離散數(shù)學(xué)-2-2命題函數(shù)與量詞.ppt

1,第二章謂詞邏輯,2-2命題函數(shù)與量詞授課人：李朔Email:chn.nj.ls@,2,一、命題函數(shù),與命題邏輯中命題常量和命題變元的概念類似，代表個(gè)體的個(gè)體標(biāo)識符也可以表示客體（個(gè)體常量）或客體變元（個(gè)體變元）表示具體或特定個(gè)體的標(biāo)識符稱作個(gè)體常元，一般用小寫英文字母a、b、c、…或這些英文字母帶下標(biāo)表示。將表示任意個(gè)體或泛指某類個(gè)體的標(biāo)識符稱為個(gè)體變元，常表示為x、y、z、…等或這些英文字母帶下標(biāo)。,3,一、命題函數(shù),設(shè)H是謂詞“能到達(dá)山頂”i表示客體李四、t表示老虎，c表示汽車H(i)、H(t)、H(c)分別表示了三個(gè)不同命題，它們有一個(gè)共同的共同的形式，即H(x)x取l時(shí)表示：李四能到達(dá)山頂x取t時(shí)表示：老虎能到達(dá)山頂x取c時(shí)表示：汽車能到達(dá)山頂同理，若L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示一個(gè)真命題：2小于3。而L(5,1)則表示假命題:5小于1又如A(x,y,z)表示“x+y=z”,則A(3,2,5)是一個(gè)真命題，而A(1,2,4)是一個(gè)假命題。,4,一、命題函數(shù),上述三例中H(x),L(x,y),A(x,y,z)（其中x,y,z為客體變元）本身不是一個(gè)命題，只有當(dāng)x,y,z取特定客體時(shí)，才確定了一個(gè)命題。定義2-2.1由一個(gè)謂詞，一些客體變元組成的表達(dá)式稱為簡單命題函數(shù)。由這個(gè)定義可知，n元謂詞就是有n個(gè)客體變元的命題函數(shù)。當(dāng)n=0時(shí)稱為0元謂詞，它本身就是一個(gè)命題，所以命題是n元謂詞（命題函數(shù)）的一個(gè)特殊情況。,5,一、命題函數(shù),因?yàn)槊}函數(shù)中包含客體變元，因此命題函數(shù)沒有確定的真值，它不是命題。只要用客體取代所有的個(gè)體變元，就得到了命題。例如，用H(x,y)：x+y≥0，顯然此命題函數(shù)不是命題，因?yàn)樗鼰o法判斷真假。令a：5,b：-7用a,b分別取代x,y，就得到H(a,b)，它表示5+(－7)≥0，這是個(gè)假命題，它的真值為假。用個(gè)體常元取代命題函數(shù)的所有個(gè)體變元所得到的表達(dá)式就是前面所說的謂詞填式。也把謂詞填式叫做0元謂詞（含0個(gè)客體變元）。,6,一、命題函數(shù),由一個(gè)或n個(gè)簡單命題函數(shù)以及邏輯聯(lián)結(jié)詞組合而成的表達(dá)式稱復(fù)合命題函數(shù)。邏輯聯(lián)結(jié)詞?、∧、∨、→、?的意義與命題演算中的解釋完全類同。例：將下列命題符號化，并討論它們的真值。⑴2與3都是偶數(shù)。⑵如果5大于3，則2大于6。解：⑴設(shè)F(x)：x是偶數(shù)。a：2，b：3該命題符號化為：F(a)∧F(b)F(b)表示3是偶數(shù)，它是個(gè)假命題。所以F(a)∧F(b)為假。⑵設(shè)G(x,y)：x大于ya：5，b：3，c：2，d：6該命題符號化為：G(a,b)→G(c,d)G(a,b)表示5大于3，它是真命題。G(c,d)表示2大于6，這是個(gè)假命題。所以G(a,b)→G(c,d)為假。書例見P56例1-例3,7,二、個(gè)體域,客體變元的取值范圍對命題函數(shù)是否可成為命題及其真值極有影響例4R(x)：x是大學(xué)生如果x的討論范圍是某大學(xué)里班級中的學(xué)生，則R(x)是永真式如果x的討論范圍是某中學(xué)班級里中的學(xué)生，則R(x)是永假式。而如果x的討論范圍是一個(gè)劇場中的觀眾，其中有一部分大學(xué)生，那么，對某些觀眾，R(x)為真，對另一些觀眾R(x)為假。,8,二、個(gè)體域,例5(P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)若P(x,y)：x小于y。當(dāng)x,y,z都在實(shí)數(shù)域中取值時(shí)，該式永真若P(x,y)：x為y的兒子。當(dāng)x,y,z都指人時(shí)，該式永假若P(x,y)：x距離y10米。若x,y,z表示地面上的房子，則命題的真值將由x,y,z的具體位置而定，可能為真，也可能為假。,9,二、個(gè)體域,可以看出命題函數(shù)確定為命題與客體變元的論述范圍有關(guān)。在命題函數(shù)中，客體變元的論述范圍稱為個(gè)體域或論域。個(gè)體域可以是有限的，也可以是無限的，包含任意個(gè)體域的個(gè)體域稱為全總個(gè)體域，它是由宇宙間一切對象組成的集合。,10,三、量詞,有了客體變元和謂詞之后，有些命題還是不能準(zhǔn)確的符號化，原因是還缺少表示客體（變元）之間數(shù)量關(guān)系的詞。稱表示客體（變元）之間數(shù)量關(guān)系的詞為量詞。量詞可分兩種:⑴全稱量詞日常生活和數(shù)學(xué)中常用的“一切的”，“所有的”，“每一個(gè)”，“任意的”，“凡”，“都”等詞統(tǒng)稱為全稱量詞，將它們符號化為“?”。并用(?x)，(?y)等表示個(gè)體域里的所有個(gè)體，而用(?x)F(x)和(?y)G(y)等分別表示個(gè)體域中的所有個(gè)體都有性質(zhì)F和都有性質(zhì)G。,11,三、量詞,例（a）所有人都是要呼吸的。(b)每個(gè)學(xué)生都要參加考試。(c)任何整數(shù)或是正的或是負(fù)的。若設(shè)M(x):x是人，H(x):x要呼吸。P(x):x是學(xué)生，Q(x):x要參加考試。I(x):x是整數(shù),R(x):x是正數(shù)，N(x):x是負(fù)數(shù)。則(a)記為（?x）(M(x)→H(x))(b)記為（?x）(P(x)→Q(x))(c)記為（?x）(I(x)→(R(x)∨N(x)),12,三、量詞,⑵存在量詞“存在”，“有一個(gè)”，“有些”，“至少有一個(gè)”等詞統(tǒng)稱為存在量詞，將它們符號化為“?”。并用(?x)，(?y)等表示個(gè)體域里有些個(gè)體，而用(?x)F(x)和(?y)G(y)等分別表示在個(gè)體域中存在個(gè)體具有性質(zhì)F和存在個(gè)體具有性質(zhì)G。例(a)存在一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)。(b)一些人是聰明的。(c)有些人早飯吃面包。設(shè)P(x)：x是質(zhì)數(shù)。M(x):x是人。E(x):x早飯吃面包。則(a)記為(?x)(P(x))(b)記為(?x)(M(x)∧R(x))(c)記為(?x)(M(x)∧E(x)),13,三、量詞,全稱量詞與存在量詞統(tǒng)稱為量詞。每個(gè)由量詞確定的表達(dá)式，都與個(gè)體域有關(guān)，如前列中（?x）(M(x)→H(x))表示所有的人都要呼吸，若把個(gè)體域限制在“人類”這個(gè)范圍中，那么亦可簡單的表示為（?x）(H(x))指定論域不僅與表達(dá)形式有關(guān)，而且與命題的真值有關(guān)，如上例中設(shè)論域?yàn)椤白匀粩?shù)”，則命題的真值為F。為了方便，我們將所有命題函數(shù)的個(gè)體域全部統(tǒng)一，使用全總個(gè)體域。,14,三、量詞,例：用謂詞表達(dá)式寫出下列命題。（1）愛美之心人皆有之。設(shè)F(x):x為人，G(x):x愛美。（2）有人愛發(fā)脾氣。設(shè)F(x):x為人，G(x):x愛發(fā)脾氣。（3）說所有人都愛吃面包是不對的。F(x)：x為人，G(x):x愛吃面包（4）沒有不吃飯的人。F(x):x為人，G(x):x吃飯（5）一切人都不一樣高。F(x):x為人，H(x,y):x與y不同，L(x,y):x與y一樣高。（6）并不是所有的汽車比所有的火車快。F(x):x為汽車，G(y):y為火車，H(x,y):x比y快,15,三、量詞,解：(1)設(shè)F(x):x為人，G(x):x愛美。?x(F(x)→G(x))。*將公式翻譯自然語言可以這樣敘述“對于宇宙間一切事物x而言，如果x是人，則x是愛美的”，即“愛美之心人皆有之”，它反映了愛美是人的共性之一。(2)設(shè)F(x):x為人，G(x):x愛發(fā)脾氣。?x(F(x)∧G(x))。*敘述為“宇宙中存在著一些事物x,x是人，而且x愛發(fā)脾氣。,16,三、量詞,*從(1)(2)中可以看出，若個(gè)體域使用了全總個(gè)體域，需要對每一個(gè)客體變元的變化范圍用謂詞加以限制，這個(gè)謂詞表示了一個(gè)非全總個(gè)體域的個(gè)體域，稱為特性謂詞。一般的，對全稱量詞，特性謂詞常作原命題公式的蘊(yùn)含前件。如：?x(F(x)→G(x))一般的，對存在量詞，特性謂詞常作為原命題公式的合取項(xiàng)。如：?x(F(x)∧G(x)),17,三、量詞,(3)本命題是對“所有人都愛吃面包”的否定，仿照第1）題，容易看出，它的符號化形式為┐?x(F(x)→G(x))(其中，F(xiàn)(x)：x為人，G(x):x愛吃面包)又容易看出，本命題與“有人不愛吃面包”是一回事，所以還可以符號化為：?x(F(x)∧┐G(x))(4)本題是對“有不吃飯的人”的否定，仿照（2），容易看出，它的符號化形式為：┐?x(F(x)∧┐G(x))(其中，F(xiàn)(x):x為人，G(x):x吃飯)又不難看出，本命題與“所有人都吃飯”是一回事，因而有可以符號化為：?x(F(x)→G(x)),18,三、量詞,(5)一切人都不一樣高。令F(x):x為人，H(x,y):x與y不同，L(x,y):x與y一樣高。命題符號化為：?x(F(x)→?y(F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y)))又可以寫成：?x?y(F(x)∧F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y))(6)并不是所有的汽車比所有的火車快。令F(x):x為汽車，G(y):y為火車，H(x,y):x比y快應(yīng)符號化為：┐?x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y))還可以符號化為：?x?y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y)),19,本課小結(jié),命題函數(shù)與復(fù)合命題函數(shù)全體域、全總個(gè)體哉存在量詞，全稱量詞,20,課后作業(yè),P59（1）,