（浙江專版）2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.9 函數(shù)的綜合問題與實(shí)際應(yīng)用（講）.doc

第09節(jié) 函數(shù)的綜合問題與實(shí)際應(yīng)用 【考綱解讀】 考 點(diǎn) 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計(jì) 分析預(yù)測(cè) 函數(shù)的簡單應(yīng)用 能將一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題，并給予解決. 2014?浙江理10； 2015?浙江文20；理18； 2016?浙江文12，20；理18； 2017?浙江17.； 2018?浙江7,11，15. 1.會(huì)從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型，進(jìn)而利用函數(shù)知識(shí)求解； 2.函數(shù)的綜合應(yīng)用. 3.常與二次函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯． 4.備考重點(diǎn) （1）一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型. （2）函數(shù)的綜合應(yīng)用. 【知識(shí)清單】 1. 常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函數(shù)模型：y＝(k≠0). (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0). (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 2.指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對(duì)平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax 【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1 一次函數(shù)與分段函數(shù)模型 【1-1】 甲、乙兩人同時(shí)從A地趕往B地，甲先騎自行車到中點(diǎn)改為跑步，而乙則是先跑步，到中點(diǎn)后改為騎自行車，最后兩人同時(shí)到達(dá)B地. 已知甲騎自行車比乙騎自行車快. 若每人離開甲地的距離與所用時(shí)間的函數(shù)用圖象表示，則甲、乙兩人的圖象分別是( ) A． 甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4) C． 甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4) 【答案】B 【解析】顯然甲圖象為(1)或(3)，乙圖象為(2)或(4).又因?yàn)?甲騎車比乙騎車快，即甲前一半路程圖象的中隨的變化比乙后一半路程隨的變化要快，所以 甲為(1)，乙為(4).選B. 【1-2】【2018屆廣東省深圳中學(xué)高三第一次測(cè)試】中國移動(dòng)通信公司早前推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“個(gè)性化套餐”,具體方案如下： 方案代號(hào) 基本月租（元） 免費(fèi)時(shí)間（分鐘） 超過免費(fèi)時(shí)間的話費(fèi)（元/分鐘） 1 30 48 0．60 2 98 170 0．60 3 168 330 0．50 4 268 600 0．45 5 388 1000 0．40 6 568 1700 0．35 7 788 2588 0．30 （I）寫出“套餐”中方案的月話費(fèi)（元）與月通話量（分鐘）（月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和）的函數(shù)關(guān)系式； （II）學(xué)生甲選用方案，學(xué)生乙選用方案，某月甲乙兩人的電話資費(fèi)相同,通話量也相同，求該月學(xué)生甲的電話資費(fèi)； （III）某用戶的月通話量平均為320分鐘，則在表中所列出的七種方案中，選擇哪種方案更合算，說明理由. 【答案】(1) （2）元. （3）見解析 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意分和兩種情況求得關(guān)系式，寫成分段函數(shù)的形式；（2）設(shè)該月甲乙兩人的電話資費(fèi)均為元,通話量均為分鐘，分， 和三種情形分別求解判斷；（3）分別求出三種方案中的月話費(fèi)，通過比較大小可得結(jié)論。 （2）設(shè)該月甲乙兩人的電話資費(fèi)均為元,通話量均為分鐘. ①當(dāng)時(shí), 甲乙兩人的電話資費(fèi)分別為元, 元,不相等； ②當(dāng)時(shí), 甲乙兩人的電話資費(fèi)分別為（元）, 元, ,； ③當(dāng)時(shí), 甲乙兩人的電話資費(fèi)分別為（元）, （元）, 解得 所以該月學(xué)生甲的電話資費(fèi)元. （3）月通話量平均為320分鐘，方案的月話費(fèi)為：30+0.6（320-48）=193.2（元）； 方案的月話費(fèi)為：98+0.6（320-170）=188（元）； 方案的月話費(fèi)為168元. 其它方案的月話費(fèi)至少為268元. 經(jīng)比較, 選擇方案更合算. 【領(lǐng)悟技法】 1．在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)． 2．在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)．如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)． 分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)． 【觸類旁通】 【變式一】小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 【答案】C 【解析】出發(fā)時(shí)距學(xué)校最遠(yuǎn)，先排除A，中途堵塞停留，距離沒變，再排除D，堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B. 【變式二】某網(wǎng)民用電腦上因特網(wǎng)有兩種方案可選：一是在家里上網(wǎng)，費(fèi)用分為通訊費(fèi)(即電話費(fèi))與網(wǎng)絡(luò)維護(hù)費(fèi)兩部分．現(xiàn)有政策規(guī)定：通訊費(fèi)為0.02元/分鐘，但每月30元封頂(即超過30元?jiǎng)t只需交30元)，網(wǎng)絡(luò)維護(hù)費(fèi)1元/小時(shí)，但每月上網(wǎng)不超過10小時(shí)則要交10元；二是到附近網(wǎng)吧上網(wǎng)，價(jià)格為1.5元/小時(shí)． （Ⅰ）將該網(wǎng)民某月內(nèi)在家上網(wǎng)的費(fèi)用y(元)表示為時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)； （Ⅱ）試確定在何種情況下，該網(wǎng)民在家上網(wǎng)更便宜？ 【答案】 考點(diǎn)2 二次函數(shù)模型 【2-1】【山東省青島市2018年春季高考第二次模擬】山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場(chǎng)上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地.上市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格元/千克在本市收購了千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預(yù)測(cè)，香菇的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克將上漲元，但冷庫存放這批香菇時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)元，而且香菇在冷庫中最多保存天，同時(shí)，平均每天有千克的香菇損壞不能出售. （1）若存放天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）李經(jīng)理如果想獲得利潤元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費(fèi)用） （3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【答案】（1）（2）將這批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可獲得最大利潤為元. 【解析】分析：（1）根據(jù)銷售總金額的定義寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)根據(jù)利潤=銷售總金額-收購成本-各種費(fèi)用得到關(guān)于x的方程，解方程即得解.(3)先寫出利潤的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最大利潤. （3）設(shè)利潤為，則由（2）得， ； 因此當(dāng)時(shí)，； 又因?yàn)?，所以李?jīng)理將這批香菇存放天后出售可獲得最大利潤為元. 【2-2】【2018屆上海市松江、閔行區(qū)二模】某公司利用線上、實(shí)體店線下銷售產(chǎn)品，產(chǎn)品在上市天內(nèi)全部售完.據(jù)統(tǒng)計(jì)，線上日銷售量、線下日銷售量（單位：件）與上市時(shí)間 天的關(guān)系滿足： ，產(chǎn)品每件的銷售利潤為(單位：元)（日銷售量線上日銷售量線下日銷售量）. （1）設(shè)該公司產(chǎn)品的日銷售利潤為，寫出的函數(shù)解析式； （2）產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元？ 【答案】(1) (2)第5天至第15天該公司日銷售利潤不低于元. 【解析】試題分析： （1）由題意分類討論，分別求得銷售量，然后與相應(yīng)的利潤相乘可得利潤函數(shù)的解析式為 （2）結(jié)合(1)中的利潤函數(shù)分類討論求解二次不等式可得第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元. 試題解析： （1）由題意可得： 當(dāng)時(shí)，銷售量為，銷售利潤為：； 當(dāng)時(shí)，銷售量為，銷售利潤為：； 當(dāng)時(shí)，銷售量為，銷售利潤為：； 綜上可得： （2）當(dāng)時(shí)，由，解得； 當(dāng)時(shí)，由，解得； 當(dāng)時(shí)，由，無解. 故第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元. 【領(lǐng)悟技法】 有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等．構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決．在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，一定要注意定義域． 【觸類旁通】 【變式一】某汽車銷售公司在、兩地銷售同一中品牌的車，在地的銷售利潤（位：萬元）為，在地的銷售利潤（單位：萬元）為，其中為銷售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷售16輛這種品牌車，則能獲得的最大利潤是（ ） A． B. 萬元 C. 萬元 D. 萬元 【答案】C 【變式二】某廠有容量300噸的水塔一個(gè),每天從早六點(diǎn)到晚十點(diǎn)供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水,已知:該廠生活用水每小時(shí)10噸,工業(yè)用水總量(噸)與時(shí)間(單位:小時(shí),規(guī)定早晨六點(diǎn)時(shí))的函數(shù)關(guān)系為,水塔的進(jìn)水量有10級(jí),第一級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸,以后每提高一級(jí), 進(jìn)水量增加10噸.若某天水塔原有水100噸,在供應(yīng)同時(shí)打開進(jìn)水管.問該天進(jìn)水量應(yīng)選擇幾級(jí),既能保證該廠用水(即水塔中水不空),又不會(huì)使水溢出? 【答案】4級(jí). 【解析】設(shè)水塔進(jìn)水量選擇第級(jí),在時(shí)刻水塔中的水容量等于水塔中的存水量100噸加進(jìn)水量噸,減去生產(chǎn)用水噸,在減去工業(yè)用水噸,即()； 若水塔中的水量既能保證該廠用水,又不會(huì)使水溢出,則一定有. 即, 所以對(duì)一切恒成立. 因?yàn)?, 所以,即.即進(jìn)水選擇4級(jí). 考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)模型 【3-1】【2018屆安徽省淮南市第二中學(xué)、宿城第一中學(xué)第四次考試】某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位： ）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， 為常數(shù)），若該食品在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是（ ）小時(shí). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可得時(shí)， x=22時(shí)，y=48代入可得， 即有 則當(dāng)時(shí)， 故選D 【3-2】某工廠一年中十二月份的產(chǎn)量是一月份產(chǎn)量的倍，那么該工廠這一年中的月平均增長率是（ ） A. B. C.－1 D.－1 【答案】D 【解析】設(shè)該廠一月份產(chǎn)量為，這一年中月平均增長率為. 則，解得.故選D. 【領(lǐng)悟技法】 1．指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示． 2．應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型． 3．y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解． 4．對(duì)于直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長的特點(diǎn)要注意區(qū)分： 直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對(duì)數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎(jiǎng)金選擇對(duì)數(shù)模型增長． 1．在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：忽視實(shí)際問題對(duì)變量x的限制即定義域．將側(cè)面積、容積求錯(cuò)，從而造成后續(xù)的求解不正確． 2．解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考中要高度關(guān)注： ①讀不懂實(shí)際背景，不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型． ②對(duì)涉及的相關(guān)公式，記憶錯(cuò)誤． ③在求解的過程中計(jì)算錯(cuò)誤． 另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解． 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆湖南省衡陽縣12月聯(lián)考】某科技股份有限公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2016年全年投入的研發(fā)資金為100萬無，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過200萬元年年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)： ） A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年 【答案】C 【變式二】衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為：，若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?；若一個(gè)新丸體積變?yōu)椋瑒t需經(jīng)過的天數(shù)為 A．75天 B．100天 C．125天 D．150天 【答案】A. 【解析】由題意，得，解得；令，即， 即需經(jīng)過的天數(shù)為75天. 考點(diǎn)4 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 【4-1】我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位，其中表示燕子的耗氧量. 則當(dāng)燕子靜止時(shí)的耗氧量時(shí)單位和當(dāng)一只燕子的耗氧量是個(gè)單位時(shí)的飛行速度分別是（ ） A．10 個(gè) 15 B. 10 個(gè) 8 C. 15 個(gè) 15 D. 50 個(gè) 15 【答案】A 【解析】由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度，代入，即， 解得個(gè)單位. 所以 . 【4-2】某種放射性元素的原子數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律是，其中、為正的常數(shù). 由放射性元素的這種性質(zhì)，可以制造高精度的時(shí)鐘，用原子數(shù)表示時(shí)間為 . 【答案】 【解析】因?yàn)椋?，兩邊取以為底的?duì)數(shù)，所以. 【領(lǐng)悟技法】 解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟： ①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； ②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； ③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； ④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義． 【觸類旁通】 【變式一】 2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則________年我國人口將超過20億．(≈0.301 0，≈0.477 1，≈0.845 1) 【答案】2037 【解析】由已知條件：%）， 所以， 則，即. 【變式二】某公司為了實(shí)現(xiàn)2013年銷售利潤1 000萬元的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：從銷售利潤達(dá)到10萬元開始，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過銷售利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝ln x＋1，問其中是否有模型能完全符合公司的要求？請(qǐng)說明理由． (參考數(shù)據(jù)：，，) 【答案】獎(jiǎng)勵(lì)模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求． 【解析】由題意，符合公司要求的模型需同時(shí)滿足：當(dāng)x∈[10，1 000]時(shí)， ①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x25%. （1）對(duì)于y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x>200時(shí)，y>5，不滿足公司的要求； （2）對(duì)于y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x>538時(shí)，不滿足公司的要求； （3）對(duì)于y＝ln x＋1，易知滿足①. 當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí)，y≤ln 1 000＋1. 下面證明ln 1 000＋1<5. ∵ln 1 000＋1－5＝ln 1 000－4＝(ln 1 000－8)＝(ln 1 000－ln 2 981)<0，滿足②. 再證明ln x＋1≤x25%，即2ln x＋4－x≤0. 設(shè)F(x)＝2ln x＋4－x，則F′(x)＝－1＝<0，x∈[10,1 000]， ∴F(x)在[10,1 000]上為減函數(shù)，F(xiàn)(x)max＝F(10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，滿足③. 綜上，獎(jiǎng)勵(lì)模型y＝ln x＋1能完全符合公司的要求． 考點(diǎn)5 函數(shù)的綜合應(yīng)用 【5-1】【2018年浙江卷】我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，___________，___________． 【答案】 8 11 【解析】分析:將z代入解方程組可得x,y值. 詳解： 點(diǎn)睛：實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口． 【5-2】【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù)，函數(shù).若對(duì)任意的，都存在，使得成立，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】分析：由題意，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，即有成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式，分別求解函數(shù)和的最小值，得到不等式，即可求解. 詳解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以， 由題意，若對(duì)任意的，都存在，使得成立， 即有成立， 又由， 因?yàn)?，且? 所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為， 所以，解得，即的取值范圍是. 【5-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1， 設(shè)． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）． （Ⅱ）由已知可得，所以可化為， 化為，令，則，因，故， 記，因?yàn)?，故? 所以的取值范圍是． 【領(lǐng)悟技法】 1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù). 2.求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值. 【觸類旁通】 【變式一】【2017天津，文8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】 【變式二】已知函數(shù),當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】設(shè)，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應(yīng)填答案. 【易錯(cuò)試題常警惕】 易錯(cuò)典例：如圖所示，在矩形中，已知，（，在、、、上分別截取、、、都等于，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？求出這個(gè)最大面積. 易錯(cuò)分析：忽略了實(shí)際問題中自變量的取值范圍，，由于，所以當(dāng)時(shí)， 自變量不能取到，面積不能取得最大值. 綜上所述，若，當(dāng)時(shí)面積取得最大值； 若，當(dāng)時(shí)面積取得最大值. 溫馨提醒：解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時(shí)，要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果. 利用函數(shù)處理方程解的問題，方法如下： (1)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y＝f(x)，x∈I}?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有交點(diǎn)． (2)方程f(x)＝a在區(qū)間I上有幾個(gè)解?y＝f(x)與y＝a的圖象在區(qū)間I上有幾個(gè)交點(diǎn)． 一般地，在探究方程解的個(gè)數(shù)或已知解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍時(shí)，常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答． 【典例】【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?！恳阎瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果. 詳解：當(dāng)時(shí)，， ， 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖像， 動(dòng)直線過定點(diǎn)，當(dāng)再過時(shí)，斜率， 由圖象可知當(dāng)時(shí)，兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 從而有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選D.