高中物理論文：柳暗花明又一法——圓的切線在物理解題中應用

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1、 柳暗花明又一法——圓的切線在物理解題中應用 　 一、 問題提出 高考第一輪第一章《力》復習時，我做到一個練習題，它費了我好些時間思考后才找到解題思路，得以求解。題目是這樣的：一個重為G的物體被懸掛后，再對物體施加一個大小一定的作用力F﹙F＜G﹚，使物體在某一位置重新獲得平衡，如圖所示，若不計懸線質(zhì)量，求懸線與豎直方向的最大夾角? 我通過對題意的分析明確以下幾點：⑴力F大小已知，方向不確定，是一個變力；⑵懸線與豎直方向夾角未知（即懸線拉力T方向未知）；⑶物體受到的力G、T、F合力為零。從上述分析，無法應用平行四邊形定則畫出力G、T、F構(gòu)成的平行四邊形或三角形。此時，我覺得：山窮水復疑

2、無路。 二、問題探索過程 我先畫出重力G和T、F的合力G′，如圖1所示，分析F的特點，以重心O為圓心，F(xiàn)的大小為半徑畫圓，此時，就有“柳暗花明又一村”的感覺。如圖2所示，連接G′的端點E與圓上任意一點，與圓O相切于A，相交于B?？芍芯€AE與豎直方向的夾角最大，設最大夾角為，得：，則。解出此題后，我思索著：數(shù)學是學習物理的基礎(chǔ)，應用數(shù)學的方法解物理題也是物理解題的基本方法之一，運用數(shù)學圖形與物理矢量的之間關(guān)系，畫出相應的圖象，可能會使物理題得以巧解。下面舉例說明圓的切線在物理解題中應用。 三、問題延伸 1、應用圓的切線求解最值問題 圓的切線與圓的位置關(guān)系是有且僅有一個交點。如果物理

3、量的變化可以用圓描述或者物體的運動軌跡是圓，求相關(guān)的最值問題，我們可以考慮應用圓的切線解題。 【例1】如圖所示，有一工廠車間需要在安全隔離板AB的下方安裝一個光滑斜槽，將AB上面的原料沿斜槽由靜止開始送入水平地面上的加工入口C，欲使原料從送料口沿光滑的斜槽以最短的時間滑落到加工入口C，斜槽的安裝位置應該： A． 過C點作豎直線CD，沿CD方向安裝斜槽 B． 過C點向AB作垂線段CE，沿CE方向安裝斜槽 C． 考慮路程和速度因素，應在CD和CE之間某一適當位置安裝斜槽 D． 上述三種方法原料滑落到加工入口C點所用的時間相等 解析：由題意可知，滑落到C點的時間，構(gòu)建一個等時圓⊙O（圓上

4、各點運動到C點時間相等），與水平地面相切于C點， 圓上的任意一點運動到C點的時間相等，若過B點作⊙O的切線AB與⊙O相切于F，由圖可知，直線 AB上的其它任意點運動到C的時間都大于沿FC運動的時間，而且F點在D、E之間，所以，可得出沿FC方向安裝斜槽，可以使原料以最短的時間落到加工入口C。故選C。 2、應用圓的切線求解矢量問題 物理題目中涉及許多矢量問題，這些物理量在題目中如果大小不變，方向改變。我們可以通過畫圓找出矢量的變化規(guī)律，作圓的切線找到正確的解題思路。 【例2】某人乘船橫渡一條河，船在靜水中的速度及水速一定，此人過河最短時

5、間為T1，若船速小于水速，此船用最短的位移過河，則需時間T2，，則船速與水速之比為 。 解析：如圖1所示，設河岸寬為d，船在靜水中航行的速度為v1，當船垂直于對岸方向航行時，時間最短為T1，則 ，以水的速度v2的端點C為圓心，v1的大小為半徑畫圓，如圖2所示，過點O作圓的切線OB與圓相切于點D，可知，船沿OB方向航行位移最短。因為△OCD∽△BOA，則： 整理得： 所以，= 【例3】如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，場強大小為E，方向一定，在圓周平面內(nèi)，將一帶正電q的小球從a點以相同的動能拋出，拋出方向不同時，小球會經(jīng)過圓上不同的點，在這

6、些所有的點中，到達c點時小球的動能最大。已知∠cab＝30，若不計重力和空氣阻力，求電場方向與ac間的夾角θ為多大？ 解析：由于不計重力和空氣阻力，帶電小球自ａ點拋出后，僅受電場力作用，則小球的動能變化等于電場力做功，即 △Ek=W=Uq 。要使到達c點動能最大，電場力做正功且a、c兩點間的電勢差U最大。若過點C畫任意一條直線MN，且直線上各點的電勢相等，如圖1，那么只有當直線MN與圓相切時，a、c兩點間的電勢差才最大。則過c點作該圓的切線PQ，相切于點c，如圖所示，過a點作直線PQ的垂線交PQ于d，ad方向即為所求的電場方向。由幾何關(guān)系可知，∠cad=30，即夾角θ=30。 3

7、、應用圓的切線求解磁場問題 帶電粒子（重力不計）垂直射入勻強磁場中，它將在勻強磁場中作勻速圓周運動，受到向心力的方向與速度方向垂直，而且速度方向是圓上該點的切線方向。如果畫出運動軌跡作出圓的切線，也許會使題目迎刃而解。 【例4】一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O為圓心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，方向沿x軸正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力的影響。求磁場的磁感應強度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。 解析：帶電粒子在磁場中受

8、到洛侖茲力力作用做勻速圓周運動。設其半徑為ｒ，則 ………① 圖1 由于v沿x軸正方向，圓心必定在y軸上，設圓心為O1，則OO1=r。如圖1所示，以O1為圓心，r為半徑畫圓，可知粒子沿弧OA運動并 從A點射出磁場，出磁場后沿直線AP作勻速直線運動，則AP與圓O1相切于點A，連接OA，OA即為圓形磁場區(qū)域的半徑R。延長PA交x軸于Q。由圖中幾何關(guān)系得：L=3r， 則，………② 將②代入①，得 由幾何關(guān)系可知，OQ=R 因為△PAO1∽△POQ，得 所以，。 四、問題總結(jié) 1、如果題目中出現(xiàn)某一矢量（如力F、速度V、電場強度E、磁感應強度B等物理量）大小已知，方向不確定，則可以先確定圓心畫出一個矢量圓，然后結(jié)合矢量合成方法即平行四邊形定則或三角形定則，尋找相應的規(guī)律，通過畫圓的切線，找到解題的突破口，使題目得以巧解。 2、在圓周運動中速度方向是曲線上該點的切線方向，我們可以通過畫圓及圓的切線，來尋求解題思路。 參考資料：任志鴻主編《高中總復習全優(yōu)設計物理》 南方出版社2005年5月