2019版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 板塊一 六大核心素養(yǎng)優(yōu)選習(xí)題 文.doc
板塊一 六大核心素養(yǎng)
一、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象
素養(yǎng)1 數(shù)學(xué)抽象
是指舍去事物的一切物理屬性,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.
例1 (1)如圖表示的是一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息:
①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h,晚到1h;
②騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng),騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng);
③騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者;
④騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣.
其中,正確信息的序號(hào)是________.
答案?、佗冖?
解析 看時(shí)間軸易知①正確;騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線,所以是勻速運(yùn)動(dòng),而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線,所以是變速運(yùn)動(dòng),因此②正確;兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著4.5,故③正確,④錯(cuò)誤.
(2)某樓梯共有11級(jí),每步可走一級(jí)或二級(jí),走完這11級(jí)樓梯共有多少種不同的走法?
解 樓梯共有11級(jí),數(shù)值比較大,可以先考慮簡(jiǎn)單情形.
樓梯共有:1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)、…,從特殊的情境里發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
樓梯級(jí)數(shù)
1
2
3
4
5
…
11
走法種數(shù)
1
2
3
5
8
…
?
從上面的走法種數(shù)1,2,3,5,8,…可以發(fā)現(xiàn):
前兩個(gè)走法種數(shù)之和是下一個(gè)走法種數(shù).
于是,容易推算出:走完這11級(jí)樓梯,共有144種不同的走法.
1.加工爆米花時(shí),爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為( )
A.3.50分鐘 B.3.75分鐘
C.4.00分鐘 D.4.25分鐘
答案 B
解析 根據(jù)圖表,把(t,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式,
聯(lián)立方程組得
消去c化簡(jiǎn)得
解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-+-2=-2+,
所以當(dāng)t==3.75時(shí),
p取得最大值,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.
2.甲、乙兩種食物的維生素含量如下表:
維生素A(單位/kg)
維生素B(單位/kg)
甲
3
5
乙
4
2
分別取這兩種食物若干并混合,且使混合物中維生素A,B的含量分別不低于100,120個(gè)單位,則混合物重量的最小值為________kg.
答案 30
解析 設(shè)甲食物重xkg,乙食物重ykg,
∵A,B的含量分別不低于100,120個(gè)單位,
∴
由得
∴A(20,10),混合物重z=x+y,平移直線z=x+y,
由圖知,當(dāng)直線過A(20,10)時(shí),z取最小值為20+10=30.
素養(yǎng)2 直觀想象
是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的思想過程.
例2 (1)如圖,點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( )
A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列 D.fflf5rb是等差數(shù)列
答案 A
解析 作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn垂直于直線B1Bn,垂足分別為C1,C2,C3,…,Cn,
則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn+1|=|An+1An+2|,
∴|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|.
設(shè)|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,
則|A3C3|=2b-a,…,
|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),n=1和n=2時(shí)也符合.
∴Sn=c[(n-1)b-(n-2)a]
=c[(b-a)n+(2a-b)],
∴Sn+1-Sn=c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]
=c(b-a),
∴數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列.
(2)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AC1,A1B1的中點(diǎn).點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng),則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)等于( )
A.+1 B.+2
C.2+1 D.2+2
答案 B
解析 如圖,取BB1的中點(diǎn)E,CC1的中點(diǎn)F,連接AE,EF,F(xiàn)D,則BN⊥平面AEFD.
設(shè)M在平面ABB1A1中的射影為O,過MO與平面AEFD平行的平面為α,
∴能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形,其周長(zhǎng)與矩形AEFD的周長(zhǎng)相等,
∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,
∴矩形AEFD的周長(zhǎng)為+2.
3.“牟合方蓋”(如圖1)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖2所示,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線,其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在,當(dāng)其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時(shí),它的正(主)視圖和俯視圖分別可能是( )
A.a(chǎn),bB.a(chǎn),cC.c,bD.b,d
答案 A
解析 當(dāng)正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時(shí),“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方,正(主)視圖為一個(gè)圓,俯視圖為一個(gè)正方形,且兩條對(duì)角線為實(shí)線,故選A.
4.(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由三視圖得到空間幾何體,如圖所示,
則PA⊥平面ABCD,平面ABCD為直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,
所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.
又BC⊥AB,AB∩PA=A,
AB,PA?平面PAB,
所以BC⊥平面PAB.
又PB?平面PAB,
所以BC⊥PB.
在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,
所以△PCD為銳角三角形.
所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB,△PAD,△PBC,共3個(gè).故選C.
二、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
素養(yǎng)3 邏輯推理
是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.
例3 (1)(2018北京)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案 C
解析 由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2,
即a2+9b2-6ab=9a2+b2+6ab.
又a,b均為單位向量,所以a2=b2=1,
所以ab=0,能推出a⊥b.
由a⊥b得|a-3b|=,|3a+b|=,
能推出|a-3b|=|3a+b|.
所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充要條件.
故選C.
(2)記I為虛數(shù)集,設(shè)a,b∈R,x,y∈I,則下列類比所得的結(jié)論正確的是______.(填序號(hào))
①由ab∈R,類比得xy∈I;
②由a2≥0,類比得x2≥0;
③由(a+b)2=a2+2ab+b2,類比得(x+y)2=x2+2xy+y2;
④由a+b>0,a>-b,類比得x+y>0,x>-y.
答案?、?
解析 ①由ab∈R,不能類比得xy∈I,如x=y(tǒng)=i,則xy=-1?I,故①不正確;
②由a2≥0,不能類比得x2≥0.如x=i,則x2<0,故②不正確;
③由(a+b)2=a2+2ab+b2,可類比得(x+y)2=x2+2xy+y2,故③正確;
④若x,y∈I,當(dāng)x=1+i,y=-i時(shí),x+y>0,但x,y是兩個(gè)虛數(shù),不能比較大小,故④錯(cuò)誤.
故4個(gè)結(jié)論中,③正確.
5.已知從2開始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列成寶塔形的數(shù)表,第一行為2,第二行為4,6,第三行為12,10,8,第四行為14,16,18,20,…,如圖所示,在該數(shù)表中位于第i行、第j列的數(shù)記為aij,如a32=10,a54=24.若aij=2018,則i+j=________.
答案 72
解析 第1行有1個(gè)偶數(shù),第2行有2個(gè)偶數(shù),…,第n行有n個(gè)偶數(shù),則前n行共有1+2+3+…+n=(個(gè))偶數(shù),2018在從2開始的偶數(shù)中排在第1009位,
所以≥1009,所以n≥45.
當(dāng)n=44時(shí),第44行第44個(gè)偶數(shù)為2=1980,
所以第44行結(jié)束時(shí)最右邊的偶數(shù)為1980.
由題意得2018排在第45行的第27位,所以i+j=45+27=72.
6.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否參加了學(xué)校組織的A,B,C三個(gè)活動(dòng)興趣小組時(shí),
甲說(shuō):我參加的興趣小組比乙多,但沒參加過A興趣小組;
乙說(shuō):我沒參加過B興趣小組;
丙說(shuō):我們?nèi)藚⒓恿送粋€(gè)興趣小組.
由此可判斷乙參加的興趣小組為________.
答案 C
解析 ∵三人參加了同一個(gè)興趣小組,乙不參加B,甲不參加A,
∴三人共同參加的小組只有C,
又∵甲參加的興趣小組比乙多,甲不參加A
∴甲參加兩個(gè)興趣小組,乙參加一個(gè)小組,
∴甲參加B和C,
∴乙參加的興趣小組是C.
素養(yǎng)4 數(shù)學(xué)運(yùn)算
是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程.
例4 (1)(2018全國(guó)Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB等于( )
A.4 B.
C. D.2
答案 A
解析 ∵cos=,
∴cosC=2cos2-1=22-1=-.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=52+12-251=32,
∴AB==4.
故選A.
(2)(2018全國(guó)Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊上有兩點(diǎn)A(1,a),B(2,b),且cos2α=,則|a-b|等于( )
A. B.
C. D.1
答案 B
解析 由cos2α=,得cos2α-sin2α=,
∴=,又cosα≠0,∴=,
∴tanα=,
即=,
∴|a-b|=.
故選B.
(3)(2018全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,則a=________.
答案?。?
解析 ∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,
∴1=log2(9+a),
∴9+a=2,∴a=-7.
7.定長(zhǎng)為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),則點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值為________.
答案
解析 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),拋物線y2=x的焦點(diǎn)為F,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,所求的距離d==-=-,所以-≥-=(M,N,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).
三、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析
素養(yǎng)5 數(shù)學(xué)建模
是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問題的思維過程.
例5 (1)(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)家劉徽著有《海島算經(jīng)》.內(nèi)有一篇:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高及去表各幾何?”請(qǐng)你計(jì)算出海島高度為________步.
(參考譯文:假設(shè)測(cè)量海島,立兩根標(biāo)桿,高均為5步,前后相距1000步,令前后兩根標(biāo)桿和島在同一直線上,從前標(biāo)桿退行123步,人的視線從地面(人的高度忽略不計(jì))過標(biāo)桿頂恰好觀測(cè)到島峰,從后標(biāo)桿退行127步,人的視線從地面過標(biāo)桿頂恰好觀測(cè)到島峰,問島高多少?島與前標(biāo)桿相距多遠(yuǎn)?)(丈、步為古時(shí)計(jì)量單位,當(dāng)時(shí)是“三丈=5步”)
答案 1255
解析 如圖所示,設(shè)島高x步,與前標(biāo)桿相距y步,
由相似三角形的性質(zhì),有
解得則海島高度為1255步.
(2)秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施,在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用.某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田,花137600元購(gòu)買了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī),每年用于收割可以收入6萬(wàn)元(已減去所用柴油費(fèi));該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng),第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng),第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng),所付費(fèi)用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付費(fèi)1800元,第五年付費(fèi)6000元.
①試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式;
②這臺(tái)收割機(jī)使用多少年,可使年平均收益最大?(收益=收入-維修保養(yǎng)費(fèi)用-購(gòu)買機(jī)械費(fèi)用)
解?、僖李}意知,當(dāng)n=2時(shí),y=1800;
當(dāng)n=5時(shí),y=6000,
即解得
所以f(n)=
②記使用n年,年均收益為W(元),
則依題意知,當(dāng)n≥2時(shí),W=60000-[137 600+1 400(2+3+…+n)-1 000(n-1)]
=60000-
=60000-(137200+700n2-300n)
=60300-
≤60300-2=40700,
當(dāng)且僅當(dāng)700n=,即n=14時(shí)取等號(hào).
所以這臺(tái)收割機(jī)使用14年,可使年均收益最大.
8.甲與乙午覺醒來(lái)后,發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動(dòng),于是他們想借助收音機(jī),利用電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)確認(rèn)時(shí)間.
(1)求甲等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率;
(2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率.
解 (1)因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次,甲在[0,60)之間任何一個(gè)時(shí)刻打開收音機(jī)是等可能的,所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān),而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān),符合幾何概型的條件.
設(shè)事件A為“甲等待的時(shí)間不多于10分鐘”,則事件A恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60)時(shí)間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式得P(A)===.所以“甲等待的時(shí)間不多于10分鐘”的概率為.
(2)因?yàn)榧住⒁覂扇似鸫驳臅r(shí)間是任意的,所以所求事件是一個(gè)與兩個(gè)變量相關(guān)的幾何概型,且為面積型.
設(shè)甲需要等待的時(shí)間為x,乙需要等待的時(shí)間為y(10分鐘為一個(gè)長(zhǎng)度單位).
則由己知可得,對(duì)應(yīng)的基本事件空間為
Ω=.
甲比乙多等待10分鐘以上對(duì)應(yīng)的事件為
M=.
在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示.
顯然Ω表示一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形OQRS的內(nèi)部及線段OQ,OS,其面積S1=62=36.
M表示的是腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角形QDE的內(nèi)部及線段DQ,
其面積S2=52=.
故所求事件的概率為P==.
素養(yǎng)6 數(shù)據(jù)分析
是指針對(duì)研究對(duì)象獲得相關(guān)數(shù)據(jù),運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析推斷,形成已學(xué)知識(shí)的思維過程.
例6 華東師范大學(xué)為了了解大學(xué)生使用手機(jī)的情況,分別在大一和大二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表,將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.大一學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示,大二學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表如下表.
時(shí)間分組
頻數(shù)
[0,20)
12
[20,40)
20
[40,60)
24
[60,80)
26
[80,100)
14
[100,120]
4
(1)將頻率視為概率,估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的大學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)在大一學(xué)生的抽查中,已知隨機(jī)抽到的女生共有55名,其中有10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件列出22列聯(lián)表,根據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)?
附表:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
k0
2.706
3.841
解 (1)由頻率分布直方圖可知,大一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為P1=(0.0025+0.010)20=0.25.
由頻數(shù)分布表可知,大二學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率為P2==0.18.
因?yàn)镻1>P2,所以大一學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大.
(2)由頻率分布直方圖可知,從大一學(xué)生抽取的100人中,“手機(jī)迷”有(0.010+0.0025)20100=25(人),
非手機(jī)迷有100-25=75(人).
22列聯(lián)表如下:
非手機(jī)迷
手機(jī)迷
總計(jì)
男
30
15
45
女
45
10
55
總計(jì)
75
25
100
假設(shè)“手機(jī)迷”與性別無(wú)關(guān),隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值
k==≈3.030,
因?yàn)?.030>2.706,
所以有90%的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān).
9.某市一水電站的年發(fā)電量y(單位:億千瓦時(shí))與該市的年降雨量x(單位:毫米)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
降雨量x(毫米)
1500
1400
1900
1600
2100
發(fā)電量y(億千瓦時(shí))
7.4
7.0
9.2
7.9
10.0
(1)若從統(tǒng)計(jì)的5年中任取2年,求這2年的發(fā)電量都高于7.5億千瓦時(shí)的概率;
(2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為=0.004x+,該水電站計(jì)劃2019年的發(fā)電量不低于8.6億千瓦時(shí),現(xiàn)由氣象部門獲悉2019年的降雨量約為1800毫米,請(qǐng)你預(yù)測(cè)2019年能否完成發(fā)電任務(wù)?
解 (1)從統(tǒng)計(jì)的5年發(fā)電量中任取2年,基本事件為
{7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10個(gè);
其中這2年的發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時(shí)的基本事件為{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3個(gè).
所以這2年發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時(shí)的概率為P=.
(2)因?yàn)椋?
==1 700,
=
==8.3.
又直線=0.004x+過點(diǎn)(,),
所以8.3=0.0041 700+,
解得=1.5,
所以=0.004x+1.5.
當(dāng)x=1 800時(shí),=0.0041 800+1.5=8.7>8.6,
所以預(yù)測(cè)該水電站2019年能完成發(fā)電任務(wù).