高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修23

第二章　學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 時(shí)間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的) 1．設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值為(　D　) A．3　　　 B．4　　　 C．9　　　 D．10 [解析]　∵P(ξ<4)＝＝0.3，∴n＝10． 2．(2017浙江理，8)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，(i＝1,2.)若0<p1<p2<，則(　A　) A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) [解析]　由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點(diǎn)分布， ∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)． 又∵0<p1<p2<，∴E(ξ1)<E(ξ2)． 把方差看作函數(shù)y＝x(1－x)， 根據(jù)0<ξ1<ξ2<知，D (ξ1)<D(ξ2)．故選A． 3．(2018全國卷Ⅱ理，8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　C　) A． B． C． D． [解析]　不超過30的所有素?cái)?shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有C＝45種情況，而和為30的有7＋23,11＋19,13＋17這3種情況， ∴ 所求概率為＝． 故選C． 4．(2018天水高二檢測)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一個(gè)必要不充分條件是(　B　) A．a(chǎn)＝1或2 B．a(chǎn)＝1或2 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝ [解析]　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)， ∴(1－3a)＋(a2＋7)＝23，∴a＝1或2.故選B． 5．如果隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，則p等于(　A　) A． B． C． D． [解析]　如果隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，則Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)， 又E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，∴np＝7，np(1－p)＝6，∴p＝． 6．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是的事件為(　C　) A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的 [解析]　X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(X＝k)＝(k＝1、2、3、4)． ∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，∴選C． 7．將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入A袋中的概率為(　D　) A． B． C． D． [解析]　小球落入B袋中的概率為P1＝()2＝，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝． 8．(2018二模擬)袋中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)白球，甲、乙按先后次序無放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的條件下，乙摸到白球的概率是(　B　) A． B． C． D． [解析]　甲摸到白球后，袋中還有4個(gè)紅球，2個(gè)白球， 故而在甲摸到了白球的條件下，乙摸到白球的概率為＝， 故選B． 9．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是(　A　) A．7.8 B．8 C．16 D．15.6 [解析]　X的取值為6、9、12，P(X＝6)＝＝， P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝． E(X)＝6＋9＋12＝7.8． 10．(2018淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機(jī)變量X，且X～N(800,502)．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0，則p0的值為(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974)(　A　) A．0.9772 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9544 [解析]　∵X～N(800,502)． ∴P(700≤X≤900)＝0.9544， ∴P(X＞900)＝＝0.0228， ∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772． 故選A． 11．某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c(a、b、c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為(　C　) A． B． C． D． [解析]　由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝(3a)b≤2＝，等號在3a＝b＝，即a＝，b＝時(shí)成立． 12．一個(gè)盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為(　A　) A． B． C． D． [解析]　由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機(jī)變量ξ可取1,2,3,4． P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝． 所以ξ的分布列為： ξ 1 2 3 4 P E(ξ)＝1＋2＋3＋4＝． 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．(2018泉州高二檢測)袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號．若η＝aξ－2，E(η)＝1，則D(η)的值為__11__． [解析]　根據(jù)題意得出隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝， ∵η＝aξ－2，E(η)＝1， ∴1＝a－2，即a＝2， ∴η＝2ξ－2，E(η)＝1， D(ξ)＝(0－)2＋(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2＝， ∵D(η)＝4D(ξ)＝4＝11． 故答案為11． 14．一盒子中裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣．設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，則P(B|A)＝____． [解析]　由條件知，P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝． 15．在一次商業(yè)活動(dòng)中，某人獲利300元的概率為0.6，虧損100元的概率為0.4，此人在這樣的一次商業(yè)活動(dòng)中獲利的均值是__140__元． [解析]　設(shè)此人獲利為隨機(jī)變量X，則X的取值是300，－100，其概率分布列為： X 300 －100 P 0.6 0.4 所以E(X)＝3000.6＋(－100)0.4＝140． 16．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是__②④__(寫出所有正確結(jié)論的序號)． ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨(dú)立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)． [解析]　從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1、A2、A3中任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A1、A2、A3兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②對③錯(cuò)；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝＋＋＝，故①⑤錯(cuò)誤．綜上知，正確結(jié)論的序號為②④． 三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué)． (1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率； (3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和E(ξ)的值． [解析]　(1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝＝， 即甲、乙兩人同時(shí)分到A社區(qū)的概率是． (2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么 P(E)＝＝， 所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是 P()＝1－P(E)＝． (3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)， 則p(ξ＝2)＝＝． 所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝， ξ的分布列是： ξ 1 2 p ∴E(ξ)＝1＋2＝． 18．(本題滿分12分)(2017讓胡路區(qū)校級模擬)某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經(jīng)驗(yàn)，甲勝乙的概率為． (1)求比賽三局甲獲勝的概率； (2)求甲獲勝的概率； (3)設(shè)甲比賽的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望． [解析]　記甲n局獲勝的概率為 Pn，n＝3,4,5， (1)比賽三局甲獲勝的概率是：P3＝C()3＝； (2)比賽四局甲獲勝的概率是：P4＝C()3()＝； 比賽五局甲獲勝的概率是：P5＝C()2()2＝； 甲獲勝的概率是：P3＋P4＋P5＝． (3)記乙n局獲勝的概率為 Pn′，n＝3,4,5． P3′＝C()3＝，P4′＝C()3()＝； P5′＝C()3()2＝； 故甲比賽次數(shù)的分布列為： X 3 4 5 P(X) P3＋P3′ P4＋P4′ P5＋P5′ 所以甲比賽次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是：EX＝3(＋)＋4(＋)＋5(＋)＝． 19．(本題滿分12分)(2017山東理，18)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX． [解析]　(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M， 則P(M)＝＝． (2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4， 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝． 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望 EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＋4P(X＝4)＝0＋1＋2＋3＋4＝2． 20．(本題滿分12分)(2016天津理，16)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會． (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)由已知有P(A)＝＝． 所以，事件A發(fā)生的概率為． (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2． P(X＝0)＝＝.P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． 所以，隨機(jī)變量X分布列為： X 0 1 2 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＝1． 21．(本題滿分12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2． ①利用該正態(tài)分布，求p(187.8<Z<212.2)； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)． 附：≈12.2． 若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544． [解析]　(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 ＝1700.02＋1800.09＋1900.22＋2000.33＋2100.24＋2200.08＋2300.02＝200， s2＝(－30)20.02＋(－20)20.09＋(－10)20.22＋00.33＋1020.24＋2020.08＋3020.02＝150． (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而 P(187.8<Z<212.2)＝P(220－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826． ②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826， 依題意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝1000.6826＝68.26． 22．(本題滿分12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [解析]　(1)依次將事件“甲隊(duì)以3∶0勝利”、“甲隊(duì)以3∶1勝利”、“甲隊(duì)以3∶2勝利”記作A1、A2、A3，由題意各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 故P(A1)＝()3＝， P(A2)＝C()2(1－)＝， P(A3)＝C()2(1－)2＝． 所以甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為． (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，則由題意知 P(A4)＝C(1－)2()2(1－)＝． 由題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1、2、3， 由事件的互斥性得， P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 或P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2＝． ∴X的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375