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習(xí)題二十一
1.某年級有100個學(xué)生,其中40個學(xué)生學(xué)英語,40個學(xué)生學(xué)俄語,40個學(xué)生學(xué)日語.若分別有21個學(xué)生學(xué)習(xí)上述三種語言中的任何兩種語言,有10個學(xué)生所有3種語言.問不學(xué)任何語言的學(xué)生有多少個?
解：用A1、A2、A3分別表示學(xué)英語、學(xué)俄語、學(xué)日語的學(xué)生集合，S表示總學(xué)生集合，則問題變成求，利用逐步淘汰公式，分別求，
，
，所以由逐步淘汰公式
2.有多少個小于70且與70互質(zhì)的正整數(shù)?
解：由于70=2５７，所以該題也就變成了，求所有小于７０的并且不能被２，５，７整除的正整數(shù)的個數(shù)。設(shè)、、分別表示1到７０之間
2、能被２、５、7整除的整數(shù)之集合.于是,問題變成求.利用逐步淘汰公式,先分別求:
其中表示對取整,下同:
其中表示與的最小公倍數(shù).
代入公式(21.1)得:
3.在由10個數(shù)字位組成的三進(jìn)制序列中,有多少個至少出現(xiàn)一個0,一個1和一個2的序列?
解：設(shè)只出現(xiàn)0、1、2中任意i位數(shù)的三進(jìn)制數(shù)的個數(shù)為N(i)個，i=1,2。顯然，10位三進(jìn)制數(shù)共有個，而。故0、1和2都出現(xiàn)的數(shù)字共有個。
4.某班級有學(xué)生25人,其中有14個會西班牙語,12人會法語,6人會法語和西班牙語,5人會德語和西班牙語,還有2人這三種語言都會說,而6個會德語的人都會說另一種語言(指西政牙
3、語).求不會以上三種語言的人數(shù).
解 設(shè)會法語，德語，西班牙語的學(xué)生的集合分別為那么顯然
現(xiàn)在考慮，因6個會德語的人都會另一種語言，其中5人會西班牙語，那么另一人肯定會法語。又5個會西班牙語的人中也有兩個會法語。所以。有公式（4-1）
即不會外語的有5人。
5.求的沒有偶整數(shù)在它的自然位置上,即不在第位置上的排列個數(shù).
解 S的所有排列個數(shù)是，有個偶數(shù)出現(xiàn)在其自然位置上而其余個數(shù)不加限制的排列數(shù)為。此外，個偶數(shù)有種不同選法。代入對稱篩選式得
6.求的恰有4個整數(shù)在其自然3位置上的排列個數(shù).
解 在其自然數(shù)位置上的4個數(shù)有種選法。余下的不在其自然位置上的4個數(shù)
4、有種排法。于是答案為
7.試用組合推理解釋恒等式
解的排列可分別成下列情況：
沒有一個數(shù)載其自然位置上的排列數(shù)位。
恰有個數(shù)載其自然數(shù)為。
有的所有排列的個數(shù)為，根據(jù)加法原理得
8.試證: 是一個偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)是一個奇數(shù).
證 命題等價于是奇數(shù)時是偶數(shù)，是偶數(shù)時是奇數(shù)。用歸納法證明。
因為歸納基礎(chǔ)成立。
假定對任一是奇數(shù)，是偶數(shù)時命題成立。
那么是奇數(shù)
是奇數(shù)
是偶數(shù)
命題得證
9.個人參加一晚會,每人寄存一頂帽子和一把雨傘,會后各人任取一頂帽子和一把雨傘,有多少種可能使得沒有人能拿回他原來的任何一件物品?
解 因為人和帽子都是有區(qū)別的，每人隨便地戴一頂帽子相當(dāng)于頂帽子的一個重排。這些重排的個數(shù)為。而沒有一個人戴上自己原來的帽子恰是錯置，錯置數(shù)為
沒有人拿回自己原來的帽子有種可能。沒有人拿回自己原來的傘也有種可能。這兩件事情是互相無關(guān)的。因此答案為。
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