（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（測(cè)）.doc

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第05節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 班級(jí)__________ 姓名_____________ 學(xué)號(hào)___________ 得分__________ 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.【2018屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模】函數(shù)的圖象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.如圖所示，連結(jié)棱長(zhǎng)為2的正方體各面的中心得一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)處向該容器內(nèi)注水，注滿為止.已知頂點(diǎn)到水面的高度以每秒1勻速上升，記該容器內(nèi)水的體積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像大致是（ ） 【答案】D 【解析】 正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體，棱長(zhǎng)為，高為2， 設(shè)時(shí)間為t時(shí)，當(dāng)t≤1時(shí)，此時(shí)水面的邊長(zhǎng)為b，，則，則水面的面積為，該容器內(nèi)水的體積，當(dāng)t＞1時(shí)，此時(shí)水面的邊長(zhǎng)為c，，則，則水面的面積為，該容器內(nèi)水的體積， ∴ 3． “函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分不用必要條件 【答案】B 【解析】 ,所以若函數(shù)存在零點(diǎn),則 ,因此“函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的必要不充分條件,選B. 4. 【2018屆云南省玉溪市高三適應(yīng)性訓(xùn)練】函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)解析式可以判斷出當(dāng)時(shí).而在左右兩側(cè)單調(diào)性不同，所以可以根據(jù)函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性及在處取得極小值的性質(zhì)，求出不等式的解集. 詳解： 且令 得 所以當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增； 若， 則 或 解不等式得或 即 的解集為C. 5.【2018屆北京市十一學(xué)校三?！恳阎瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意可知有解，即在有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍. 解析：函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)， 有解， ， 在有解， ， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增， . 故選：D. 6.【2018屆安徽省淮南市二?！亢瘮?shù)，則方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析: 由方程f（x）=kx恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=kx有2個(gè)交點(diǎn)，又k表示直線y=kx的斜率，數(shù)形結(jié)合求出k的取值范圍． 詳解: ∵方程f（x）=kx恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴y=f（x）與y=kx有2個(gè)交點(diǎn)， 又∵k表示直線y=kx的斜率， x＞1時(shí)，y=f（x）=lnx，∴y′=； 設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則k=， ∴切線方程為y﹣y0=（x﹣x0）， 又切線過(guò)原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k=， 如圖所示；結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 故答案為：C 7.【浙江省金華市浦江縣2018年高考適應(yīng)性考試】已知函數(shù)，則（ ） A. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減 B. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減 C. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 D. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 【答案】D 【解析】分析：求導(dǎo)然后分析函數(shù)單調(diào)性根據(jù)a，b取值情況，重點(diǎn)分析最值即可得出原函數(shù)的單調(diào)情況，從而得出結(jié)論 詳解：，當(dāng)令則，所以 h（x）在（0,2）遞減， （2，）遞增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以則 在單調(diào)遞增，選D 8．【四川省成都市2018年高考模擬試卷（一）】己知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意，函數(shù)，得，得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再又方程，解得或，結(jié)合圖象，即可求解. 要使得方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 則，解得，故選C. 9.【2018屆安徽省示范高中（皖江八校）5月聯(lián)考】設(shè)函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 分別作出的圖像，要使的圖象在的圖象下方， 設(shè)切點(diǎn)，切線為， 即， 由切線過(guò)得，， 解得或或， 由圖像可知.故選D. 10.【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先通過(guò)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)證明，即證明. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以 又 又 令 則 所以函數(shù)g(x)在上為減函數(shù)，=0，又， 又， ∴，即. 故答案為：B 二、填空題：本大題共7小題，共36分． 11.【2018屆湖南省衡陽(yáng)市二?！亢瘮?shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是__________． 【答案】 【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)當(dāng)x>0時(shí)， 的圖像與相切于點(diǎn)， 因?yàn)? 故填. 點(diǎn)睛:解答與曲線切線有關(guān)的問(wèn)題,如果不知道切點(diǎn)，一般都要設(shè)切點(diǎn),再求切線的方程. 再利用其它條件轉(zhuǎn)化求解.本題就是按照這種技巧解答的. 12.【2018屆江蘇省南京市三?！恳阎獮樽匀粚?duì)數(shù)的底數(shù)．若存在，使得函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)________． 【答案】 【解析】分析：先轉(zhuǎn)化為存在零點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合分析兩種情況下求a的最大值和最小值得解. 當(dāng)直線y=ax+b過(guò)點(diǎn)且與相切時(shí)，最小， 設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為， 此時(shí) 所以a的最小值為 所以的取值范圍為. 故答案為： 點(diǎn)睛：(1)本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的能力. (2)本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化為存在零點(diǎn)，其二是如何數(shù)形結(jié)合分析兩個(gè)函數(shù)的圖像求出a的最大值和最小值. 13．【2018屆山西省孝義市一?！慨?dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】分析：先分離參數(shù)得到a，構(gòu)造函數(shù)f（x）=．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍． 詳解：∵x＞1時(shí)，不等式（x﹣1）ex+1＞ax2恒成立 ∴（x﹣1）ex﹣ax2+1＞0恒成立， ∴a，在（1，+∞）恒成立， 設(shè)f（x）=， f′（x）= ∵x2ex﹣2（x﹣1）ex+2=ex（x2﹣2x+2）+2=ex[（x﹣1）2+1]+2＞0恒成立， ∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立， ∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增， ∴f（x）min＞f（1）=1， ∴a≤1. 故填（﹣∞，1]． 點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是分離參數(shù)得到a，再構(gòu)造函數(shù)f（x）=．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．處理參數(shù)問(wèn)題常用分離參數(shù)的方法，可以提高解題效率，優(yōu)化解題. 14．【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺（三）】若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】分析：方程可通過(guò)變量分離得到，，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而可得參數(shù)范圍. 若方程存在兩個(gè)不同解，則，∴，， 設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且， ∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增， ∴， ∵，∴在上恒成立， ∴若方程存在兩個(gè)不同解，則，即. 故答案為：. 15．【2018屆廣東省肇慶市三模】已知函數(shù)，若有且只有一個(gè)整數(shù)根，則的取值范圍是_____. 【答案】 點(diǎn)睛：本題主要的技巧是分離函數(shù)和數(shù)形結(jié)合分析.把有且只有一個(gè)整數(shù)根等價(jià)轉(zhuǎn)化為是本題的關(guān)鍵，這里主要是利用了數(shù)形結(jié)合的思想. 16．【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】設(shè)函數(shù)（為非零實(shí)數(shù)），若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____________. 【答案】 【解析】分析：先令函數(shù)，得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，再根據(jù)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即可求得的取值范圍. 詳解：令，得. 設(shè)，則. 令，得，即在上為單調(diào)遞增； 令，得或，即在和單調(diào)遞減. ∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. ∵函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) ∴函數(shù)與有且僅有一個(gè)交點(diǎn) ∴ 故答案為. 點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解． 17．【2018屆寧夏銀川4月檢測(cè)】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出以下命題： ①當(dāng)時(shí)，； ②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)； ③若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是； ④對(duì)恒成立， 其中，正確命題的序號(hào)是__________． 【答案】①④ 【解析】依題意，令，則，所以，即，故①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋栽谏?，，在上，由此可判斷函?shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可得函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，故該函?shù)有個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；作出函數(shù)的圖象如圖所示： 若方程有解，則，且對(duì)恒成立，故③錯(cuò)誤，④正確. 故答案為①④. 三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 18．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測(cè)】已知函數(shù) (I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)； (Ⅱ)證明:(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 【答案】（I）．（Ⅱ）見(jiàn)解析. （Ⅱ）設(shè)， 則函數(shù)在單調(diào)遞減，且，， 所以存在，使，即， 所以 ， 所以，且在區(qū)間單調(diào)遞增，區(qū)間單調(diào)遞減． 所以 ＝． 19.【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應(yīng)性考試】已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求證： 【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析. 【解析】分析：（1）求切線方程先求導(dǎo)，然后代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)的出切線斜率即可求得切線方程；（2）分析函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值即可. （Ⅰ） 所以則切線方程為 （Ⅱ）令則設(shè)的兩根為， 由于不妨設(shè)則在是遞減的，在是遞增的， 而所以在單調(diào)遞增， 所以，因?yàn)? 所以. 點(diǎn)睛：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和單調(diào)性最值的應(yīng)用，屬于常規(guī)題. 20．【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）. 【解析】分析：（1）由題意求得，令得 或，分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極大值與極小值，又由要對(duì)任意的 恒成立，結(jié)合圖象得，即可求解. （2）因?yàn)?，則. 且由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以函數(shù)的極大值與極小值分別為. 若要對(duì)任意的恒成立， 結(jié)合圖象可知只需滿足即可， 解得. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 21．已知函數(shù)，其中． （1）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，證明：； （3）當(dāng)時(shí)，試判斷方程是否有實(shí)數(shù)解，并說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）無(wú)解. 【解析】分析：（1）解不等式得到a的范圍. (2)證明的最大值小于等于零.(3) 設(shè)，，再，最后判斷方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解． 詳解：（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)， 所以在上恒成立， 即，在上恒成立， 則． （2）當(dāng)時(shí)，，． 令，得， 令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增； 令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減， 所以， 所以成立． （3）由（2）知，，所以． 設(shè)，，所以． 令，得， 令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增； 令，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減， 所以，即， 所以，即． 所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解． 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題、最值和零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題，把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，，，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解． 22．【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數(shù). （Ⅰ）若方程只有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性可得時(shí)， ， 時(shí)， ,且，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立，等價(jià)于，先排除，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 所以對(duì)任意正實(shí)數(shù)， 恒成立， 等價(jià)于. ∵. （1）當(dāng)時(shí)， ，與式矛盾，故不合題意. （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， 所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. ，所以. 綜合（1）（2）知實(shí)數(shù)的取值范圍為.