九年級數(shù)學(xué) 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案.doc
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九年級數(shù)學(xué) 第3講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題教案.doc
二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題
知識點(diǎn)
二次函數(shù)綜合;勾股定理;相似三角形的性質(zhì);
教學(xué)目標(biāo)
1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識解決二次函數(shù)綜合問題
2.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想
教學(xué)重點(diǎn)
巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題;
教學(xué)難點(diǎn)
靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題;
知識講解
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識
1.一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)且a≠0),那么y叫做x的二次函數(shù),它是關(guān)于自變量的二次式,二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù),這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù).當(dāng)b=c=0時(shí),二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù).
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的三種表達(dá)形式分別為:一般式:y=ax2+bx+c,通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式;頂點(diǎn)式:y=a(x-h(huán))2+k,通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式;交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1,x2才能求出此解析式;對于y=ax2+bx+c而言,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).對于y=a(x-h(huán))2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),由于二次函數(shù)的圖像為拋物線,因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素:開口方向,對稱軸,頂點(diǎn).
考點(diǎn)2 勾股定理及逆定理
1.定理:直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方。(即:a2+b2=c2)
2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一,其主要應(yīng)用有:
(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊
(2)已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊
(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題
3.逆定理:如果三角形的三邊長:a,b,c,則有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意:
(1)首先確定最大邊,不妨設(shè)最長邊為c。
(2)驗(yàn)證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系,若a2+b2=c2,則△ABC是以∠C為直角的直角三角形。
考點(diǎn)3 探究直角三角形的一般思路
探究直角三角形的存在性問題時(shí),具體方法如下:
(1)先假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性,分情況討論;
(2)找點(diǎn):當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí),需分情況討論,具體方法如下:
①當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時(shí),分別以定長的某一端點(diǎn)作定長的垂線,與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí),此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn);
②當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時(shí),以此定長為直徑作圓,圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí),此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn);
(3)計(jì)算:把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來,從而表示出三角形的各個(gè)邊(表示線段時(shí),注意代數(shù)式的符號)。再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式,或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算,或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)。例題精析
例1 如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn),CE的垂直平分線交CE于
點(diǎn)F,交拋物線于P、Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在第三象限.
①當(dāng)線段時(shí),求tan∠CED的值;
②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),請
直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
例2如圖,直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0).
(1)試說明△ABC是等腰三角形;
(2)動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長度.當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),他們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),△MON的面積為S.
① 求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
② 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在S=4的情形?
若存在,求出對應(yīng)的t值;若不存在請說明理由;
③在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)△MON為直角三角形時(shí),求t的值.
例3如圖,矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與AB邊交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時(shí),S取得最大值;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
例4如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),并且OA=OC=4OB,動(dòng)點(diǎn)P在過A,B,C三點(diǎn)的拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作y軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
課程小結(jié)
有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行復(fù)習(xí),有助于為研究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題時(shí),抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出直角三角形,并能運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決問題,掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。
例1【規(guī)范解答】
(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,代入點(diǎn)C(0,-3),得.所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
(2)由,知A(-1,0),B(3,0).設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為,代入點(diǎn)B(3,0)和點(diǎn)C(0,-3),得 解得,.所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為.
(3)①因?yàn)锳B=4,所以.因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x=1對稱,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)F的坐標(biāo)為.所以,.
進(jìn)而得到,點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
直線BC:與拋物線的對稱軸x=1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).
過點(diǎn)D作DH⊥y軸,垂足為H.
在Rt△EDH中,DH=1,,所以tan∠CED.
②,.
【總結(jié)與反思】
1.第(1)、(2)題用待定系數(shù)法求解析式,它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題.
2.第(3)題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo),反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合,注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號與線段長的關(guān)系.
3.根據(jù)C、D的坐標(biāo),可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡單了.
例2【規(guī)范解答】(1)直線與x軸的交點(diǎn)為B(3,0)、與y軸的交點(diǎn)C(0,4).Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0),所以BA=5.因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.
(2)①如圖2,圖3,過點(diǎn)N作NH⊥AB,垂足為H.在Rt△BNH中,BN=t,,所以.
如圖2,當(dāng)M在AO上時(shí),OM=2-t,此時(shí).此時(shí)0<t≤2.
如圖3,當(dāng)M在OB上時(shí),OM=t-2,此時(shí).此時(shí)2<t≤5.
圖2 圖3
②把S=4代入,得.解得,(舍去負(fù)值).因此,當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),存在S=4的情形,此時(shí).
③如圖4,當(dāng)∠OMN=90時(shí),在Rt△BNM中,BN=t,BM ,,所以.解得.
如圖5,當(dāng)∠MON=90時(shí),N與C重合,.不存在∠ONM=90的可能.
所以,當(dāng)或者時(shí),△MON為直角三角形.
圖4 圖5
【總結(jié)與反思】1.第(1)題說明△ABC是等腰三角形,暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).
2.不論M在AO上還是在OB上,用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的,用含t的式子表示OM要分類討論.
3.將S=4代入對應(yīng)的函數(shù)解析式,解關(guān)于t的方程.
4.分類討論△MON為直角三角形,不存在∠ONM=90的可能.
例3【規(guī)范解答】(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線 c=8,,
解得 b=, c=8 ,∴拋物線的解析式為
(2)①∵OA=8,OC=6∴過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn),則
∴∴∴
∴當(dāng)m=5時(shí),S取最大值;
②在拋物線對稱軸l上存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,∵拋物線的解析式為的對稱軸為,
D的坐標(biāo)為(3,8),Q(3,4),
當(dāng)∠FDQ=90時(shí),F(xiàn)1( ,8),當(dāng)∠FQD=90時(shí),則F2( ,4),
當(dāng)∠DFQ=90時(shí),設(shè)F(,n),則FD2+FQ2=DQ2,即,解得:,
∴F3( ,),F(xiàn)4(,),
滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè),坐標(biāo)分別為
F1( ,8),F(xiàn)2(,4),F(xiàn)3(,),F(xiàn)4(,).
【總結(jié)與反思】
1. 將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可求得拋物線的解析式;
2. ①先用m 表示出QE的長度,進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù),化簡為頂點(diǎn)式,便可求出S的最大值;
②直接寫出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可,注意不要漏寫.
例4【規(guī)范解答】解:(1)由A(4,0),可知OA=4,∵OA=OC=4OB,∴OA=OC=4,OB=1,
∴C(0,4),B(﹣1,0).設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,則,解得:,
則拋物線的解析式是:y=﹣x2+3x+4;
(2)存在.第一種情況,當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)C作CP1⊥AC,交拋物線于點(diǎn)P1.過點(diǎn)P1作y軸的垂線,垂足是M.∵∠ACP1=90,∴∠MCP1+∠ACO=90.∵∠ACO+∠OAC=90,∴∠MCP1=∠OAC.
∵OA=OC,∴∠MCP1=∠OAC=45,∴∠MCP1=∠MP1C,∴MC=MP1,
設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),則m=﹣m2+3m+4﹣4,解得:m1=0(舍去),m2=2.
∴﹣m2+3m+4=6,即P(2,6).
第二種情況,當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),過A作AP2,AC交拋物線于點(diǎn)P2,過點(diǎn)P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點(diǎn)F.∴P2N∥x軸,由∠CAO=45,∴∠OAP=45,∴∠FP2N=45,AO=OF.∴P2N=NF,
設(shè)P2(n,﹣n2+3n+4),則n=(﹣n2+3n+4)﹣1,解得:n1=﹣2,n2=4(舍去),∴﹣n2+3n+4=﹣6,
則P2的坐標(biāo)是(﹣2,﹣6).
綜上所述,P的坐標(biāo)是(2,6)或(﹣2,﹣6);
(3)連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短.由(1)可知,在直角△AOC中,OC=OA=4,則AC==4,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),D是AC的中點(diǎn).又∵DF∥OC,∴DF=OC=2,∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2.則﹣x2+3x+1=2,解得:x=,
∴當(dāng)EF最短時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,0)或(,0).
【總結(jié)與反思】
(1)根據(jù)A的坐標(biāo),即可求得OA的長,則B、C的坐標(biāo)即可求得,然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),和C的直角頂點(diǎn)兩種情況討論,根據(jù)OA=OC,即可列方程求解;
(3)據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時(shí),OD最短,即EF最短,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),D是AC的中點(diǎn),則DF=OC,即可求得P的縱坐標(biāo),代入二次函數(shù)的解析式,即可求得橫坐標(biāo),得到P的坐標(biāo).