七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題11 設(shè)元的技巧試題 （新版）新人教版.doc

11 設(shè)元的技巧 閱讀與思考 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一．應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，反映現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，通過解應(yīng)用題可以培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去分析和解決問題的能力． 列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個(gè)步驟．恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，常見的設(shè)元技巧有： 1．直接設(shè)元 題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個(gè)要求的量，而設(shè)其中的某一個(gè)量為未知數(shù)． 2．間接設(shè)元 即所沒的不是所求的，適當(dāng)?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)，則易找出符合題意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程． 3．輔助設(shè)元 有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設(shè)元． 4．整體設(shè)元 有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個(gè)整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個(gè)未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，這就是整體設(shè)元． 例題與求解 【例1】某編輯用0~9這10個(gè)數(shù)字給一本書的各頁標(biāo)上頁碼，若共寫了636個(gè)數(shù)字，則該書有____頁. 解題思路：依題意可知該書頁碼的數(shù)字組成有三種：一個(gè)數(shù)字、兩個(gè)數(shù)字、三個(gè)數(shù)字.一共有636個(gè)數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解． 找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵．尋找相等關(guān)系常用方法有： ①從關(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系； ②利用基本公式尋找相等關(guān)系； ③利用不變量尋找相等關(guān)系； ④對一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計(jì)算兩次），形成一種相等關(guān)系． 行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數(shù)字問題等是列方程解應(yīng)用題的基本類型，此外，還有趣味問題（如年齡、時(shí)鐘等）、經(jīng)濟(jì)問題（如銀行存款、銷售利潤等），盡管形式多變，但是解題實(shí)質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理清數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確列方程． 【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤＝出廠價(jià)一成本）是出廠價(jià)的25%，10月份將每件冬裝的出廠價(jià)調(diào)低10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比9月份增加80%，那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份的利潤總額增長( )。 A. 2% B．8% C. 40. 0% D．62% （江蘇省競賽試題） 解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價(jià)、銷售件數(shù)． 解決以實(shí)際生活為情景的應(yīng)用題時(shí)，需要具備一定的優(yōu)化意識和估算決策能力. 【例3】某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會(huì)，入場券分為團(tuán)體票和零售票，其中團(tuán)體票占總票數(shù)的，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，共售出團(tuán)體票數(shù)的；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如果在六月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出售，并計(jì)劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價(jià)才能使這兩個(gè)月的票款收入持平？ （北京市東城區(qū)中考試題） 解題思路：票款與票數(shù)、票價(jià)有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價(jià)，又要用字母表示總票數(shù)． 與商品利潤相關(guān)的基本知識： ①利潤率＝100%； ②利潤＝售出價(jià)一進(jìn)貨價(jià)； ③售出價(jià)＝利潤＋進(jìn)貨價(jià)＝進(jìn)貸價(jià)(1＋利潤率)． 【例4】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的，該市自來水收費(fèi)價(jià)格見價(jià)目表． 價(jià) 目 表 每月用水量 單 價(jià) 不超過6m3的部分 2元/m3 超過3m3不超出10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 注：水費(fèi)按月結(jié)算． 若某居民1月份用水8 m3，則應(yīng)收水費(fèi)26＋4(8－6) ＝20（元）． (1)若該戶居民2月份用水12. 5 m3，則應(yīng)收水費(fèi)______元． (2)若該戶居民3，4月份共用水15 m3（4月份用水量超過3月份），共交水費(fèi)44元，則該居民3，4月份各用水多少立方米？ （江蘇省揚(yáng)州市中考試題） 解題思路：第(1)問須分段計(jì)費(fèi)；第(2)問設(shè)3月份用水量為m3，則4月份用水量為m3，分兩種情況進(jìn)行討論． 【例5】A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人圍繞一個(gè)圓形軌道高速運(yùn)動(dòng)，它們順時(shí)針同時(shí)同地出發(fā)后，A在2秒鐘時(shí)追上B，2.5秒鐘時(shí)追上C，當(dāng)C追上B時(shí)，C和B的運(yùn)動(dòng)路程之比是3：2，問第1分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了多少圈？ （“華羅庚金杯”競賽試題） 解題思路：要充分運(yùn)用問題中的等量關(guān)系，需設(shè)出A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人的速度、圓形軌道長等多個(gè)未知數(shù)． 【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草. 設(shè)每頭牛每天吃草的量是相等的，問： (1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放牧幾頭牛？ （全國數(shù)學(xué)通訊賽試題） 解題思路：此題可采取設(shè)定多個(gè)間接未知數(shù)的解決方法. 能力訓(xùn)練 A 組 1．光明中學(xué)七年級一、二、三班，向希望學(xué)校共捐書385本，一班與二班捐書的本數(shù)之比為4：3，一班與三班捐書的本數(shù)之比為6：7，那么二班捐書______本． （北京市“迎春杯”競賽試題） 2．一個(gè)六位數(shù)的3倍等于，則這個(gè)六位數(shù)為________． （黑龍江省競賽試題） 3．某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價(jià)的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價(jià)的7.5折銷售，則虧損50元．該種商品每件的進(jìn)價(jià)為________元． （“希望杯”競賽試題） 4. 某出租汽車的車費(fèi)是這樣計(jì)算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達(dá)到4公里以后，每增加1公里加1. 60元；達(dá)到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里時(shí)按四舍五人計(jì)算．則乘坐15公里該種出租車應(yīng)交車費(fèi)____元．某乘客乘坐該種出租車交了車費(fèi)95.20元，則這個(gè)乘客乘該出租車行駛的路程為________公里．（精確到兩位小數(shù)） （“希望杯”邀請賽試題） 5．甲、乙兩種茶葉，以（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價(jià)格每千克50元，乙種茶葉的價(jià)格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價(jià)格上調(diào)了10%，乙種茶葉的價(jià)格下調(diào)了10%，但混合茶的價(jià)格不變，則等于( ). A． B． C． D. （北京市競賽試題） 6．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米．按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費(fèi)．已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0. 88元，那么，4月份這用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)( )． A．60元 B．66元 C．75元 D. 78元 （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 7．植樹節(jié)時(shí)，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由男同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹( )棵． A.9 B．10 C．12 D．14 （四川省競賽試題） 8．某服裝商販同時(shí)賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計(jì)算，其中一套盈利20%，另一套虧本20%，則這次出售中商販( )． A．不賺不賠 B．賺37.2元 C．賺14元 D．賠14元 9．從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分?jǐn)?shù)相同，求所切下的合金的重量是多少？ 10.陳老師為學(xué)校購買運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，單價(jià)分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元，”王老師算了一下，說：“你肯定弄錯(cuò)了．” (1)王老師為什么說他弄錯(cuò)了？試用方程的知識加以解釋； (2)陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一個(gè)筆記本，但筆記本的單價(jià)已模糊不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)是小于10的整數(shù)，筆記本的單價(jià)可能為多少元？ （四川省資陽市中考試題） B 級 1．一幢樓房內(nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A，B，C，D，E，F(xiàn)六種報(bào)紙，每戶至少訂了一種報(bào)紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2，2，4，3,5種報(bào)紙．而A，B，C，D，E五種報(bào)紙?jiān)谶@幢樓里分別有1，4，2，2，2家訂戶，那么吳姓住戶訂有____種報(bào)紙，報(bào)紙F(tuán)在這幢樓里有____家訂戶． （“祖沖之杯”邀請賽試題） 2．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價(jià)格是圓珠筆價(jià)格的2倍，付款時(shí)，發(fā)現(xiàn)所買兩種筆的數(shù)量是顛倒了，因此，比計(jì)劃支出增加了50%，則此人原計(jì)劃購買鋼筆與圓珠筆數(shù)量的比為_______ . （天津市競賽試題） 3．為使某項(xiàng)工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要_______天． （“希望杯”邀請賽試題） 4．右邊算式中，每個(gè)漢字代表1個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”－o，那么被乘數(shù)是________________. 5．一艘輪船從A港到B港順?biāo)叫?，?小時(shí)，從B港到A港逆水需8小時(shí)，若在靜水條件下，從A港到B港需( )小時(shí)． A．7 B． C． D． （五城市聯(lián)賽試題） 6．某商品連續(xù)兩次提價(jià)10%，又提價(jià)5%，要恢復(fù)原價(jià)，至少應(yīng)降價(jià)%（為整數(shù)），則＝( )． A．20 B．21 C．22 D. 23 7．如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個(gè)正方形的邊長為1，那么這個(gè)長方形色塊圖的面積為多少？ （山東省濟(jì)南市中考試題） 8．自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3 000km就要報(bào)廢，安裝在前輪上，則行駛5 000km才報(bào)廢．為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報(bào)廢，在自行車行駛一定路程后，就將前后輪調(diào)整，這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？ （《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題） 9．山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時(shí)間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內(nèi)流淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機(jī)，1小時(shí)后正好能把池塘中的水抽憲，若用兩臺A型抽水機(jī)20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺A型抽水機(jī)同時(shí)抽水，則需要多長時(shí)間恰好把池塘中的水抽完？ （江蘇省競賽試題） 專題11 設(shè)元的技巧 例1 248提示:設(shè)該書有x頁，則可列方程，解得x=248頁. 例2 B提示:設(shè)9月份每件冬裝的出廠價(jià)為x元，9月份銷售冬裝m件，則 . 例3設(shè)總票數(shù)為a張，六月份零售票應(yīng)按每張x元定價(jià)， 則，解得x=19.2元. 例4 (1)應(yīng)收水費(fèi)元. (2)設(shè)三月份用水量為，則四月份用水量為(15-x) m3.若x6,15-x10時(shí)，則，解得，x=2(舍去);若x6,15-x>10時(shí)，則，解得x =4; 若x>6，由題意知x<10，則15一x <10,則，無解. 所以三月份用水4，四月份用水11.例5 42圈 提示：設(shè)A，B，C三個(gè)微型機(jī)器人的速度分別為u，v和w，圓形軌道周長是S，則＝2,＝2.5,即＝u－v,＝u－w.∴w－v＝－＝…..①. 又有＝……②．解①和②，得v＝……③，代入＝u－v中，得u＝,60＝42S． 故第一分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了42圈． 例6 (1)設(shè)牧場原有草量為a，每天生長出的草量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛x天吃完草，由題意得： ． ②一①得b＝12c ④， ③一②得(x－8)b＝（16x－168）c ⑤， 將④代人⑤得（x一8）?12c＝(16x－168)c，解得x＝18. (2)設(shè)至多放牧y頭牛，牧草才永遠(yuǎn)吃不完，則有cy≤b，即每天吃的草不能多于生長的草，y≤＝12． A級 1. 99 2. 142 857 提示：設(shè)＝x，則3(100 000＋x) ＝l0x＋1，解得x＝42 857．故這個(gè)六位數(shù)為142 857. 3. 800 提示：設(shè)該商品的原定價(jià)為x元，由題意有：x－150＝x＋50，解得x＝1000. 故該商品每件的進(jìn)價(jià)為1000＋50＝800元． 4. 30. 40 43 提示：(1)注意，到15千米時(shí)剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)設(shè)所行路程為x公里，則2.40(x－15)＋28.00＝ 95.20. 5．C 6．B 7．B 提示：設(shè)分別有男、女同學(xué)x，y人，則15y＝6(x＋y)，x＝y(tǒng)．則男同學(xué)完成每人應(yīng)植樹6(x＋y)x＝10棵． 8. D 9．設(shè)所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分?jǐn)?shù)分別為a，b(a≠b)，＝，解得x＝2.4． 10．(1)設(shè)單價(jià)為8元的課外書為x本，由8x＋12(105－x)＝1500－418，解得x＝44.5（不合題意），所以陳老師肯定弄錯(cuò)了． (2)設(shè)單價(jià)為8元的課外書為y本，筆記本的單價(jià)為a元，則8y＋(105－y)12＝1500－418－a,即178＋a＝4y，178＋a應(yīng)被4整除，a＝2，4，6，8，經(jīng)討論a＝2或6． B級 1. 1 6 提示：設(shè)吳姓住戶訂有x種報(bào)紙，報(bào)紙F(tuán)在這幢樓里有y家訂戶，其中x，y為x≥1，y≤6的整數(shù)，由題意得2＋2＋4＋3＋5＋x＝1＋4＋2＋2＋2＋y，解得x＝1，y＝6． 2. 1：4提示：設(shè)原計(jì)劃賄買鋼筆x支，圓珠筆y支，圓珠筆的價(jià)格為k元，由題意得（2kx＋ky）(1＋50%)＝2ky＋kx，解得y＝ 4x.. 3. 100 4. 307 692 提示：設(shè)“神舟十號”＝A，“飛天”＝B，則3(100A＋B)＝10000B＋A，得23A＝ 769B．又(23，769)＝1，故B＝23n，A＝769n，n為自然數(shù)且2≤n≤4．經(jīng)討論n＝4可行，從而A＝3076，B＝92． 5．C 提示：設(shè)A港到B港路程為S，靜水速度和水流速度 分別為V船，V水．則 ＝6……①，＝8……②，則6(V船＋V水)＝8（V船―V水），得V船＝7V水．把V水＝V船代入①中得＝6，故＝6. 6．C 7. 143 提示：設(shè)C，D的邊長為x，則E，F(xiàn)，B的邊長分別為x＋1，x＋2，2x－1，由題意得(x＋1)＋(x＋2)＝x＋（2x－1），解得x＝4．也可用x＋3表示出B的邊長，則x＋3＝2x－1，更易求得x＝4. 8．設(shè)自行車行駛了x km后，互換前、后輪胎再行駛，致使兩只輪胎同時(shí)報(bào)廢，因此，前輪胎還可行駛(5000－x)km．后輪胎還可行駛(3 000－x)km.當(dāng)前后輪胎互換后，還可行駛，并有(5000－x)＝(3000－x)．解此方程，有（一）x＝2000，解得x＝1875．這就是說，當(dāng)自行車行駛了1875km后，互換前后輪胎，這樣還可行駛（5000－1875）＝1875 km．故最多可行駛3750 km. 9．設(shè)流水的速度為x米3／分，池塘原有水y米3，每臺A型抽水機(jī)抽水效率為z米3／分，三臺A型抽水機(jī)需t分鐘把池塘中水抽完，由題意得 ． ②一①,得z－＝2－x…..④ ③一②,得(20－t)x＝(40－3t)z……⑤， ④代入⑤得t＝12分鐘．