56.三角形中的三角恒等式

高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話:13965261699)數(shù)學(xué)叢書(shū),給您一個(gè)智慧的人生！ 高考數(shù)學(xué)母題 [母題]Ⅱ(一-56):三角形中的三角恒等式(756) 0125 三角形中的三角恒等式 [母題]Ⅱ(Ⅰ-56):(1992年全國(guó)高考試題)求sin2200+cos2800+sin200cos800的值. [解析]:在△ABC中,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由余弦定理得a2+b2-2abcosC=c2(2RsinA)2+ (2RsinB)3-2(2RsinA)(2RsinB)cosC=(2RsinC)2sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A(yù)=200,B=100C=1500sin2200+ sin2100-2sin200sin100cos1500=sin21500sin2200+cos2800+sin200cos800=. [點(diǎn)評(píng)]:在△ABC中,常用的恒等式有:①tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;tantan+tantan+tantan=1;②sinA+sinB+sinC=4coscoscos,cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;③sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC, cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;④sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC,cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;⑤sin2+sin2+sin2=1-2sinsinsin,cos2+cos2+cos2=2+2sinsinsin;⑥sin2A+sin2B-2sinA sinBcosC=sin2C,cos2A+cos2B+2sinAsinBcosC=1+cos2C. [子題](1):(2002年北京春招試題)在DABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,求tan+tantan+tan的值. [解析]:由A、B、C成等差數(shù)列B=tan=;又由tan=tan(-)=cot(+)tantan(+) =1tan(tan+tan)=1-tantantantan+tantan+tantan=1(tan+tan)+tantan=1tan+tantan+tan=. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之一是:對(duì)內(nèi)角賦值,使恒等式的一邊為常數(shù),要求另一邊三角函數(shù)式的值. [子題](2):(2011年“華約”自主招生試題)A、B、C為△ABC的內(nèi)角,且△ABC不為直角三角形. (Ⅰ)求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (Ⅱ)當(dāng)tanC-1=,且sin2A,sin2B,sin2C的倒數(shù)成等差數(shù)列時(shí),求cos的值. [解析]:(Ⅰ)由A+B+C=πtan(A+B)=tan(π-C)=-tanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (Ⅱ)由tanC-1=tanA+tanB+tanC=tanAtanCtanAtanBtanC=tanAtanCtanB=B=;又由+==2sin(A+C)cos(A-C)=-2[cos(2A+2C)-cos(2A-2C)]3cos(A-C)= -2[--cos(2A-2C)]4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0cos(A-C)=1,-cos==1,. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之二是由三角恒等式隱藏某個(gè)角的值,連同其它條件一起,解三角形. [子題](3):(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)已知△ABC的周長(zhǎng)為1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB. 0126 [母題]Ⅱ(一-56):三角形中的三角恒等式(756) (Ⅰ)證明:△ABC是直角三角形;(Ⅱ)求△ABC面積的最大值. [解析]:(Ⅰ)由sin2A+sin2B=4sinAsinBsinAcosA+sinBcosB=2sinAsinBsinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)=0 sinA[sin(900-A)-sinB]+sinB[sin(900-B)-sinA]=0sinA[2cossin]+sinB[2cos sin]=02sin[sinAcos(450-)+sinBcos(450+)]=0.而sinAcos(450-)+sinB cos(450+)=[cos(sinA+sinB)+sin(sinA-sinB)]>0(cos>0,sinA+sinB>0,sin與sinA -sinB同號(hào)).所以,sin=0△ABC是直角三角形; (Ⅱ)因a+b+c=1a+b+=11≥2+≤ab≤,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=,c =時(shí)成立△ABC面積的最大值. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之三是由三角恒等式隱藏某個(gè)角的值,要求該角;如本題源自于△ABC中的恒等式:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. [子題系列]: 1.(1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)cos2100+cos2500-sin400sin800= . 2.(1995年全國(guó)高考試題)求sin2200+cos2500+sin200cos500的值. 3.(2007年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明:△ABC為直角三角形的充要條件是:sin2A+sin2B+sin2C=2. (b2-c2-a2)(b2-c2+a2)=0cosBcosC=0△ABC為直角三角形. 4.(2007年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為α、β、γ,且滿足條件cos2α+cos2β+cos2γ=1.試證明:△ABC為直角三角形. [子題詳解]: 1.解:在sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A(yù)=800,B=400C=600sin2800+sin2400-2sin800sin400cos600=sin2600 cos2100+cos2500-sin400sin800=. 2.解:在sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A(yù)=200,B=400C=1200sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200 sin2200+cos2500+sin200cos500=. 3.解:由sin2A+sin2B+sin2C=2a2+b2+c2=8R2()2=sin2A=cos2A=cos2A= .①若cosA=0,則△ABC為直角三角形;②若cosA≠0,則cosA== 4.解:(法一)由cos2α+cos2β+cos2γ=1cos2α+cos2β-sin2γ=0cos2α+cos2β-sin2(α+β)=0cos2α+cos2β-(sinαcosβ+cosαsinβ)2=0cos2α+cos2β-sin2αcos2β-2sinαcosβcosαsinβ-cos2αsin2β=0cos2β(1-sin2α)+cos2α(1-sin2β)-2sinαcosβcosαsinβ=02cos2αcos2β-2sinαcosβcosαsinβ=02cosαcosβ(cosαcosβ-sinαsinβ)=0cosαcosβcosγ=0△ABC為直角三角形; (法二)由cos2α+cos2β+cos2γ=1(1+cos2α)+(1+cos2β)+(1+cos2γ)=2cos2α+cos2β+cos2γ+1=0cos2α+cos2β+cos[2(α+β)]+1=02cos(α+β)cos(α-β)+2cos2(α+β)=02cos(α+β)[cos(α-β)+cos(α+β)]=0 cosαcosβcosγ=0△ABC為直角三角形.