華師大版七年級數(shù)學下冊教案 第七章　二元一次方程組

第七章　二元一次方程組 7.1 二元一次方程組和它的解 7.2 二元一次方程組的解法 7.3 實踐與探索 小結(jié)與復習(一) 小結(jié)與復習(二) 第七章　二元一次方程組 7.1 二元一次方程組和它的解 教學目的 1．使學生了解二元一次方程，二元一次方程組的概念。 2．使學生了解二元一次方程；二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數(shù)是不是它們的解。 3．通過引例的教學，使學生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性。 重點、難點 1．重點：了解二元一次方程。二元一次方程組以及二元一次方程 組的解的含義，會檢驗一對數(shù)是否是某個二元一次方程組的解。 2．難點；了解二元一次方程組的解的含義。 教學過程 一、復習提問 1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎樣檢驗一 個數(shù)是否是這個方程的解? 2．列方程解應用題的步驟。 二、新授 問題1：暑假里，《新晚報》組織了“我們的小世界杯”足球邀請賽，勇士隊在第一輪比賽中共賽9場，得17分。 比賽規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分，負一場得。分，勇士隊在這一輪中只負了2場，那么這個隊勝了幾場?又平了幾場呢? 這個問題可以用算術方法來解，也可以列一元一次方程來解，請同學們選一種方法試一試。 解后反思：既然是求兩個未知量，那么能不能同時設兩個未知數(shù)? 學生嘗試設勇士隊勝了x場，平了y場。 讓學生在空格中填人數(shù)字或式子： 勝 平 合計 1 / 28 場數(shù) X Y 得分 那么根據(jù)填表結(jié)果可知 x十y=7 ① 3x+y=17 ② 這兩個方程有什么共同的特點? (都含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1) 這里的x、y要同時滿足兩個條件：一個是勝與平的場數(shù)和是7場；另一個是這些場次的得分一共是17分，也就是說，兩個未知數(shù)x、y 必須同時滿足方程①、②。因此，把兩個方程合在一起，并寫成 x+y＝7 ① 3x+y=17 ② 上面，列出的兩個方程與一元一次方程不同，每個方程都有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程，叫做二元一次方程。把這兩個二元一次方程①、②合在一起，就組成了一個二元一次方程組。 結(jié)合一元一次方程，二元一次方程對“元”和“次”作進一步的解釋；“元”與“未知數(shù)”相通，幾個元是指幾個未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。 用算術方法或通過列一元一次方程都可以求得勇士隊勝了5場， 平了2場，即x=5，y＝2 這里的x＝5，與y=2既滿足方程①即 5十2＝7 又滿足方程②，即 35十2＝17 我們就說x＝5與y＝2是二元一次方程組的解。 一般地，使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩 個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。 二元一次方程組的解的檢驗范例。 三、鞏固練習 1．教科書第25頁問題2。 2．補充練習。 四、小結(jié) 1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程組? 2．什么是二元一次方程組的解?如何檢驗一對數(shù)是不是某個方程組的解? 五、作業(yè) 教科書第26頁 習題7.1全部。 7.2 二元一次方程組的解法 第一課時 教學目的 1．使學生通過探索，逐步發(fā)現(xiàn)解方程組的基本思想是“消元”，化二元——次方程組為一元一次方程。 2．使學生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。 3．通過代入消元，使學生初步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，和復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法。 重點、難點 1．重點；用代入法把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 2．難點：用代入法求出一個未知數(shù)值后，把它代入哪個方程求另一個未知數(shù)值較簡便。 教學過程 一、復習 1．什么叫二元一次方程，二元一次方程組，二元一次方程組的解? 2．把3x+y＝7改寫成用x的代數(shù)式表示y的形式。 二、新授 回顧上一節(jié)課的問題2。 在問題2中，如果設應拆除舊校舍xm2，建新校舍ym2，那么根據(jù) 題意可列出方程組。 y-x=2000030% ① y=4x ② 怎樣求這個二元一次方程組的解呢? 方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看著 4x，即將②代人①(得到一元一次方程，實際上此方程就是設應拆除舊校舍xm2，所列的一元一次方程)。 這樣就二元轉(zhuǎn)化為一元，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。你能用同樣的方法來解問題1中的二元一次方程組嗎? 讓學生自己概括上面解法的思路，然后試著解方程組。對有困難的同學，教師加以引導。并總結(jié)出解方程的步驟。 1. 選取一個方程，將它寫成用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，記作方程③。 2．把③代人另一個方程，得一元一次方程。 3．解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。 4．把這個未知數(shù)的值代人③，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。 以上解法是通過“代人”消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的，這種解法叫做代人消元法，簡稱代入法。 三、鞏固練習 教科書第29頁，練習。 四、小結(jié) 1．解二元一次方程組的思路。 2．掌握代入消元法解二元一次方程組的一般步驟。 五、作業(yè) 1．教科書第34頁習題7．2題第1題。 第二課時 教學目的 1．使學生進一步理解代人消元法的基本思想和代入法解題的一般 步驟。 2．讓學生在實踐中去體會根據(jù)方程組未知數(shù)系數(shù)的特點，選擇較 為合理、簡單的表示方法，將一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)。 重點、難點 1．重點：熟練地用代人法解一般形式的二元一次方程組。 2．難點：準確地把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 教學過程 一、 復習 1．方程組 2x+5y=-2如何求解?關鍵是什么?解題步驟是什么? x=8-3y 2．把方程2x-7y＝8 (1)寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式。 (2)寫成用含y的代數(shù)式表示x的形式。 二、新授 2x-7y=8 ① 例：解方程 3x-8y-10=0 ② 分析：這兩個方程中未知數(shù)的系數(shù)都不是l，那么如何求解呢?消哪一個未知數(shù)呢? 如果將①寫成用一個未知數(shù)來表示另一個未知數(shù)，那么用x表示 y，還是用y表示x好呢?(讓學生自己探索、歸納) 因為x的系數(shù)為正數(shù)，且系數(shù)也較小，所以應用y來表示x較好。 嘗試解答。教師板書解方程的過程。 這里是消去x，得關于y的一元二次方程，能否消去y呢?讓學生 試一試，然后通過比較，使學生明白本題消x較簡單。 三、鞏固練習 教科書第30頁，練習1、2（1）（2） 　　 四、小結(jié) 　 對于一般形式的二元一次方程用代入法求解關鍵是選擇哪一個方程變形，消什么元，選取的恰當往往會使計算簡單，而且不易出錯，選取的原則是： 　1．選擇未知數(shù)的系數(shù)是1或－l的方程； 　2．若未知數(shù)的系數(shù)都不是1或－1，選系數(shù)的絕對值較小的方程， 將要消的元用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，再把它代人沒有變形的方程中去。這樣就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。 對運算的結(jié)果養(yǎng)成檢驗的習慣。 五、作業(yè) 教科書第30頁，第2題的(3)、(4)。 第三課時 教學目的 1．使學生進一步理解解方程組的消元思想。 2．使學生了解加減法是消元法的又一種基本方法，并使他們會用加減法解一些簡單的二元一次方程組。 重點、難點 1，重點：用加減法解二元一次方程組。 2．難點：兩個方程相減消元時對被減的方程各項符號要做變號處理。 教學過程 一、復習 1．解二元一次方程組的基本思想是什么? 2．用代人法解方程組 3x+5y=5 ① 3x-4y=23 ② 學生口述解題過程，教師板書。 二、新授 對復習2的反思并引入新課。 用代入法解二元一次方程的基本思想是消元，只有消去一個未知數(shù)，才能把二元轉(zhuǎn)化為熟悉的一元方程求解，為了消元，除了代入法還有其他的方法嗎?(讓學生主動探求解法，適當時教師可作以下引導) 觀察方程組在這個方程組中，未知數(shù)x的系數(shù)有什么特點?怎樣才能把這個未知數(shù)消去?你的根據(jù)是什么? 這兩個方程中未知數(shù)x的系數(shù)相同，都是3，只要把這兩個方程的左邊與左邊相減、右邊與右邊相減，就能消去x從而把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程。把方程①兩邊分別減去方程②的兩邊，相當于把方程①的兩邊分別減去兩個相等的整式。 為了避免符號上的錯誤 (3x+5y)-(3x-4y)=5-23 板書示范時可以如下： 3x+5y-3x+4y=-18 解：把①－②得 9y＝－18 y=－2 把y＝－2代入①，得 3x+5(－2)=5 解得 x=5 ∴ x＝5 這結(jié)果與用代入法解的結(jié)果一樣 y=－2 也可以通過檢驗 從上面的解答過程中，你發(fā)現(xiàn)了二元一次方程組的新解法嗎？讓學生自己概括一下。 例2.解方程組 3x+7y=9 ① ［ 怎樣解這個方程組呢?用什么4x-7y=5 ② 方法消去一個未知數(shù)?先消哪個未　　　　　　　　　　　　　　　知數(shù)比較方便？ ①+②，得 7x=14 ［ 兩個方程中，未知數(shù)y的系數(shù)是互為相反 x=2 數(shù)，而互為相反數(shù)的和為零，所以應把方程 將x=2代入①，得 ①的兩邊分別加上方程②的兩邊］ 6+7y＝9 y＝ ∴ x＝2 y＝ 以上兩個例子是通過將兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù)，將 方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，這種解法叫加減消元法，簡稱加減法。 三、鞏固練習 教科書第31頁，練習1、2。 四、小結(jié) 今天我們又學習了解二元一次方程組的另一種方法――加減法，它是通過把兩個方程兩邊相加(或相減)消去一個未知數(shù)，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。請同學們歸納一下，什么樣的方程組用“代入法”，什么樣的方程組用“加減法”。 五、作業(yè) 教科書第31頁練習3、4。 第四課時 教學目的 使學生了解用加減法解二元一次方程組的一般步驟，能熟練地用加減法解較復雜的二元一次方程組。 重點、難點 1．重點：將方程組化成兩個方程中的某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等。 2．難點：將方程組化成兩個方程中的某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等。 教學過程 一、復習 下列方程組用加減法可消哪一個元，如何消元，消元后的一元一次方程是什么? 3x+4y＝-3.4 　 4x－2y＝5.6 6x-4y＝5.2 7x－2y＝7.7 二、新授 例l.解方程組 9x+2y=15 ① 3x+4y=10 ② 分析如果用加減法解，直接把兩個方程的兩邊相減能消去一個未知數(shù)嗎?如果不行，那該怎么辦呢? 當兩個方程中某個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等時，可用加減法求解，你有辦法將兩個方程中的某個系數(shù)變相同或相反嗎? 方程②中y的系數(shù)是方程①中y系數(shù)的2倍，所以只要將①2 例2．解方程組 3x－4y＝10 ① 15x+6y＝42 ② 這個方程組中兩個方程的x,y系數(shù)都不是整數(shù)倍。那么如何把其中一個未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)榻^對值相等呢?該消哪一個元比較簡便呢?(讓學生自主探索怎樣適當?shù)匕逊匠套冃危拍苻D(zhuǎn)化為例3或例4那樣的情形。) 分析：(1)若消y，兩個方程未知數(shù)y系數(shù)的絕對值分別為4、6，要使它們變成12(4與6的最小公倍數(shù))，只要①3，②2(2)若消x，只要使工的系數(shù)的絕對值等于15。(3與5的最小公倍數(shù)，因此只要①3，②2) 請同學們用加減法解本節(jié)例2中的方程組。 2x－7y＝8 3x－8y－10＝0 做完后，并比較用加減法和代人法解，哪種方法方便? 教師講評：應先整理為一般式。 三、鞏固練習 教科書第33頁，練習1.3。 四、小結(jié)（教師說出條件部分，學生回答結(jié)論部分)。 加減法解二元一次方程組，兩方程中若有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等，可直接加減消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；若方程組比較復雜，應先化簡整理。 五、作業(yè) 教科書第33頁 練習2.4。 第五課時(習題課) 教學目的 1．使學生進一步理解二元一次方程(組)的解的概念。 2．使學生能夠根據(jù)題目特點熟練地選用代入法或加減法解二元一次方程組。 教學過程 一、復習 1．什么是二元一次方程，二元一次方程組以及它的解? 2．解二元一次方程組有哪兩種方法?它們的實際是什么? 3．舉例說明解二元一次方程組什么情況下用代人法，什么情況下用加減法? [當方程組中兩個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值為l或有一個方程的常數(shù)項是。時，用代人法；當兩個方程中某人未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法。) 二、課堂練習 1．方程2x+39＝3與下面哪個方程所組成的方程組的解是 x=3 y＝－1 A．41+6y=－6 B．x－2y=5 C．3x＋4y＝4 D．以上都不對 2．方程組 3x－7y=7的解是否滿足方程2x+3y＝－5 5x＋2y=2 [滿足，解法一，先求出方程組的解為 x= 把x,y值代入方 y=- 程2x+3y=-5的左邊，左邊=2 +3（-）=-5=右邊，解法二，不用求解，因為方程2x+3y＝－5，是方程組中的第二個方程減去第一個方程得到的，所以方程組的解必滿足方程2x＋3y＝－5] 3．解下列方程組應消哪個元，用哪一種方法較簡便? (1)　2x-3y=-5 ① ［消x，用代入法， 　3x=2y ② 由②得x=y 再代入①］ (2)　2x+3y=5 ① ［消x用加減法， 4x-2y=1 ② ①②－②］ (3)　　3x+2y-2=0 ① ［整體代入，消y， －2x=－ ② 由①得3x+2y=2代入②］ 4．解方程組 (1)　6x+5z=25 ① 3x+2z=10 ② (2) －=0 ① －= ② (3) +=3 ① －=－1 ② 探索簡便方法： (1)可以用加減法，①－②2，也可以用代人法，由②得 3x＝l0－2x，代人①得 2(10－2z)+5z＝25 (2)原方程組先整理為 4x－y=2 ③ 除用加減法解外。注 3x－4y=－2 ④ 意到這兩個方程的常數(shù)項互為相反數(shù)，因此③+④得 7x-7y=0即x=y,再用代入法求解。 (3)可以與(2)一樣先把原方程組整理，也可以直接加減. 5.用適當?shù)姆椒ń夥匠探M (1) + = 5x+7y= (2) 5x-2y=50 15%x+6%y=5 (3) +1= 2x-3y=4 三、作業(yè) 教科書第39頁復習題l、2、①②③。 第六課時 教學目的 1．使學生會借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，讓學生再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用。 2．通過應用題的教學使學生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性，體會列方程組往往比列一元一次方程容易。 3．進一步培養(yǎng)學生化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題解決問題的能力。 重點、難點、關鍵 1、重、難點：根據(jù)題意，列出二元一次方程組。 2、關鍵：正確地找出應用題中的兩個等量關系，并把它們列成方程。 教學過程 一、復習 我們已學習了列一元一次方程解決實際問題，大家回憶列方程解應用題的步驟，其中關鍵步驟是什么? [審題；設未知數(shù)；列方程；解方程；檢驗并作答。關鍵是審題，尋找 出等量關系] 在本節(jié)開頭我們已借助列二元一次方程組解決了有2個未知數(shù)的實際問題。大家已初步體會到：對兩個未知數(shù)的應用題列一次方程組往往比列一元一次方程要容易一些。 二、新授 例l：某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售，該公司的加工能力是：每天精加工6噸或者粗加工16噸，現(xiàn)計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務?如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后為2000元，那么該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元? 分析：解決這個問題的關鍵是先解答前一個問題，即先求出安排精加和粗加工的天數(shù)，如果我們用列方程組的辦法來解答。 可設應安排x天精加工，y加粗加工，那么要找出能反映整個題意的兩個等量關系。引導學生尋找等量關系。 (1)精加工天數(shù)與粗加工天數(shù)的和等于15天。 (2)精加工蔬菜的噸數(shù)與粗加工蔬菜的噸數(shù)和為140噸。 指導學生列出方程。對于有困難的學生也可以列表幫助分析。 例2：有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.50噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸。 求：3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸? 分析：要解決這個問題的關鍵是求每輛大車和每輛小車一次可運貨多少噸? 如果設一輛大車每次可以運貨x噸，一輛小車每次可以運貨y噸，那么能反映本題意的兩個等量頭條是什么？ 指導學生分析出等量關系。 （1） 2輛大車一次運貨＋3輛小車一次運貨＝15.5 （2） 5輛大車一次運貨＋6輛小車一次運貨＝35 根據(jù)題意，列出方程，并解答。教師指導。 三、鞏固練習 教科書第34頁練習l、2、3。 第3題：首先讓學生明白什么叫充分利用這船的載重量與容量，讓學生找出兩個等量關系。 四、小結(jié) 列二元一次方程組解應用題的步驟。 1．審題，弄清題目中的數(shù)量關系，找出未知數(shù)，用x、y表示所要求的兩個未知數(shù)。 2．找到能表示應用題全部含義的兩個等量關系。 3．根據(jù)兩個等量關系，列出方程組。 4．解方程組。 5．檢驗作答案。 五、作業(yè) 1．教科書第35頁，習題7.2第2、3、4題。 7.3 實踐與探索 第一課時 教學目的 通過學生積極思考、互相討論，經(jīng)歷探索事物之間的數(shù)量關系，形成方程模型，解方程和運用方程解決實際問題的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型。 重點、難點 1，重點：讓學生實踐與探索，運用二元一次方程組解決有關配套問題的應用題。 2．難點：尋找相等關系以及方程組的整數(shù)解問題。 教學過程 一、復習 列二元一次方程組解決實際問題的步驟是什么?其中什么是關鍵? 二、新授 問題1．第35頁實踐與探索中的第一個問題。 學生閱讀教科書并與同伴討論、交流，探索解題方法，鼓勵學生多角度地思考，只要學生的方法有道理，就要給予肯定和鼓勵。鼓勵學生進行質(zhì)問和大膽創(chuàng)新。 學生有困難，教師加以引導： 1．本題有哪些已知量? (1)共有白卡紙20張。 (2)一張白卡紙可以做盒身2個或盒底蓋3個。 (3)1個盒身與2個盒底蓋配成一套。 2．求什么? (1)用幾張白卡紙做盒身?幾張白卡紙做盒底蓋? 3．若設用x張白卡紙做盒身，y張白卡紙做盒底蓋。 那么可做盒身多少個?盒底蓋多少個? [2x個盒身，3y個盒底蓋] 4．找出2個等量關系。 (1)用做盒身的白卡紙張數(shù)十用做盒底蓋的自卡紙張數(shù)：20。 (2)已知(3)可知盒底蓋的個數(shù)應該是盒身的2倍，才能使盒身和盒底蓋正好配套。 根據(jù)題意，得 x+y＝20 3y=22x 解出這個方程組。 以上結(jié)果表明不允許剪開白卡紙，不能找到符合題意的分法。 如果允許剪開一張白卡紙，怎樣才能既符合題意且能充分利用白卡紙呢? 用8張白卡紙做盒身，可做82二16(個) 用1l張白卡紙做盒底蓋，可做311＝33(個) 將余下的l張白卡紙剪成兩半，一半做盒身，另一半做盒底，一共 可做17個包裝盒，較充分地利用了材料。 三、鞏固練習 某農(nóng)場300名職工耕種5l公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植各種植物每公頃所需勞動力人數(shù)及投入的設備資金如下表： 農(nóng)作物品種 每公頃需勞動力 每公頃需投入資金 水稻 4人 1萬元 棉花 8人 1萬元 蔬菜 5人 2萬元 已知該農(nóng)場計劃在設備上投入67萬元，應該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的設備資金正好夠用? 先讓學生自主探索，與伙伴交流。 對有困難的學生教師加以引導。(提問式) 1．本題中有哪些已知量? (1)安排種三種農(nóng)作物的人數(shù)共300名； (2)安排種三種農(nóng)作物的土地共51公頃； (3)每種農(nóng)作物每公頃所需要的職工數(shù)； (4)每種農(nóng)作物每公頃需要投入的資金； (5)三種農(nóng)作物需要的資金和為67萬元。 2．求什么? 分別安排多少公頃種水稻，多少公頃種棉花，多少公頃種蔬菜? 如果設安排x公頃種水稻，y公頃種棉花，那么由已知(2)可知，種蔬菜有(51-x-y)公頃。 這樣根據(jù)已知，(3)可得種水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人. 根據(jù)已知(4)可得，種三種農(nóng)作物所需的資金分別為x萬元、y萬元 2(51-x-y)萬元已知量中的(1)、(5)就是兩個等量關系 因此，列方程組 4x+8y+5(51-x-y)＝300 x+y+2(51-x-y)=67 本題也可以列三元一次方程組求解，若有學生嘗試用這種方法，應 給予鼓勵，鼓勵有余力的學生自己探索、研究、體會，不要求統(tǒng)一規(guī)定。 四、作業(yè) 教科書習題7.3，第1題。 第二課時 教學目的 讓學生綜合運用已有的知識，經(jīng)過自主探索、互相交流．去嘗試用 二元一次方程組解決與生活密切相關的問題，在探索和解決問題的過程 中獲得體驗，得到發(fā)展。 重點、難點 1．重點：讓學生實踐與探索，運用方程或方程組解決幾何圖形中的 數(shù)量關系。 2．難點：尋找相等關系。 教學過程 一、復習提問 列二元一次方程組解決實際問題的關鍵是什么? 二、新授 上一節(jié)課我們探索了2個與生活密切相關的問題，它們都可以利用二元一次方程組來解決。今天我們再宋探索一個有趣的問題。 請同學們打開課本第35頁，閱讀問題2。 讓學生充分思考，并與伙伴交流后，教師可以提出以下問題： 這里講的“其中的奧秘”，是指什么? “奧秘”是指用這8塊大小一樣的矩形拼成的正方形，為什么中間會留下一個邊長為2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么? 教師可以作以下引導： 1．觀察小明的拼圖，你能發(fā)現(xiàn)小長方形的長xmm與寬ymm之間的數(shù)量關系嗎? (根據(jù)矩形的對邊相等，得3x＝5y) 2．再觀察小紅的拼圖，你能寫出表示小矩形的長xmm與寬ymm的另一個關系式嗎? 因為AB＝CD+DE+FG，所以有x+25y=2x+2 即2y-x＝2 解方程組 3x=5y 2y-x=2 8個小矩形的面積和＝8xy＝8106=480(mm2) 大正方形的面積=(x+2y)2＝(10+26)2＝484(mm2) 484－480＝4＝22 因此小紅拼出的大正方形中間還留下了一個恰好是邊長為2mm的小正方形。 問題：有沒有這樣的8個大小一樣的小矩形，既能拼成像小明那樣成的大矩形，又能拼成一個沒有空隙的正方形呢？ 三、做一做。 把第6章實踐與探索提出的問題，用本章的方法來處理，并比較兩種，談談你的感受。 問題1：設長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)題意列方程組 y＝x x＋y＝ 問題2：設小明的爸爸前年存了x元，利息稅為y元，由題意得： y＝2.43%x220% 2.43%x2－y＝48.6 問題3：設小張家到火車站有x千米，乘公共汽車從小張家到火車站要y小時，由題意得： 　　40x2＝80y 　　40x＋80y＝40（x＋y＋） 四、小結(jié) 五、作業(yè) 教科書習題7.3第2題 小結(jié)與復習(一) 教學目的 1．使學生對方程組以及方程組的解有進一步的理解，能靈活運用代人法和加減法解二元一次方程組，會解簡單的三元一次方程組，并能熟練地列出一次方程組解簡單的應用題。使學生進一步了解把“二元” 轉(zhuǎn)化為“一元’’的消元思想，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的思想方法。 2．列方程組解實際問題，提高分析問題、解決問題的能力。 重點、難點 1．重點：解二元一次方程組以及列方程組解應用題。 2．難點；找出等量關系列出二元一次方程組. 教學過程 一、復習小結(jié) 1.知識結(jié)構 二元一次方程，二元一次方程組，二元一次方程組的解法。 2．注意事項 (1)在實際問題中，常會遇到有多個未知量的問題，和一元一次方程一樣，二元一次方程組也是反映現(xiàn)實世界數(shù)量之間相等關系的數(shù)學模型之一，要學會將實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，從而解決一些簡單的實際問題。 (2)二元一次方程組的解法很多，但它的基本思想都是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的，最常見的消元方法有代人法和加減法。一個方程組用什么方程來逐步消元，轉(zhuǎn)化應根據(jù)它的特點靈活選定。 (3)通過列方程組來解某些實際問題，應注意檢驗和正確作答，檢驗不僅要檢查求得的解是否適合方程組的每一個方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合實際問題的要求。 二、課堂練習 1．求二元一次方程3x+y＝10的正整數(shù)解。 分析：求二元一次方程的解的方法是用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，如y＝10-3x，給定x一個值，求出y的一個對應值，就可得到二元一次方程的一個解，而此題是對未知數(shù)x、y作了限制必須是正整數(shù)，也就是說對于給定的x可能是1、2、3、4…但是當x＝4時，y＝ 10-34=-2，y卻不是正整數(shù)，因此x只能取正整數(shù)的一部分，即x= 1，x=2，x=3。 2．已知 x=1 2xn－m=5 y=2 是方程組 mx－ny=5的解，求m和n的值。 分析：因為，x=1，y＝2是方程組的解。 根據(jù)方程組解的定義和x=1，y＝2既滿足方程①又滿足方程②于是有： 2n-2m=5 ③ 　　　m+2n＝3 ④ 解這個方程組即可。 3.A、B兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從A、月兩地同時出發(fā)，同向而行，甲車3小時可追上乙車；相向而行，兩車1.5小時相遇，求甲、乙兩車的速度。 分析：這里有兩個未知數(shù):甲、乙兩車的速度；有兩個相等關系： (1)同向而行：甲3小時的行程＝乙3小時行程十150千米 (2)相向而行：甲1.5小時行程+乙1.5小時行程＝150千米 解設甲車的速度為x千米/時，乙車的速度為y千米/時。 根據(jù)題意，得 　 3x=3y+150 　 1.5x+1.5y=150 解這個方程組即可。 4.一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和為13，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大2，如果把百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么所得新數(shù)比原來的三位數(shù)大99，求這個三位數(shù)。 分析：怎樣設未知數(shù)?直接設可以嗎? 這里有三個未知數(shù)——個位上的數(shù)字，百位上的數(shù)字及十位上數(shù)字，若用二元一次方程組求解，該怎樣設未知數(shù)? 由“十位上數(shù)字比個位上的數(shù)字大2”，可設原三位數(shù)的個位上的數(shù)字為x，則十位上數(shù)字為x+2，另設百位上數(shù)字為y. 如何表示原三位數(shù)和新三位數(shù)? 100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y 2個等量關系是什么? (1)百位上數(shù)字十十位上數(shù)字十個位上數(shù)字＝13 (2)新三位數(shù)一原三位數(shù)=99 根據(jù)題意，得 x+(x+2)+y=13 [100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99 解這個方程組即可。 三、小結(jié) 1．解一次方程組兩種基本方法，是代入法和加減法，解題中常用加減法，在某個未知數(shù)的系數(shù)為一1、l時，可用代入法。解一次方程組時，應根據(jù)情況靈活運用兩種方法。 　　 2.列一次方程組解應用題，關鍵是尋找相等關系，設幾個未知數(shù)，就要找出幾個相等關系，并把這些相等關系轉(zhuǎn)化為方程組?！? 小結(jié)與復習(二) 教學目的 通過列二元一次方程組解決實際問題，開發(fā)學生智力和培養(yǎng)學生理解能力，分析能力和邏輯推理能力以及培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、用數(shù)學的意識。 重點：列二元一次方程組解應用題。 難點：間接設元以及找出2個等量關系。 一、復習 1．列二元一次方程組解應用題的步驟是什么? 2．如何設未知數(shù)? 我們已經(jīng)知道，有兩種設元方法——直接設元、間接設元。當直接設元不易列出方程時，用間接設元。 在列方程(組)的過程中，關鍵尋找出“等量關系”，根據(jù)等量關系，決定直接設元，還是間接設元。 二、新授 例1．某旅行團從甲地到乙地游覽。甲、乙兩地相距100公里，團中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4:00同時到達乙地，必須在什么時候出發(fā)? 分析：這個問題實質(zhì)上求的是如果按題設的行走方式，至少需要多少個小時? 本題比較復雜，引導學生用線段圖幫助分析。 X公里 　A　　　　　　D　　y公里　　 B　　 C 甲　　　　　上車點　下車點　　　　　　　乙 (1)汽車從A→B→D所需的時間與先步行的一部分人從A到D所需的時間相等。 (2)汽車從B→D→C所需的時間與后步行的一部分人從B到C所需要的時間相等。 因此可設先坐車的一部人下車地點距甲地x公里，這一部分人下車地點距另一部分人的上車地點相距y公里，如圖所示。 由以上兩個等量關系，得： = = 解方程組即可得到方程組的解。 例2：方程組　　ax+by=62 的解應為 　x＝8 mx-20y=-224　　　　　　　　y＝10 但是由于看錯了系數(shù)m，而得到的解為，求a+b+m的值； 三、鞏固練習 教科書第39頁，第6、7題，第40頁，第11、12、13、14題。 l 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！