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七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題02 數(shù)的整除性試題 (新版)新人教版.doc

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七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題02 數(shù)的整除性試題 (新版)新人教版.doc

02 數(shù)的整除性 閱讀與思考 設(shè),是整數(shù),≠0,如果一個整數(shù)使得等式=成立,那么稱能被整除,或稱整除,記作|,又稱為的約數(shù), 而稱為的倍數(shù).解與整數(shù)的整除相關(guān)問題常用到以下知識: 1.?dāng)?shù)的整除性常見特征: ①若整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù),則2|; ②若整數(shù)的個位數(shù)是0或5,則5|; ③若整數(shù)的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù),則3|(或9|); ④若整數(shù)的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù),則4|(或25|); ⑤若整數(shù)的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù),則8|(或125|); ⑥若整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù),則11|. 2.整除的基本性質(zhì) 設(shè),,都是整數(shù),有: ①若|,|,則|; ②若|,|,則|(); ③若|,|,則[,]|; ④若|,|,且與互質(zhì),則|; ⑤若|,且與互質(zhì),則|.特別地,若質(zhì)數(shù)|,則必有|或|. 例題與求解 【例1】在1,2,3,…,2 000這2 000個自然數(shù)中,有_______個自然數(shù)能同時被2和3整除,而且不能被5整除. (“五羊杯”競賽試題) 解題思想:自然數(shù)能同時被2和3整除,則能被6整除,從中剔除能被5整除的數(shù),即為所求. 【例2】已知,是正整數(shù)(>),對于以下兩個結(jié)論: ①在+,,-這三個數(shù)中必有2的倍數(shù); ②在+,,-這三個數(shù)中必有3的倍數(shù).其中 ( ) A.只有①正確 B.只有②正確 C.①,②都正確 D.①,②都不正確 (江蘇省競賽試題) 解題思想:舉例驗(yàn)證,或按剩余類深入討論證明. 【例3】已知整數(shù)能被198整除,求,的值. (江蘇省競賽試題) 解題思想:198=2911,整數(shù)能被9,11整除,運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立,的等式,求出,的值. 【例4】已知,,都是整數(shù),當(dāng)代數(shù)式7+2+3的值能被13整除時,那么代數(shù)式5+7-22的值是否一定能被13整除,為什么? (“華羅庚金杯”邀請賽試題) 解題思想:先把5+7-22構(gòu)造成均能被13整除的兩個代數(shù)式的和,再進(jìn)行判斷. 【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)左側(cè),所得到的新數(shù)可被7整除,那么稱M為的“魔術(shù)數(shù)”(例如:把86放在415左側(cè),得到86 415能被7整除,所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)),求正整數(shù)的最小值,使得存在互不相同的正整數(shù),,…,,滿足對任意一個正整數(shù),在,,…,中都至少有一個為的“魔術(shù)數(shù)”. (xx年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題) 解題思想:不妨設(shè)(=1,2,3,…,;=0,1,2,3,4,5,6)至少有一個為的“魔術(shù)數(shù)”.根據(jù)題中條件,利用(是的位數(shù))被7除所得余數(shù),分析的取值. 【例6】一只青蛙,位于數(shù)軸上的點(diǎn),跳動一次后到達(dá),已知,滿足|-|=1,我們把青蛙從開始,經(jīng)-1次跳動的位置依次記作:,,,…,. ⑴ 寫出一個,使其,且++++>0; ⑵ 若=13,=2 012,求的值; ⑶ 對于整數(shù)(≥2),如果存在一個能同時滿足如下兩個條件:①=0;②+++…+=0.求整數(shù)(≥2)被4除的余數(shù),并說理理由. (xx年“創(chuàng)新杯”邀請賽試題) 解題思想:⑴.即從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過4次跳動后回到原點(diǎn),這就只能兩次向右,兩次向左.為保證++++>0.只需將“向右”安排在前即可. ⑵若=13,=2 012,從經(jīng)過1 999步到.不妨設(shè)向右跳了步,向左跳了步,則,解得可見,它一直向右跳,沒有向左跳. ⑶設(shè)同時滿足兩個條件:①=0;②+++…+=0.由于=0,故從原點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(-1)步到達(dá),假定這(-1)步中,向右跳了步,向左跳了步,于是=-,+=-1,則+++…+=0+()+()+…()=2(++…+)-[()+()+…+()]=2(++…+)-.由于+++…+=0,所以(-1)=4(++…+).即4|(-1). 能力訓(xùn)練 A級 1.某班學(xué)生不到50人,在一次測驗(yàn)中,有的學(xué)生得優(yōu),的學(xué)生得良,的學(xué)生得及格,則有________人不及格. 2.從1到10 000這1萬個自然數(shù)中,有_______個數(shù)能被5或能被7整除. (上海市競賽試題) 3.一個五位數(shù)能被11與9整除,這個五位數(shù)是________. 4.在小于1 997的自然數(shù)中,是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是( ) A.532 B.665 C.133 D.798 5.能整除任意三個連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 (江蘇省競賽試題) 6.用數(shù)字1,2,3,4,5,6組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,是9的倍數(shù)的數(shù)有( ) A.12個 B.18個 C.20個 D.30個 (“希望杯”邀請賽試題) 7.五位數(shù)是9的倍數(shù),其中是4的倍數(shù),那么的最小值為多少? (黃岡市競賽試題) 8.1,2,3,4,5,6每個使用一次組成一個六位數(shù)字,使得三位數(shù),,,能依次被4,5,3,11整除,求這個六位數(shù). (上海市競賽試題) 9.173□是個四位數(shù)字,數(shù)學(xué)老師說:“我在這個□中先后填入3個數(shù)字,所得到的3個四位數(shù),依次可被9,11,6整除.”問:數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個數(shù)字的和是多少? (“華羅庚金杯”邀請賽試題) B級 1.若一個正整數(shù)被2,3,…,9這八個自然數(shù)除,所得的余數(shù)都為1,則的最小值為_________,的一般表達(dá)式為____________. (“希望杯”邀請賽試題) 2.已知,都是正整數(shù),若1≤≤≤30,且能被21整除,則滿足條件的數(shù)對(,)共有___________個. (天津市競賽試題) 3.一個六位數(shù)能被33整除,這樣的六位數(shù)中最大是__________. 4.有以下兩個數(shù)串同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有( )個. A.333 B.334 C.335 D.336 5.一個六位數(shù)能被12整除,這樣的六位數(shù)共有( )個. A.4 B.6 C.8 D.12 6.若1 059,1 417,2 312分別被自然數(shù)除時,所得的余數(shù)都是,則-的值為( ). A.15 B.1 C.164 D.174 7.有一種室內(nèi)游戲,魔術(shù)師要求某參賽者相好一個三位數(shù),然后,魔術(shù)師再要求他記下五個數(shù):,,, ,,并把這五個數(shù)加起來求出和N.只要講出的大小,魔術(shù)師就能說出原數(shù)是什么.如果N=3 194,請你確定. (美國數(shù)學(xué)邀請賽試題) 8.一個正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等,如果將N的各位數(shù)字重新排列,必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù),若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N,則稱N為“拷貝數(shù)”,試求所有的三位“拷貝數(shù)”. (武漢市競賽試題) 9.一個六位數(shù),如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置,則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6倍,求這個三位數(shù). (“五羊杯”競賽試題) 10.一個四位數(shù),這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1 999,求這個四位數(shù),并說明理由. (重慶市競賽試題) 11.從1,2,…,9中任取個數(shù),其中一定可以找到若干個數(shù)(至少一個,也可以是全部),它們的和能被10整除,求的最小值. (xx年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題) 專題02 數(shù)的整除性 例1 267 提示:333-66=267. 例2 C 提示:關(guān)于②的證明:對于a,b若至少有一個是3的倍數(shù),則ab是3的倍數(shù).若a,b都不是3的倍數(shù),則有:(1)當(dāng)a=3m+1,b=3n+1時,a-b=3(m-n);(2)當(dāng)a=3m+1,b=3n+2時,a+b=3(m+n+1);(3)當(dāng)a=3m+2,b=3n+1時,a+b=3(m+n+1);(4)當(dāng)a=3m+2,b=3n+2時,a-b=3(m-n). 例3 a=8.b=0提示:由9|(19+a+b)得a+b=8或17;由11|(3+a-b)得a-b=8或-3. 例4 設(shè)x,y,z,t是整數(shù),并且假設(shè)5a+7b-22c=x(7a+2b+3c) +13(ya+zb+tc).比較上式a,b,c的系數(shù),應(yīng)當(dāng)有,取x=-3,可以得到y(tǒng)=2,z=1,t=-1, 則有13 (2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c.既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除,則5a+7b-22c就能被13整除. 例5 考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù),又a1,a2,…,an互不相等,不妨設(shè)a1 <a2<…<an,余數(shù)必為1,2,3,4,5,6,0,設(shè)ai=ki+t(i=1,2,3,…,n;t=0,1,2,3,4,5,6),至少有一個為m的“魔術(shù)數(shù)”,因?yàn)閍i10k+m(k是m的位數(shù)),是7的倍數(shù),當(dāng)i≤b時,而ait除以7的余數(shù)都是0,1,2,3,4,5,6中的6個;當(dāng)i=7時,而ai10k除以7的余數(shù)都是0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn),當(dāng)i=7時,依抽屜原理,ai10k與m二者余數(shù)的和至少有一個是7,此時ai10k+m被7整除,即n=7. 例6 (1)A5:0,1,2,1,0.(或A5:0,1,0,1,0) (2)a1000=13+999=1 012. (3)n被4除余數(shù)為0或1. A級 1.1 2.3 143 3.39 798 4.A 5.C 6.B 7.五位數(shù)=10+e.又∵為4的倍數(shù).故最值為1 000,又因?yàn)闉?的倍數(shù).故1+0+0+0+e能被9整除,所以e只能取8.因此最小值為 10 008. 8.324 561提示:d+f-e是11的倍數(shù),但6≤d+f≤5+6=11,1≤e≤6,故0≤d+f-e≤10,因此d+f-e=0,即5+f=e,又e≤d,f≥1,故f=l,e=6, 9.19 提示:1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后兩個數(shù)為8,4. B級 1.2 521 a=2 520n+1(n∈N+) 2.57 3.719 895提示:這個數(shù)能被33整除,故也能被3整除.于是,各位數(shù)字之和(x+1+9+8+9+y)也能被3整除,故x+y能被3整除. 4.B 5.B 6.A提示:兩兩差能被n整除,n=179,m=164. 7.由題意得++++=3 194,兩邊加上.得222(a+b+c)=3194+ ∴222(a+b+c) =22214+86+.則+86是222的倍數(shù). 且a+b+c>14.設(shè)+86=222n考慮到是三位數(shù),依次取n=1,2,3,4.分別得出的可能值為136,358,580,802,又因?yàn)閍+b+c>14.故=358. 8.設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”,它的各位數(shù)字分別為a,b,c(a,b,c不全相等).將其數(shù)碼重新排列后,設(shè)其中最大數(shù)為,則最小數(shù)為.故N= -=(100a+10b+c)- (100c+10b+a)=99(a-c). 可知N為99的倍數(shù).這樣的三位數(shù)可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而這9個數(shù)中,只有954- 459=495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”. 9.設(shè)原六位數(shù)為,則6=,即6(1000+)=1000+,所以994-5 999,即142=857, ∵(142,857)=1,∴ 142|,857|,而,為三位數(shù),∴=142,=857,故=142857. 10.設(shè)這個數(shù)為,則1 000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1 999,即1 001a+101b+11c+2d=1 999,得a=1,進(jìn)而101b+11c+2d=998,101b≥998-117-881,有b=9,則11c+2d=89,而0≤2d≤18,71≤11c≤89,推得c=7,d=6,故這個四位數(shù)是1 976. 11.當(dāng)n=4時,數(shù)1,3,5,8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除.當(dāng)n=5時,設(shè)a1a2,…,a5是1,2,…,9中的5個不同的數(shù),若其中任意若干個數(shù),它們的和都不能被10整除,則中不可能同時出現(xiàn)1和9,2和8,3和7,4和6,于是中必定有一個為5,若中含1,則不含9,于是,不含,故含6;不含,故含7;不含,故含8;但是5+7+8=20是10的倍數(shù), 矛盾. 若中含9, 則不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍數(shù), 矛盾. 綜上所述,n的最小值為5

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