七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題06 有理數(shù)的計算試題 （新版）新人教版.doc

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專題06 有理數(shù)的計算 閱讀與思考 在小學我們已經(jīng)學會根據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：首先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算． 　　數(shù)學競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速度．有理數(shù)的計算常用的技巧與方法有： 1．利用運算律． 2．以符代數(shù)． 3．裂項相消． 4．分解相約． 5．巧用公式等． 例題與求解 【例1】 已知m，n互為相反數(shù)，a，b互為負倒數(shù)，x的絕對值等于3，則的值等于______________． （湖北省黃岡市競賽試題） 解題思路：利用互為相反數(shù)、互為倒數(shù)的兩個有理數(shù)的特征計算． 【例2】 已知整數(shù)滿足，且，那么等于（ ） A． 0 B． 10 C．2 D．12 （江蘇省競賽試題） 解題思路：解題的關(guān)鍵是把25表示成4個不同的整數(shù)的積的形式． 【例3】 計算： （1） （“祖沖之杯”邀請賽試題） （2）； （江蘇省泰州市奧校競賽試題） （3）． （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：對于（1），若先計算每個分母值，則掩蓋問題的實質(zhì)，不妨先從考察一般情形入手；對于（2），由于相鄰的后一項與前一項的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中裂項相消，簡化計算． 【例4】 都是正整數(shù)，并且， ． (1)證明：，； (2)若，求和的值． （“華羅庚金杯”少年邀請賽試題） 解題思路：（1）對題中已知式子進行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解． 【例5】 在數(shù)學活動中，小明為了求的值（結(jié)果用表示），設(shè)計了如圖①，所示的幾何圖形． （1）請你用這個幾何圖形求的值． （2）請你用圖②，在設(shè)計一個能求的值的幾何圖形． （遼寧省大連市中考試題） 解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構(gòu)造圖形的關(guān)鍵． 【例6】 記，令稱為這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知的“理想數(shù)”為2004．求的“理想數(shù)”． （安徽省中考試題） 解題思路：根據(jù)題意可以理解為為各項和，為各項和的和乘以． 能力訓練 A級 1．若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)．，的值為____________． （湖北省武漢市調(diào)考試題） 2．若，則=___________． （“希望杯”邀請賽試題） 3．計算：（1）＝________________； （2）＝__________________． 4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________． （“祖沖之杯”邀請賽試題） 5．右圖是一個由六個正方體組合而成的幾何體，每個小正方體的六個面上都分別寫著－1，2，3，－4，5，6六個數(shù)字，那么圖中所有看不見的面上的數(shù)字和是___________． （湖北省仙桃市中考試題） 6．如果有理數(shù)滿足關(guān)系式，那么代數(shù)式的值（ ） A． 必為正數(shù) B．必為負數(shù) C．可正可負 D．可能為0 （江蘇省競賽試題） 7．已知有理數(shù)兩兩不相等，則，，中負數(shù)的個數(shù)是（ ） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D．0個或2個 （重慶市競賽試題） 8．若與互為相反數(shù)，則＝（ ） A． 0 B． 1 C． －1 D．1997 （重慶市競賽試題） 9．如果，，則的值是（ ） A．2 B． 1 C． 0 D．-1 （“希望杯”邀請賽試題） 10．若是互為不相等的整數(shù)，且，則等于（ ） A．0 B． 4 C． 8 D．無法確定 11． 把，3.7，，2.9，4.6分別填在圖中五個Ο內(nèi)，再在每個□中填上和它相連的三個Ο中的數(shù)的平均數(shù)，再把三個□中的平均數(shù)填在△中．找出一種填法，使△中的數(shù)盡可能小，并求這個數(shù)． （“華羅庚金杯”少年邀請賽試題） 12．已知都不等于零，且的最大值為，最小值為，求的值． B級 1．計算：＝________________． （“五羊杯”競賽試題） 2．計算：＝________________． （“希望杯”邀請賽試題） 3．計算：＝____________________． 4．據(jù)美國詹姆斯馬丁的測算，在近十年，人類的知識總量已達到每三年翻一翻，到2020年甚至要達每73翻番空前速度，因此，基礎(chǔ)教育任務已不是“教會一切人一切知識，而是讓一切人學會學習”． 已知2000年底，人類知識總量，假入從2000年底xx年底每3年翻一翻；從xx年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻． （1）xx年底人類知識總量是：__________________； （2）2019年底人類知識總量是：__________________； （3）2020年按365天計算，2020年底類知識總量會是____________________． （北京市順義區(qū)中考試題） 5．你能比較和的大小嗎？ 為了解決這個問題，我們首先寫出它的一般形式，即比較與的大?。╪是自然數(shù)），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納、猜想得出結(jié)論 （1）通過計算，比較下列各組中兩數(shù)的大?。海ㄔ跈M線上填寫“＞”“=”“＜”） ①，②；③；④；⑤ （2）從第（1）題的結(jié)果中，經(jīng)過歸納，可以猜想出與的大小關(guān)系是_____________________________________________________________________________； （3）根據(jù)以上歸納．猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩數(shù)的大小_____：． （福建省龍巖市中考試題） 6．有xx個數(shù)排成一列，其中任意相鄰的三個數(shù)中，中間的數(shù)總等于前后兩數(shù)的和．若第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是－1，則這個xx個數(shù)的和是（ ） A． －2 B．－1 C．0 D．2 （全國初中數(shù)學競賽海南省試題） 7．如果，那么的值為（ ） A． －1 B．1 C． D．不確定 （河北省競賽試題） 8．三進位制數(shù)201可用十進制數(shù)表示為；二進制數(shù)1011可用十進制法表示為．前者按3的冪降冪排列，后者按2的冪降冪排列，現(xiàn)有三進位制數(shù)，二進位制數(shù)，則與的大小關(guān)系為（ ）． A． B． C． D．不能確定 （重慶市競賽試題） 9．如果有理數(shù)滿足，則（ ） A． B． C． D． （“希望杯”邀請賽試題） 10．有1998個互不相等的有理數(shù)，每1997個的和都是分母為3998的既約真分數(shù)，則這個1998個有理數(shù)的和為（ ） A． B． C． D． （《學習報》公開賽試題） 11．觀測下列各式：， ， ．．． 回答下面的問題： （1）猜想＝______________．（直接寫出你的結(jié)果） （2）利用你得到的（1）中的結(jié)論，計算的值． （3）計算①的值； ②的值． 專題 06 有理數(shù)的計算 例1 28或-26 例2 D 提示 ：abcd=51（-1）（-5），a=-5，b=1，c=-1，d=-5. 例3 （1） 提示：==. （2） 提示：設(shè)s=，則7s= （3）原式=+ =1+1-=2-= 例4 （1）A= == 同理B= 由A-B=-==得 ∴m==13-，又∵m，n均為正整數(shù)，∴13+n為1313的因數(shù)，∴13+n= ∴n156，m=12. 例5 （1）原式=1-，（2） 例6 由題意知 ，即.又 ∴=2004500. 故8，，，…，的“理想數(shù)“為””==xx. A級 1.2 提示：原式==1+1=2. 2.2 提示：M-1+，解得 M=2. 3.（1）；（2）-8 4. 1 提示：設(shè)a=1997，由題意原式== 5.-13 6.B 7.B 提示：不妨設(shè)x>y>z. 8.B 9.D 10.A 11. 提示：設(shè)○內(nèi)從右到左填的數(shù)分別為，，，，則△內(nèi)填的數(shù)為. 要使△中填的數(shù)盡可能小，則，， 分別為2，9，3，7，而剩下的兩個為，. 12.1998 提示 ：時，m=4；時，n-4. B級 1.612.5 提示：倒敘相加. 2.6 提示： 3. 4.（1） （2） （3） 5.（1）略 （2）當n<3時，；當n≥3時， （3）> 001-0007 6. A 提示：先寫出前面一些數(shù)：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，…，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)每6個數(shù)為一次循環(huán)，又xx＝3346＋5.而每一組中1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＋2＝0，故這xx個數(shù)的和，等于最后五個數(shù)之和.為1＋（－1）＋（－2）＋（－1）＋1＝－2. 7. A 8. A 9. A 10 A 11.（1）π2（n＋1）2 （2）原式＝1002（100＋1）2＝25 502 500 （3）①原式＝100（100＋1）2－102（10＋1）2＝25 499 475; ②原式＝23（13＋23＋33＋…＋493＋503）＝23502（50＋1）2＝13 005 000.