2019版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 板塊一 六大核心素養(yǎng)優(yōu)選習(xí)題 文.doc

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板塊一 六大核心素養(yǎng) 一、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象 素養(yǎng)1　數(shù)學(xué)抽象 是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程. 例1　(1)如圖表示的是一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息： ①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h； ②騎自行車者是變速運動，騎摩托車者是勻速運動； ③騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者； ④騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣． 其中，正確信息的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　看時間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運動，因此②正確；兩條曲線的交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)著4.5，故③正確，④錯誤． (2)某樓梯共有11級，每步可走一級或二級，走完這11級樓梯共有多少種不同的走法？ 解　樓梯共有11級，數(shù)值比較大，可以先考慮簡單情形． 樓梯共有：1級、2級、3級、4級、5級、…，從特殊的情境里發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 樓梯級數(shù) 1 2 3 4 5 … 11 走法種數(shù) 1 2 3 5 8 … ？ 從上面的走法種數(shù)1,2,3,5,8，…可以發(fā)現(xiàn)： 前兩個走法種數(shù)之和是下一個走法種數(shù)． 于是，容易推算出：走完這11級樓梯，共有144種不同的走法． 1．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(　　) A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 答案　B 解析　根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式， 聯(lián)立方程組得 消去c化簡得 解得 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋， 所以當(dāng)t＝＝3.75時， p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘． 2．甲、乙兩種食物的維生素含量如下表： 維生素A(單位/kg) 維生素B(單位/kg) 甲 3 5 乙 4 2 分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120個單位，則混合物重量的最小值為________kg. 答案　30 解析　設(shè)甲食物重xkg，乙食物重ykg， ∵A，B的含量分別不低于100,120個單位， ∴ 由得 ∴A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直線z＝x＋y， 由圖知，當(dāng)直線過A(20,10)時，z取最小值為20＋10＝30. 素養(yǎng)2　直觀想象 是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思想過程. 例2　(1)如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點P與點Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．fj7tj3h是等差數(shù)列 答案　A 解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，…，Cn， 則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn. ∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|， ∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|. 設(shè)|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c， 則|A3C3|＝2b－a，…， |AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，n＝1和n＝2時也符合． ∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a] ＝c[(b－a)n＋(2a－b)]， ∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)] ＝c(b－a)， ∴數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列． (2)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AC1，A1B1的中點．點P在該正方體的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長等于(　　) A.＋1 B.＋2 C．2＋1 D．2＋2 答案　B 解析　如圖，取BB1的中點E，CC1的中點F，連接AE，EF，F(xiàn)D，則BN⊥平面AEFD. 設(shè)M在平面ABB1A1中的射影為O，過MO與平面AEFD平行的平面為α， ∴能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長與矩形AEFD的周長相等， ∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1， ∴矩形AEFD的周長為＋2. 3．“牟合方蓋”(如圖1)是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，其實際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時，它的正(主)視圖和俯視圖分別可能是(　　) A．a(chǎn)，bB．a(chǎn)，cC．c，bD．b，d 答案　A 解析　當(dāng)正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時，“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方，正(主)視圖為一個圓，俯視圖為一個正方形，且兩條對角線為實線，故選A. 4．(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　由三視圖得到空間幾何體，如圖所示， 則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1， 所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA＝A， AB，PA?平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. 又PB?平面PAB， 所以BC⊥PB. 在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝， 所以△PCD為銳角三角形． 所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個．故選C. 二、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算 素養(yǎng)3　邏輯推理 是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　(1)(2018北京)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2＋9b2－6ab＝9a2＋b2＋6ab. 又a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1， 所以ab＝0，能推出a⊥b. 由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|. 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要條件． 故選C. (2)記I為虛數(shù)集，設(shè)a，b∈R，x，y∈I，則下列類比所得的結(jié)論正確的是______．(填序號) ①由ab∈R，類比得xy∈I； ②由a2≥0，類比得x2≥0； ③由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，類比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2； ④由a＋b>0，a>－b，類比得x＋y>0，x>－y. 答案　③ 解析?、儆蒩b∈R，不能類比得xy∈I，如x＝y(tǒng)＝i，則xy＝－1?I，故①不正確； ②由a2≥0，不能類比得x2≥0.如x＝i，則x2<0，故②不正確； ③由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可類比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故③正確； ④若x，y∈I，當(dāng)x＝1＋i，y＝－i時，x＋y＞0，但x，y是兩個虛數(shù)，不能比較大小，故④錯誤． 故4個結(jié)論中，③正確． 5．已知從2開始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列成寶塔形的數(shù)表，第一行為2，第二行為4,6，第三行為12,10,8，第四行為14,16,18,20，…，如圖所示，在該數(shù)表中位于第i行、第j列的數(shù)記為aij，如a32＝10，a54＝24.若aij＝2018，則i＋j＝________. 答案　72 解析　第1行有1個偶數(shù)，第2行有2個偶數(shù)，…，第n行有n個偶數(shù)，則前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝(個)偶數(shù)，2018在從2開始的偶數(shù)中排在第1009位， 所以≥1009，所以n≥45. 當(dāng)n＝44時，第44行第44個偶數(shù)為2＝1980， 所以第44行結(jié)束時最右邊的偶數(shù)為1980. 由題意得2018排在第45行的第27位，所以i＋j＝45＋27＝72. 6．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否參加了學(xué)校組織的A，B，C三個活動興趣小組時， 甲說：我參加的興趣小組比乙多，但沒參加過A興趣小組； 乙說：我沒參加過B興趣小組； 丙說：我們?nèi)藚⒓恿送粋€興趣小組． 由此可判斷乙參加的興趣小組為________． 答案　C 解析　∵三人參加了同一個興趣小組，乙不參加B，甲不參加A， ∴三人共同參加的小組只有C， 又∵甲參加的興趣小組比乙多，甲不參加A ∴甲參加兩個興趣小組，乙參加一個小組， ∴甲參加B和C， ∴乙參加的興趣小組是C. 素養(yǎng)4　數(shù)學(xué)運算 是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程. 例4　(1)(2018全國Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB等于(　　) A．4 B. C. D．2 答案　A 解析　∵cos＝， ∴cosC＝2cos2－1＝22－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcosC＝52＋12－251＝32， ∴AB＝＝4. 故選A. (2)(2018全國Ⅰ)已知角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，則|a－b|等于(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝， ∴＝，又cosα≠0，∴＝， ∴tanα＝， 即＝， ∴|a－b|＝. 故選B. (3)(2018全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________. 答案?。? 解析　∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1， ∴1＝log2(9＋a)， ∴9＋a＝2，∴a＝－7. 7．定長為4的線段MN的兩端點在拋物線y2＝x上移動，設(shè)點P為線段MN的中點，則點P到y(tǒng)軸距離的最小值為________． 答案　 解析　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線y2＝x的焦點為F，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所求的距離d＝＝－＝－，所以－≥－＝(M，N，F(xiàn)三點共線時取等號)． 三、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析 素養(yǎng)5　數(shù)學(xué)建模 是指對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題的思維過程. 例5　(1)(2018山東、湖北部分重點中學(xué)模擬)我國古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》．內(nèi)有一篇：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？”請你計算出海島高度為________步. (參考譯文：假設(shè)測量海島，立兩根標(biāo)桿，高均為5步，前后相距1000步，令前后兩根標(biāo)桿和島在同一直線上，從前標(biāo)桿退行123步，人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰，從后標(biāo)桿退行127步，人的視線從地面過標(biāo)桿頂恰好觀測到島峰，問島高多少？島與前標(biāo)桿相距多遠(yuǎn)？)(丈、步為古時計量單位，當(dāng)時是“三丈＝5步”) 答案　1255 解析　如圖所示，設(shè)島高x步，與前標(biāo)桿相距y步， 由相似三角形的性質(zhì)，有 解得則海島高度為1255步． (2)秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時讓秸稈還田，花137600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費維修保養(yǎng)，所付費用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費1800元，第五年付費6000元． ①試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； ②這臺收割機(jī)使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費用－購買機(jī)械費用) 解?、僖李}意知，當(dāng)n＝2時，y＝1800； 當(dāng)n＝5時，y＝6000， 即解得 所以f(n)＝ ②記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當(dāng)n≥2時，W＝60000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)] ＝60000－ ＝60000－(137200＋700n2－300n) ＝60300－ ≤60300－2＝40700， 當(dāng)且僅當(dāng)700n＝，即n＝14時取等號． 所以這臺收割機(jī)使用14年，可使年均收益最大． 8．甲與乙午覺醒來后，發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動，于是他們想借助收音機(jī)，利用電臺整點報時確認(rèn)時間． (1)求甲等待的時間不多于10分鐘的概率； (2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率． 解　(1)因為電臺每隔1小時報時一次，甲在[0,60)之間任何一個時刻打開收音機(jī)是等可能的，所以他在哪個時間段打開收音機(jī)的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，符合幾何概型的條件． 設(shè)事件A為“甲等待的時間不多于10分鐘”，則事件A恰好是打開收音機(jī)的時刻位于[50,60)時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝＝.所以“甲等待的時間不多于10分鐘”的概率為. (2)因為甲、乙兩人起床的時間是任意的，所以所求事件是一個與兩個變量相關(guān)的幾何概型，且為面積型． 設(shè)甲需要等待的時間為x，乙需要等待的時間為y(10分鐘為一個長度單位)． 則由己知可得，對應(yīng)的基本事件空間為 Ω＝. 甲比乙多等待10分鐘以上對應(yīng)的事件為 M＝. 在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示． 顯然Ω表示一個邊長為6的正方形OQRS的內(nèi)部及線段OQ，OS，其面積S1＝62＝36. M表示的是腰長為5的等腰直角三角形QDE的內(nèi)部及線段DQ， 其面積S2＝52＝. 故所求事件的概率為P＝＝. 素養(yǎng)6　數(shù)據(jù)分析 是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析推斷，形成已學(xué)知識的思維過程． 例6　華東師范大學(xué)為了了解大學(xué)生使用手機(jī)的情況，分別在大一和大二兩個年級各隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時間的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，將使用手機(jī)時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”．大一學(xué)生日均使用手機(jī)時間的頻率分布直方圖如圖所示，大二學(xué)生日均使用手機(jī)時間的頻數(shù)分布表如下表． 時間分組 頻數(shù) [0,20) 12 [20,40) 20 [40,60) 24 [60,80) 26 [80,100) 14 [100,120] 4 (1)將頻率視為概率，估計哪個年級的大學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大？請說明理由； (2)在大一學(xué)生的抽查中，已知隨機(jī)抽到的女生共有55名，其中有10名為“手機(jī)迷”．根據(jù)已知條件列出22列聯(lián)表，根據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？ 附表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 k0 2.706 3.841 解　(1)由頻率分布直方圖可知，大一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為P1＝(0.0025＋0.010)20＝0.25. 由頻數(shù)分布表可知，大二學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為P2＝＝0.18. 因為P1>P2，所以大一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大． (2)由頻率分布直方圖可知，從大一學(xué)生抽取的100人中，“手機(jī)迷”有(0.010＋0.0025)20100＝25(人)， 非手機(jī)迷有100－25＝75(人)． 22列聯(lián)表如下： 非手機(jī)迷 手機(jī)迷 總計 男 30 15 45 女 45 10 55 總計 75 25 100 假設(shè)“手機(jī)迷”與性別無關(guān)，隨機(jī)變量K2的觀測值 k＝＝≈3.030， 因為3.030>2.706， 所以有90%的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)．  9．某市一水電站的年發(fā)電量y(單位：億千瓦時)與該市的年降雨量x(單位：毫米)有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)： 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 降雨量x(毫米) 1500 1400 1900 1600 2100 發(fā)電量y(億千瓦時) 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若從統(tǒng)計的5年中任取2年，求這2年的發(fā)電量都高于7.5億千瓦時的概率； (2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為＝0.004x＋，該水電站計劃2019年的發(fā)電量不低于8.6億千瓦時，現(xiàn)由氣象部門獲悉2019年的降雨量約為1800毫米，請你預(yù)測2019年能否完成發(fā)電任務(wù)？ 解　(1)從統(tǒng)計的5年發(fā)電量中任取2年，基本事件為 {7.4,7.0}，{7.4,9.2}，{7.4,7.9}，{7.4,10.0}，{7.0,9.2}，{7.0,7.9}，{7.0,10.0}，{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共10個； 其中這2年的發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時的基本事件為{9.2,7.9}，{9.2,10.0}，{7.9,10.0}，共3個． 所以這2年發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時的概率為P＝. (2)因為＝ ＝＝1 700， ＝ ＝＝8.3. 又直線＝0.004x＋過點(，)， 所以8.3＝0.0041 700＋， 解得＝1.5， 所以＝0.004x＋1.5. 當(dāng)x＝1 800時，＝0.0041 800＋1.5＝8.7>8.6， 所以預(yù)測該水電站2019年能完成發(fā)電任務(wù)．