解析：（1）三視圖確定幾何體結(jié)構(gòu)畫(huà)直觀圖（2）根據(jù)規(guī)則求出Δ的高即可。 解答：（1）由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，它的下部是一個(gè)不在此列四棱臺(tái)，上部是一個(gè)正四棱錐。 畫(huà)法：①畫(huà)軸。如圖①，畫(huà)x軸、y軸、z軸,使∠x(chóng)Oy=450,∠x(chóng)Oz=900. ②畫(huà)底面。利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面ABCD，在z軸上截取使等于三視圖中相應(yīng)高度，過(guò)作的平行線，Oy的平行線，利用與畫(huà)出底面； ③畫(huà)正四棱錐頂點(diǎn)。在Oz上截取點(diǎn)P，使P等于三視圖中相應(yīng)的高度； ④成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖②所示。 （2）如圖③、④所示的實(shí)際圖形和直觀圖。 由圖可知，

7、在圖④中作 ∴ 答案： （四）截面問(wèn)題 〖例〗棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的截面）的面積。 思路解析：截面過(guò)正四面體的兩頂點(diǎn)及球心，則必過(guò)對(duì)棱的中點(diǎn)。 解答：如圖，ΔABE為題中的三角形， 由已知得AB=2，BE=，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面積為 注：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對(duì)照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系。與球有關(guān)的截面問(wèn)題為了增加圖形的直觀性，解題時(shí)常常畫(huà)一個(gè)截面圓起襯托作用。 二、空間幾何體的表面積與體積 （一）

8、幾何體的展開(kāi)與折疊 ※相關(guān)鏈接※ 1、幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開(kāi)圖求得的。利用了空間問(wèn)題平面化的思想。把一個(gè)平面圖形折疊成一個(gè)幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開(kāi)與折疊是高考的一個(gè)熱點(diǎn)； 2、幾何體的展開(kāi)圖 （1）多面體的展開(kāi)圖； ①直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形； ②正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形； ③正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形。 （2）旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖 ①圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的母線長(zhǎng)； ②圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，扇形的半

9、徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)； ③圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)。 注：圓錐中母線長(zhǎng)與底面半徑r和展開(kāi)圖扇形中半徑和弧長(zhǎng)間的關(guān)系及符號(hào)容易混淆。 ※例題解析※ 〖例〗有一根長(zhǎng)為3πcm,底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長(zhǎng)度為多少？ 思路解析：把圓柱沿這條母線展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離。 解答：把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開(kāi)，在平面上得到矩形ABCD（如圖）， 由題意知BC=3πcm，AB=4πcm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，

10、故線段AC的長(zhǎng)度即為鐵絲的最短長(zhǎng)度。AC=5πcm， 故鐵絲的最短長(zhǎng)度為5πcm。 （二）幾何體的表面積 ※相關(guān)鏈接※ 1、高考中對(duì)幾何體的表面積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決； 2、多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和。圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和； 3、組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理。 ※例題解析※ 〖例〗如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 思路解

11、析：三視圖直觀圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解 解答：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，∴幾何體的表面積為S=4π+8π=12π。答案：12π （三）幾何體的體積 〖例〗一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐的體積。 思路解析：本題為求棱錐的體積問(wèn)題。已知底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積。 解答：如圖所示，正三棱錐S-ABC。設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AH⊥BC。 ∵ΔABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，∴AE=，AH= AE= 2。在ΔABC中， 注：求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透撸缓髴?yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算即可。常用方法為：割補(bǔ)法和等積變換法： （1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積； （2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面。①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！