2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

3.1.4　空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間向量坐標(biāo)的定義.2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.能夠利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求空間向量的長(zhǎng)度與夾角． 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量的坐標(biāo)表示 1．空間直角坐標(biāo)系及空間向量的坐標(biāo) 建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底{i，j，k}，這個(gè)基底叫做單位正交基底．單位向量i，j，k都叫做坐標(biāo)向量． 2．空間向量的坐標(biāo) 在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實(shí)數(shù)組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．上式可簡(jiǎn)記作a＝(a1，a2，a3)． 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 空間向量a，b，其坐標(biāo)形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量運(yùn)算 向量表示 坐標(biāo)表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘 λa (λa1，λa2，λa3) 數(shù)量積 ab a1b1＋a2b2＋a3b3 知識(shí)點(diǎn)三　空間向量的平行、垂直及模、夾角 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 名稱 滿足條件 向量表示形式 坐標(biāo)表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b ab＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，則a的坐標(biāo)是(x，y，z)．(　　) 2．若向量＝(x，y，z)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(x，y，z)．(　　) 3．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x，y，z)．(　√　) 4．設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?＝＝.(　　) 5．四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標(biāo)相同．(　√　) 題型一　空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算 命題角度1　空間向量的坐標(biāo)表示 例1　如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點(diǎn)，以{，，}為基底，求下列向量的坐標(biāo)． (1)，，； (2)，，. 解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝. (2)＝－＝－ ＝＋＝， ＝－＝－ ＝－－＝， ＝－＝＋－ ＝－＝. 引申探究 本例中，若以{，，}為基底，試寫(xiě)出，，的坐標(biāo)． 解?。剑剑剑? ＝＋＝＋ ＝－＋＝， ＝＋＝. 反思感悟　用坐標(biāo)表示空間向量的步驟 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長(zhǎng)均為2，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求，的坐標(biāo)． 解　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中O為底面正方形的中心，P1P2⊥y軸，P1P4⊥x軸，SO在z軸上． ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面內(nèi)，P3與P1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P4與P2關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)． 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0,0，)． ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－＝(0，－2,0)． 命題角度2　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2　已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 答案　A 解析　依題意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)． 反思感悟　關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類(lèi)問(wèn)題 (1)直接計(jì)算問(wèn)題 首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算． (2)由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo) 首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程組，解方程求出其坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練2　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. 答案　2 解析　由題意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 故(c－a)(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 題型二　空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示 例3　已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)因?yàn)椋?－2，－1,2)，且c∥， 所以設(shè)c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)因?yàn)閍＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－，故所求k的值為2或－. 引申探究 若將本例(2)中改為“若ka－b與ka＋2b互相垂直”，求k的值． 解　由題意知ka－b＝(k＋1，k，－2)， ka＋2b＝(k－2，k,4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)， ∴(ka－b)(ka＋2b)＝0， 即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝， 故所求k的值為－2或. 反思感悟　(1)平行與垂直的判斷 ①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線． ②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0. (2)平行與垂直的應(yīng)用 ①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程． ②選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的． 跟蹤訓(xùn)練3　正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)， 因?yàn)?＝， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)， 因?yàn)镻Q⊥AE，所以＝0， 所以＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 因?yàn)椋溅?，所?－1，－1,0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 題型三　空間向量的夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算 例4　棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)． (1)求證：EF⊥CF； (2)求與所成角的余弦值； (3)求CE的長(zhǎng)． 解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G. 所以＝，＝，＝，＝. (1)證明　因?yàn)椋剑?＝0，所以⊥，即EF⊥CF. (2)解　因?yàn)椋?＋0＋＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. (3)解　|CE|＝||＝＝. 反思感悟　通過(guò)分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)便捷．建立坐標(biāo)系后，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再寫(xiě)出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，把向量坐標(biāo)化，然后再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解夾角和距離問(wèn)題． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60. (1)求四棱錐PABCD的體積； (2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 解　(1)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠DAB＝60， ∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝22＝2. 在Rt△POB中，∠PBO＝60， ∴PO＝OBtan60＝. ∴VP－ABCD＝S菱形ABCDPO＝2＝2. (2)如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，A(0，－，0)，P(0,0，)． ∴E， ∴＝，＝. ∴＝0＋0＋(－)＝－， ||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∵異面直線所成的角為銳角或直角， ∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 空間向量在平行與垂直中的應(yīng)用 典例　如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 證明　(1)∵平面ABCD⊥平面ACEF， 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC， 所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AC∩BD＝N，連接NE， 則點(diǎn)N，E的坐標(biāo)分別為，(0,0,1)． ∴＝. 又點(diǎn)A，M的坐標(biāo)分別是，， ∴＝. ∴＝. 又NE與AM不共線，∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. ∵D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴＝0， ∴⊥. 同理，⊥. 又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. [素養(yǎng)評(píng)析]　解決本題的關(guān)鍵是建立正確、恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．通過(guò)向量的運(yùn)算，來(lái)實(shí)現(xiàn)平行與垂直的判定. 1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，則a與b的夾角為(　　) A．0B.C.D．π 答案　C 解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝. 3．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，則a(b＋c)的值為(　　) A．4B．15C．3D．7 答案　C 解析　∵b＋c＝(2,2,5)，∴a(b＋c)＝4－6＋5＝3. 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1B.C.D. 答案　D 解析　依題意得(ka＋b)(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－kab＋2ab－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，ab＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ＝0(－1)＋31＋30＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)． 2．兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 則|AB|＝||＝＝. 3．空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問(wèn)題，把空間兩條直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩條直線對(duì)應(yīng)向量的夾角問(wèn)題，但要注意空間兩條直線所成的角與對(duì)應(yīng)向量的夾角的取值范圍． 一、選擇題 1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3,4)，則(　　) A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4) C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3) 答案　C 解析?。剑?2,1,3)． 2．設(shè)A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，則AB的中點(diǎn)M到C的距離|CM|的值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　AB的中點(diǎn)M，又C(0,1,0)， 所以＝，故M到C的距離為 |CM|＝||＝＝. 3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為(　　) A．0B．6C．－6D．6 答案　B 解析　∵a⊥b，∴1m＋52－2(m＋2)＝0，解得m＝6. 4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于(　　) A．3B．2C.D．5 答案　A 解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3. 5．若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 答案　A 解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)． 由>0，得A為銳角； 由>0，得C為銳角； 由>0，得B為銳角． 所以△ABC為銳角三角形． 6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 答案　C 解析　∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線， ∴＝＝(y≠0)， ∴x＝，y＝－. 7．設(shè)＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，＝(0，cosα，0)，則||的最大值為(　　) A．3B.C．2D．3 答案　B 解析　∵＝＋＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)， ∴||2＝(cosα＋sinα)2＋cos2α＋(－sinα)2 ＝2＋sin2α≤3， ∴||的最大值為. 8．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為(　　) A.B.C．4D．8 答案　B 解析　∵|a|＝＝3， |b|＝＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴sin〈a，b〉＝， ∴S＝|a||b|sin〈a，b〉＝. 二、填空題 9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝________. 答案　0 解析　因?yàn)椋?m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)， 由題意得∥， 所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 10．已知空間三點(diǎn)A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則與的夾角θ的大小是________． 答案　 解析　＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)， ＝－7，||＝，||＝， ∴cosθ＝＝－， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 11．已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，則滿足DB∥AC，DC∥AB的點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(－1,1,2) 解析　設(shè)點(diǎn)D(x，y，z)， 則＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)， ＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)， 因?yàn)镈B∥AC，DC∥AB，所以∥，∥， 則解得所以D(－1,1,2)． 三、解答題 12．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求向量a＋c與向量b＋c所成角的余弦值． 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 解　(1)因?yàn)閍∥b，所以＝＝，且y≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又由b⊥c得bc＝0， 故(－2，－4，－1)(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此時(shí)c＝(3，－2,2)． (2)由(1)得， a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 因此向量a＋c與向量b＋c所成角θ的余弦值為 cosθ＝＝＝－. 13．已知直線l1的一個(gè)方向向量為s1＝(1,0,1)，直線l2的一個(gè)方向向量為s2＝(－1,2，－2)，求直線l1和直線l2夾角的余弦值． 解　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)， ∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0， ∴〈s1，s2〉＞， ∴直線l1與直線l2的夾角為π－〈s1，s2〉， ∴直線l1與直線l2夾角的余弦值為. 14．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 題點(diǎn)　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案　C 解析　方法一　設(shè)＝λ，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2. 當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 方法二　設(shè)＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ≠0， 因?yàn)棣恕忙恕?λ＝1∶1∶2， 觀察選項(xiàng)只有C符合． 15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB和BC的中點(diǎn)，試在棱B1B上找一點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB1. 解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，設(shè)M(1,1，m)． 連接AC，則＝(－1,1,0)． 而E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以＝＝. 又因?yàn)椋?，?1,1，m－1)， 而D1M⊥平面EFB1， 所以D1M⊥EF， 且D1M⊥B1E， 即＝0，且＝0. 所以 解得m＝，即M為B1B的中點(diǎn)．