高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 1.2 點、線、面之間的位置關系 1.2.3 第二課時 直線與平面垂直課時作業(yè) 蘇教版必修2

1.2.3 第二課時 直線與平面垂直 [學業(yè)水平訓練] 1．下列說法：①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是(0，90)； ②直線與平面所成的角的取值范圍是(0，90]； ③若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線互相平行； ④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等． 其中正確的是________(填序號)． 解析：②應為[0，90]；③中這兩條直線可能平行，也可能相交或異面． 答案：①④ 2．垂直于梯形兩腰的直線與梯形兩底所在的平面的位置關系是________． 解析：梯形的兩腰所在的直線是相交的直線，故直線垂直于梯形所在平面內的兩條相交直線，所以直線與平面垂直． 答案：垂直 3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，它的六個面中與棱AA1垂直的有________個． 解析：面A1B1C1D1與面ABCD都與棱AA1垂直． 答案：2 4．如果不在平面α內的一條直線l與平面α的一條垂線垂直，那么直線l與平面α的位置關系為________． 解析：設平面α的垂線為a，過a上一點作l′∥l，設l′與a所確定的平面交α于b，則a⊥b，而a⊥l′， ∴l(xiāng)′∥b，∴l(xiāng)∥b，即可得l∥α. 答案：平行 5.如圖，邊長為2的正方形ABCD在α上的射影為EFCD，且AB到α的距離為，則AD與α所成的角為________． 解：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2， ∴∠ADE＝30. 答案：30 6．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的有________．(填序號) 解析：在①中，設面BCD上的另一個頂點為A1，連結BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.而在②中AB與CD成60角，在③中AB與CD成45角．在④中AB與CD所成角的正弦值為. 答案：① 7．若點A?平面α，點B∈α，AB＝6，AB與α所成的角為45，求A到α的距離． 解：如圖，過A作AH⊥平面α于H，連結BH，則∠ABH為AB與α所成角，即∠ABH＝45. 在Rt△ABH中，AH＝ABsin 45＝3. ∴A到α的距離為3. 8．已知在四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC. 證明：如圖，過A作AO⊥平面BCD于O，則AO⊥CD.連結OB，OC， ∵AB⊥CD，AO∩AB＝A， ∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD. 同理得CO⊥BD， ∴O是△BCD的垂心． 連結DO并延長交BC于M， 則DM⊥BC， 而AO⊥BC，AO∩DM＝O， ∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD. [高考水平訓練] 1.如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________． 解析：∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥QD， 又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P， ∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD. 即Q在以AD為直徑的圓上，當半圓與BC相切時，點Q只有一個．故BC＝2AB＝2，即a＝2. 答案：2 2．正△ABC邊長為a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90，則B到AC的距離為________． 解析：如圖，作DH⊥AC于H，連結BH. ∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.從而BD⊥DH， ∴DH為BH在平面ADC內的射影，∴BH⊥AC， 又正△ABC邊長為a，∴DH＝a， ∴BH＝＝a. 答案：a 3.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，且PG⊥平面ABCD. (1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD； (2)求證：AD⊥PB. 證明：(1)連結BD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點， ∴PG⊥AD. ∵PG⊥平面ABCD.∴PG⊥BG. 又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60， ∴△ABD是正三角形．∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.BG∩PG＝G， 所以AD⊥平面PBG， 又PB?平面PBG，所以AD⊥PB. 4.如圖，在四棱錐P - ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90. (1)求證：PC⊥BC. (2)求點A到平面PBC的距離． 解：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD， BC?平面ABCD， ∴PD⊥BC，∵∠BCD＝90，∴BC⊥CD， 又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD， 又PC?平面PCD， ∴PC⊥BC. (2)如圖，過點A作BC的平行線交CD的延長線于E，過點E作PC的垂線，垂足為F，則有AE∥平面PBC. ∴點A到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離， 又EF⊥PC，BC⊥平面PDC， 則EF⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴EF⊥平面PBC， ∴EF即為E到平面PBC的距離， 又∵AE∥BC，AB∥CD， ∴四邊形ABCE為平行四邊形， ∴CE＝AB＝2，又∵PD＝CD＝1， PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PD⊥CD，∠PCD＝45，∴EF＝， 即點A到平面PBC的距離為. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375