九年級數(shù)學上冊 第一章 特殊平行四邊形 3 正方形的性質與判定 認識正方形素材 新版北師大版

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1、 認識正方形 平行四邊形——這是一個漂亮和有用的圖形，它使我們記起重量單位，事實上與重量單位一點沒有關系。作兩對平行直線，如圖1考慮這樣形成的四邊形。它的邊成對平行：，。這種四邊形稱做平行四邊形。 圖1 圖2 在圖2上畫著各種不同的平行四邊形。是的，是的，不要奇怪，連菱形、矩形和正方形都是平行四邊形。它們是帶有某些補充性質的平行四邊形。 菱形——這是一個所有邊都相等的平行四邊形。 矩形——這是一個所有角都是直角的平行四邊形。 那么事實上矩形是不是平行四邊形呢？和對不對（圖3）？ 圖3 我們回憶一下三條垂直的直線的性質（94頁）。它說，在同一平面內垂直于同一條直線

2、的兩條直線彼此平行。在矩形中，，，這就是說，。而角與也都是直角，也即，．于是就有。由此得到，矩形的邊成對平行。因此，矩形是平行四邊形。 正方形是非常有趣的四邊形，能夠給它幾個定義。 1．正方形像菱形一樣，所有邊都相等，只是還要所有角都是直角。這就是說，正方形是具有直角的菱形。 2．正方形像矩形一樣，所有角都是直角。只是還要所有邊都相等。這就是說，正方形是所有邊都相等的矩形。 3．正方形像平行四邊形一樣，邊成對平行的。只是還要所有邊都相等和所有角都是直角。這就是說，正方形是所有角都是直角和所有邊都相等的平行四邊形。 正方形還有一整套有趣的性質。例如，如果要用給定長度的籬笆圍住一個最大面

3、積的四邊形區(qū)域，那么應當把這區(qū)域選成正方形形狀。 用紙張的實驗能幫助我們更好地學習平行線、垂線和平行四邊形。 用紙張的實驗 在紙上標明兩點和，隨后把紙對折，使得與重合。直線與折線相對位置是怎樣的？ 通過折一張紙，去得到一對平行直線和一對垂直直線。 從一張任意形狀的紙折疊并且隨后剪出一個矩形。指明在這矩形中哪些邊彼此平行或垂直。 剪切一個矩形，使其得到一個正方形。剪下這一正方形并研究它。通過正方形兩個相對頂點的折疊線稱為正方形的對角錢。用折疊的方法可得到兩條對角錢。只用折疊紙的方法你們還能發(fā)現(xiàn)哪些性質？記錄下這些性質。 如果尋找這些性質有困難，下面的研究計劃可能有幫助： 1．按長

4、度比較兩條對角線。 2．兩條對角線之間相對位置怎樣？ 3．交點把對角線分成什么比例？ 4．每一條對角線把正方形分成什么樣的圖形？ 5．這些圖形是哪種類型？ 6．對它們彼此之間進行比較。 把正方形這樣對折，使它的兩條對邊重合。折疊線經(jīng)過哪些點？折疊線相對正方形各邊的位置怎樣？它把正方形分成什么樣的圖形？ 教師給孩子們一個任務，從一張彩色紙中剪出一個正方形。瓦夏剪出了一個正方形時，這樣檢驗它：他比較了邊的長度。全部4條邊發(fā)現(xiàn)是相等的，瓦夏就判定地完成了這個任務。這種檢驗可信賴嗎？ 阿廖沙用另一種方法檢驗了工作：他量的不是邊，而是對角線．對角線是相等的，阿廖沙就認為正確地剪出了正方形

5、。這對嗎？ 萊娜剪了正方形后，比較了由對角線相互分成的所有4個線段。發(fā)現(xiàn)它們都是相等的。按照萊娜的意見，這證明了，剪出的四邊形是正方形。你們的意見怎樣？ 從一張紙剪出一個邊長為和的矩形。從這矩形剪出一個邊長為的正方形。余下一個邊長為和的矩形，也就是一條邊同樣是另一條邊的大約1.6倍。隨后再從這矩形剪去一個邊長為的正方形。余下的矩形，它的一條邊同樣是另一條邊的大約1.6倍。 這一過程可以繼續(xù)下去，對于進之間的比近似1.6：l的矩形，很早以前就有人注意到了?？匆豢囱诺渑恋履凵駨R的造型（圖4）。甚至現(xiàn)在這還是世界最美麗的建筑之一，這神廟建筑于古希臘數(shù)學繁榮的年代，并且它的美麗就是建立在嚴格的數(shù)

6、學法則上的。如果我們在帕德嫩神廟周圍描一個矩形（圖5），那么發(fā)現(xiàn)，它的長是寬的大約1.6倍，這種矩形稱為黃金矩形。據(jù)說，它的邊組成黃金分割。數(shù)學家給出了黃金分割的精確定義。 圖4 圖5 黃金分割——它將一個整體分割成兩個不相等的部分，使得大的部分對整體的比等于小的部分對大的部分的比。數(shù)1.6只是近似地（精確到0.1）表示黃金分割的值。 假如線段分成兩部分，小的部分長度為，而大的部分長度為（圖6），那么在黃金分割情況下。有趣的是， 圖6 在正五角星里，組成這一圖形的5條線中，每一條都把另外一條分成黃金分割的比（圖7）。 圖7 圖8中畫著一個貝殼：點分線段近似于黃金分割。 圖8 你看到過任何有黃金矩形形狀的物體嗎？ 按照圖9中給出的指示，用圓規(guī)直尺作一個黃金矩形。 圖9 延長底邊到與弧相交，在直角下作一側邊，這樣我們就完成黃金矩形的作圖。 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。