2020版高中數學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.4 空間向量的直角坐標運算學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

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3.1.4　空間向量的直角坐標運算 學習目標　1.了解空間向量坐標的定義.2.掌握空間向量運算的坐標表示.3.能夠利用坐標運算來求空間向量的長度與夾角． 知識點一　空間向量的坐標表示 1．空間直角坐標系及空間向量的坐標 建立空間直角坐標系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底{i，j，k}，這個基底叫做單位正交基底．單位向量i，j，k都叫做坐標向量． 2．空間向量的坐標 在空間直角坐標系中，已知任一向量a，根據空間向量分解定理，存在唯一實數組(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的分向量，有序實數組(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐標系中的坐標．上式可簡記作a＝(a1，a2，a3)． 知識點二　空間向量的坐標運算 空間向量a，b，其坐標形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量運算 向量表示 坐標表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數乘 λa (λa1，λa2，λa3) 數量積 ab a1b1＋a2b2＋a3b3 知識點三　空間向量的平行、垂直及模、夾角 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 名稱 滿足條件 向量表示形式 坐標表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b ab＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，則a的坐標是(x，y，z)．(　　) 2．若向量＝(x，y，z)，則點B的坐標是(x，y，z)．(　　) 3．若點A的坐標為(x，y，z)，則＝(x，y，z)．(　√　) 4．設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?＝＝.(　　) 5．四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標相同．(　√　) 題型一　空間向量的坐標表示與運算 命題角度1　空間向量的坐標表示 例1　如圖，在棱長為1的正方體ABCDA′B′C′D′中，E，F，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點，以{，，}為基底，求下列向量的坐標． (1)，，； (2)，，. 解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝. (2)＝－＝－ ＝＋＝， ＝－＝－ ＝－－＝， ＝－＝＋－ ＝－＝. 引申探究 本例中，若以{，，}為基底，試寫出，，的坐標． 解　＝＋＝－＋＝， ＝＋＝＋ ＝－＋＝， ＝＋＝. 反思感悟　用坐標表示空間向量的步驟 跟蹤訓練1　設正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長均為2，建立適當的空間直角坐標系，求，的坐標． 解　如圖所示，建立空間直角坐標系，其中O為底面正方形的中心，P1P2⊥y軸，P1P4⊥x軸，SO在z軸上． ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面內，P3與P1關于原點O對稱，P4與P2關于原點O對稱，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)． 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0,0，)． ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－＝(0，－2,0)． 命題角度2　空間向量的坐標運算 例2　已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 答案　A 解析　依題意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)． 反思感悟　關于空間向量坐標運算的兩類問題 (1)直接計算問題 首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算． (2)由條件求向量或點的坐標 首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標． 跟蹤訓練2　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. 答案　2 解析　由題意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 故(c－a)(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 題型二　空間向量平行、垂直的坐標表示 例3　已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)因為＝(－2，－1,2)，且c∥， 所以設c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)因為a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－，故所求k的值為2或－. 引申探究 若將本例(2)中改為“若ka－b與ka＋2b互相垂直”，求k的值． 解　由題意知ka－b＝(k＋1，k，－2)， ka＋2b＝(k－2，k,4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)， ∴(ka－b)(ka＋2b)＝0， 即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝， 故所求k的值為－2或. 反思感悟　(1)平行與垂直的判斷 ①應用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線． ②判斷兩直線是否垂直，關鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數量積是否為0. (2)平行與垂直的應用 ①適當引入參數(比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關于參數的方程． ②選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的． 跟蹤訓練3　正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 解　如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)， 因為3＝， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以點P的坐標為. 由題意可設點Q的坐標為(b，b,0)， 因為PQ⊥AE，所以＝0， 所以＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以點Q的坐標為. 因為＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 題型三　空間向量的夾角與長度的計算 例4　棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點． (1)求證：EF⊥CF； (2)求與所成角的余弦值； (3)求CE的長． 解　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G. 所以＝，＝，＝，＝. (1)證明　因為＝＋＋0＝0，所以⊥，即EF⊥CF. (2)解　因為＝1＋0＋＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. (3)解　|CE|＝||＝＝. 反思感悟　通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷．建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題． 跟蹤訓練4　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60. (1)求四棱錐PABCD的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 解　(1)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB＝60， ∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝22＝2. 在Rt△POB中，∠PBO＝60， ∴PO＝OBtan60＝. ∴VP－ABCD＝S菱形ABCDPO＝2＝2. (2)如圖，以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，A(0，－，0)，P(0,0，)． ∴E， ∴＝，＝. ∴＝0＋0＋(－)＝－， ||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∵異面直線所成的角為銳角或直角， ∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 空間向量在平行與垂直中的應用 典例　如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量在立體幾何中的應用 證明　(1)∵平面ABCD⊥平面ACEF， 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC， 所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC， 如圖，建立空間直角坐標系， 設AC∩BD＝N，連接NE， 則點N，E的坐標分別為，(0,0,1)． ∴＝. 又點A，M的坐標分別是，， ∴＝. ∴＝. 又NE與AM不共線，∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. ∵D(，0,0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴＝0， ∴⊥. 同理，⊥. 又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. [素養(yǎng)評析]　解決本題的關鍵是建立正確、恰當的空間直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題．通過向量的運算，來實現平行與垂直的判定. 1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，則a與b的夾角為(　　) A．0B.C.D．π 答案　C 解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝. 3．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，則a(b＋c)的值為(　　) A．4B．15C．3D．7 答案　C 解析　∵b＋c＝(2,2,5)，∴a(b＋c)＝4－6＋5＝3. 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1B.C.D. 答案　D 解析　依題意得(ka＋b)(2a－b)＝0， 所以2k|a|2－kab＋2ab－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，ab＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為________． 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ＝0(－1)＋31＋30＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 1．在空間直角坐標系中，已知點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標． 2．兩點間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 則|AB|＝||＝＝. 3．空間向量的數量積和夾角有關，經常以空間向量數量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關的問題，把空間兩條直線所成角的問題轉化為兩條直線對應向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應向量的夾角的取值范圍． 一、選擇題 1．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A的坐標為(－1,2,1)，點B的坐標為(1,3,4)，則(　　) A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4) C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3) 答案　C 解析?。剑?2,1,3)． 2．設A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，則AB的中點M到C的距離|CM|的值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　AB的中點M，又C(0,1,0)， 所以＝，故M到C的距離為 |CM|＝||＝＝. 3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為(　　) A．0B．6C．－6D．6 答案　B 解析　∵a⊥b，∴1m＋52－2(m＋2)＝0，解得m＝6. 4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于(　　) A．3B．2C.D．5 答案　A 解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3. 5．若△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 答案　A 解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)． 由>0，得A為銳角； 由>0，得C為銳角； 由>0，得B為銳角． 所以△ABC為銳角三角形． 6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 答案　C 解析　∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線， ∴＝＝(y≠0)， ∴x＝，y＝－. 7．設＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，＝(0，cosα，0)，則||的最大值為(　　) A．3B.C．2D．3 答案　B 解析　∵＝＋＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)， ∴||2＝(cosα＋sinα)2＋cos2α＋(－sinα)2 ＝2＋sin2α≤3， ∴||的最大值為. 8．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為(　　) A.B.C．4D．8 答案　B 解析　∵|a|＝＝3， |b|＝＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴sin〈a，b〉＝， ∴S＝|a||b|sin〈a，b〉＝. 二、填空題 9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點共線，則m＋n＝________. 答案　0 解析　因為＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)， 由題意得∥， 所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 10．已知空間三點A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，則與的夾角θ的大小是________． 答案　 解析　＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)， ＝－7，||＝，||＝， ∴cosθ＝＝－， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 11．已知點A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，則滿足DB∥AC，DC∥AB的點D的坐標為________． 答案　(－1,1,2) 解析　設點D(x，y，z)， 則＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)， ＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)， 因為DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥， 則解得所以D(－1,1,2)． 三、解答題 12．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求向量a＋c與向量b＋c所成角的余弦值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 解　(1)因為a∥b，所以＝＝，且y≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此時a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又由b⊥c得bc＝0， 故(－2，－4，－1)(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此時c＝(3，－2,2)． (2)由(1)得， a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 因此向量a＋c與向量b＋c所成角θ的余弦值為 cosθ＝＝＝－. 13．已知直線l1的一個方向向量為s1＝(1,0,1)，直線l2的一個方向向量為s2＝(－1,2，－2)，求直線l1和直線l2夾角的余弦值． 解　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)， ∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0， ∴〈s1，s2〉＞， ∴直線l1與直線l2的夾角為π－〈s1，s2〉， ∴直線l1與直線l2夾角的余弦值為. 14．已知O為坐標原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為(　　) A. B. C. D. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　C 解析　方法一　設＝λ，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2. 當λ＝時，取得最小值，此時點Q的坐標為. 方法二　設＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ≠0， 因為λ∶λ∶2λ＝1∶1∶2， 觀察選項只有C符合． 15.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M⊥平面EFB1. 解　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，設M(1,1，m)． 連接AC，則＝(－1,1,0)． 而E，F分別為AB，BC的中點， 所以＝＝. 又因為＝，＝(1,1，m－1)， 而D1M⊥平面EFB1， 所以D1M⊥EF， 且D1M⊥B1E， 即＝0，且＝0. 所以 解得m＝，即M為B1B的中點．