(浙江專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(測).doc
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(浙江專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(測).doc
第05節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
班級__________ 姓名_____________ 學(xué)號___________ 得分__________
一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【2018屆山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二?!亢瘮?shù)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.如圖所示,連結(jié)棱長為2的正方體各面的中心得一個多面體容器,從頂點(diǎn)處向該容器內(nèi)注水,注滿為止.已知頂點(diǎn)到水面的高度以每秒1勻速上升,記該容器內(nèi)水的體積與時間的函數(shù)關(guān)系是,則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像大致是( )
【答案】D
【解析】
正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體,棱長為,高為2,
設(shè)時間為t時,當(dāng)t≤1時,此時水面的邊長為b,,則,則水面的面積為,該容器內(nèi)水的體積,當(dāng)t>1時,此時水面的邊長為c,,則,則水面的面積為,該容器內(nèi)水的體積,
∴
3. “函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分不用必要條件
【答案】B
【解析】 ,所以若函數(shù)存在零點(diǎn),則 ,因此“函數(shù)存在零點(diǎn)”是“”的必要不充分條件,選B.
4. 【2018屆云南省玉溪市高三適應(yīng)性訓(xùn)練】函數(shù),則使得成立的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),通過解析式可以判斷出當(dāng)時.而在左右兩側(cè)單調(diào)性不同,所以可以根據(jù)函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性及在處取得極小值的性質(zhì),求出不等式的解集.
詳解: 且令 得
所以當(dāng) 時,,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng) 時,,函數(shù)單調(diào)遞增;
若,
則 或
解不等式得或
即 的解集為C.
5.【2018屆北京市十一學(xué)校三模】已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由題意可知有解,即在有解,求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可知m的范圍.
解析:函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點(diǎn),
有解,
,
在有解,
,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,
.
故選:D.
6.【2018屆安徽省淮南市二模】函數(shù),則方程恰有兩個不同的實(shí)根時,實(shí)數(shù)范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析: 由方程f(x)=kx恰有兩個不同實(shí)數(shù)根,等價于y=f(x)與y=kx有2個交點(diǎn),又k表示直線y=kx的斜率,數(shù)形結(jié)合求出k的取值范圍.
詳解: ∵方程f(x)=kx恰有兩個不同實(shí)數(shù)根,∴y=f(x)與y=kx有2個交點(diǎn),
又∵k表示直線y=kx的斜率,
x>1時,y=f(x)=lnx,∴y′=;
設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則k=,
∴切線方程為y﹣y0=(x﹣x0),
又切線過原點(diǎn),∴y0=1,x0=e,k=,
如圖所示;結(jié)合圖象,可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故答案為:C
7.【浙江省金華市浦江縣2018年高考適應(yīng)性考試】已知函數(shù),則( )
A. 當(dāng)時,在單調(diào)遞減 B. 當(dāng)時,在單調(diào)遞減
C. 當(dāng)時,在單調(diào)遞增 D. 當(dāng)時,在單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】分析:求導(dǎo)然后分析函數(shù)單調(diào)性根據(jù)a,b取值情況,重點(diǎn)分析最值即可得出原函數(shù)的單調(diào)情況,從而得出結(jié)論
詳解:,當(dāng)令則,所以 h(x)在(0,2)遞減, (2,)遞增, h(x)的最小值是h(2)=0,所以則 在單調(diào)遞增,選D
8.【四川省成都市2018年高考模擬試卷(一)】己知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有3個不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:由題意,函數(shù),得,得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值,再又方程,解得或,結(jié)合圖象,即可求解.
要使得方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)解,
則,解得,故選C.
9.【2018屆安徽省示范高中(皖江八校)5月聯(lián)考】設(shè)函數(shù) (為自然對數(shù)的底數(shù)),當(dāng)時恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
分別作出的圖像,要使的圖象在的圖象下方,
設(shè)切點(diǎn),切線為,
即,
由切線過得,,
解得或或,
由圖像可知.故選D.
10.【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三?!恳阎瘮?shù)有兩個零點(diǎn),且,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:先通過函數(shù)有兩個零點(diǎn)求出,再利用導(dǎo)數(shù)證明,即證明.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個零點(diǎn),所以
又
又
令
則
所以函數(shù)g(x)在上為減函數(shù),=0,又,
又,
∴,即.
故答案為:B
二、填空題:本大題共7小題,共36分.
11.【2018屆湖南省衡陽市二?!亢瘮?shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象恰有兩個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值是__________.
【答案】
【解析】當(dāng)x≤0時,函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖象恰有一個交點(diǎn),
設(shè)當(dāng)x>0時, 的圖像與相切于點(diǎn),
因?yàn)?
故填.
點(diǎn)睛:解答與曲線切線有關(guān)的問題,如果不知道切點(diǎn),一般都要設(shè)切點(diǎn),再求切線的方程. 再利用其它條件轉(zhuǎn)化求解.本題就是按照這種技巧解答的.
12.【2018屆江蘇省南京市三?!恳阎獮樽匀粚?shù)的底數(shù).若存在,使得函數(shù)在上存在零點(diǎn),則的取值范圍為_________.
【答案】
【解析】分析:先轉(zhuǎn)化為存在零點(diǎn),再利用數(shù)形結(jié)合分析兩種情況下求a的最大值和最小值得解.
當(dāng)直線y=ax+b過點(diǎn)且與相切時,最小,
設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為,
此時
所以a的最小值為
所以的取值范圍為.
故答案為:
點(diǎn)睛:(1)本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的能力. (2)本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn),其一是轉(zhuǎn)化為存在零點(diǎn),其二是如何數(shù)形結(jié)合分析兩個函數(shù)的圖像求出a的最大值和最小值.
13.【2018屆山西省孝義市一?!慨?dāng),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】分析:先分離參數(shù)得到a,構(gòu)造函數(shù)f(x)=.利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.
詳解:∵x>1時,不等式(x﹣1)ex+1>ax2恒成立
∴(x﹣1)ex﹣ax2+1>0恒成立,
∴a,在(1,+∞)恒成立,
設(shè)f(x)=,
f′(x)=
∵x2ex﹣2(x﹣1)ex+2=ex(x2﹣2x+2)+2=ex[(x﹣1)2+1]+2>0恒成立,
∴f′(x)>0,在(1,+∞)恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,
∴f(x)min>f(1)=1,
∴a≤1.
故填(﹣∞,1].
點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是分離參數(shù)得到a,再構(gòu)造函數(shù)f(x)=.利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.處理參數(shù)問題常用分離參數(shù)的方法,可以提高解題效率,優(yōu)化解題.
14.【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺(三)】若關(guān)于的方程在上有兩個不同的解,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】分析:方程可通過變量分離得到,,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性及最值,從而可得參數(shù)范圍.
若方程存在兩個不同解,則,∴,,
設(shè),則在上單調(diào)遞增,且,
∴在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
∴,
∵,∴在上恒成立,
∴若方程存在兩個不同解,則,即.
故答案為:.
15.【2018屆廣東省肇慶市三?!恳阎瘮?shù),若有且只有一個整數(shù)根,則的取值范圍是_____.
【答案】
點(diǎn)睛:本題主要的技巧是分離函數(shù)和數(shù)形結(jié)合分析.把有且只有一個整數(shù)根等價轉(zhuǎn)化為是本題的關(guān)鍵,這里主要是利用了數(shù)形結(jié)合的思想.
16.【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】設(shè)函數(shù)(為非零實(shí)數(shù)),若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn),則的取值范圍為_____________.
【答案】
【解析】分析:先令函數(shù),得,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值,再根據(jù)函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)等價于函數(shù)與有且僅有一個交點(diǎn),即可求得的取值范圍.
詳解:令,得.
設(shè),則.
令,得,即在上為單調(diào)遞增;
令,得或,即在和單調(diào)遞減.
∴當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
∵函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)
∴函數(shù)與有且僅有一個交點(diǎn)
∴
故答案為.
點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
17.【2018屆寧夏銀川4月檢測】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,給出以下命題:
①當(dāng)時,;
②函數(shù)有個零點(diǎn);
③若關(guān)于的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;
④對恒成立,
其中,正確命題的序號是__________.
【答案】①④
【解析】依題意,令,則,所以,即,故①正確;當(dāng)時,,當(dāng)時,,即函數(shù)在上為減函數(shù),當(dāng)時,,即函數(shù)在上為增函數(shù),因?yàn)椋栽谏?,,在上,由此可判斷函?shù)在上僅有一個零點(diǎn),由對稱性可得函數(shù)在上有一個零點(diǎn),又因?yàn)?,故該函?shù)有個零點(diǎn),故②錯誤;作出函數(shù)的圖象如圖所示:
若方程有解,則,且對恒成立,故③錯誤,④正確.
故答案為①④.
三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
18.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】已知函數(shù)
(I)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù);
(Ⅱ)證明:(為自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(I).(Ⅱ)見解析.
(Ⅱ)設(shè),
則函數(shù)在單調(diào)遞減,且,,
所以存在,使,即,
所以 ,
所以,且在區(qū)間單調(diào)遞增,區(qū)間單調(diào)遞減.
所以
=.
19.【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應(yīng)性考試】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證:
【答案】(1).(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)求切線方程先求導(dǎo),然后代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)的出切線斜率即可求得切線方程;(2)分析函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值即可.
(Ⅰ)
所以則切線方程為
(Ⅱ)令則設(shè)的兩根為,
由于不妨設(shè)則在是遞減的,在是遞增的,
而所以在單調(diào)遞增,
所以,因?yàn)?
所以.
點(diǎn)睛:考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和單調(diào)性最值的應(yīng)用,屬于常規(guī)題.
20.【騰遠(yuǎn)2018年(浙江卷)紅卷】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】分析:(1)由題意求得,令得 或,分類討論即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由(1)知,當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的極大值與極小值,又由要對任意的 恒成立,結(jié)合圖象得,即可求解.
(2)因?yàn)椋瑒t.
且由(1)知,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的極大值與極小值分別為.
若要對任意的恒成立,
結(jié)合圖象可知只需滿足即可,
解得.
點(diǎn)睛:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,以及不等式的恒成立問題的求解,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力,對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù);(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決函數(shù)的恒成立與有解問題,同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
21.已知函數(shù),其中.
(1)若在區(qū)間上為增函數(shù),求的取值范圍;
(2)當(dāng)時,證明:;
(3)當(dāng)時,試判斷方程是否有實(shí)數(shù)解,并說明理由.
【答案】(1);(2)見解析;(3)無解.
【解析】分析:(1)解不等式得到a的范圍. (2)證明的最大值小于等于零.(3) 設(shè),,再,最后判斷方程沒有實(shí)數(shù)解.
詳解:(1)因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù),
所以在上恒成立,
即,在上恒成立,
則.
(2)當(dāng)時,,.
令,得,
令,得,所以函數(shù)在單調(diào)遞增;
令,得,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,
所以,
所以成立.
(3)由(2)知,,所以.
設(shè),,所以.
令,得,
令,得,所以函數(shù)在單調(diào)遞增;
令,得,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,
所以,即,
所以,即.
所以方程沒有實(shí)數(shù)解.
點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題、最值和零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題,把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為最值問題,,,所以方程沒有實(shí)數(shù)解.
22.【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數(shù).
(Ⅰ)若方程只有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),若對任意正實(shí)數(shù), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,根據(jù)單調(diào)性可得時, , 時, ,且,結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)果;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,對任意正實(shí)數(shù), 恒成立,等價于,先排除,當(dāng)時,利用導(dǎo)數(shù)可得,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
所以對任意正實(shí)數(shù), 恒成立,
等價于.
∵.
(1)當(dāng)時, ,與式矛盾,故不合題意.
(2)當(dāng)時,
當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,
所以在上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
,所以.
綜合(1)(2)知實(shí)數(shù)的取值范圍為.