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第09節(jié) 函數的綜合問題與實際應用
【考綱解讀】
考 點
考綱內容
5年統計
分析預測
函數的簡單應用
能將一些簡單的實際問題轉化為相應的函數問題,并給予解決.
2014?浙江理10;
2015?浙江文20;理18;
2016?浙江文12,20;理18;
2017?浙江17.;
2018?浙江7,11,15.
1.會從實際問題中抽象出函數模型,進而利用函數知識求解;
2.函數的綜合應用.
3.常與二次函數、三角函數、數列、基本不等式及導數等知識交匯.
4.備考重點
(1)一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數以及其他函數模型.
(2)函數的綜合應用.
【知識清單】
1. 常見的幾種函數模型
(1)一次函數模型:y=kx+b(k≠0).
(2)反比例函數模型:y=(k≠0).
(3)二次函數模型:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).
(4)指數函數模型:y=abx+c(b>0,b≠1,a≠0).
(5)對數函數模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0).
2.指數、對數及冪函數三種增長型函數模型的圖象與性質
函數
性質
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xn
(n>0)
在(0,+∞)
上的增減性
單調遞增
單調遞增
單調遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax
200時,y>5,不滿足公司的要求;
(2)對于y=1.003x,易知滿足①,但當x>538時,不滿足公司的要求;
(3)對于y=ln x+1,易知滿足①.
當x∈[10,1 000]時,y≤ln 1 000+1.
下面證明ln 1 000+1<5.
∵ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,滿足②.
再證明ln x+1≤x25%,即2ln x+4-x≤0.
設F(x)=2ln x+4-x,則F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],
∴F(x)在[10,1 000]上為減函數,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,滿足③.
綜上,獎勵模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.
考點5 函數的綜合應用
【5-1】【2018年浙江卷】我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一,凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設雞翁,雞母,雞雛個數分別為,,,則當時,___________,___________.
【答案】 8 11
【解析】分析:將z代入解方程組可得x,y值.
詳解:
點睛:實際問題數學化,利用所學的知識將陌生的性質轉化為我們熟悉的性質,是解決這類問題的突破口.
【5-2】【騰遠2018年(浙江卷)紅卷】已知函數,函數.若對任意的,都存在,使得成立,則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】分析:由題意,若對任意的,都存在,使得成立,即有成立,利用二次函數的性質和絕對值不等式,分別求解函數和的最小值,得到不等式,即可求解.
詳解:因為函數,所以,
由題意,若對任意的,都存在,使得成立,
即有成立,
又由,
因為,且,
所以,當時取等號,即的最小值為,
所以,解得,即的取值范圍是.
【5-3】已知函數在區(qū)間上有最大值4和最小值1,
設.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
(Ⅱ)由已知可得,所以可化為,
化為,令,則,因,故,
記,因為,故,
所以的取值范圍是.
【領悟技法】
1.函數零點個數的判斷方法:(1)直接求零點,令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點;(2)零點存在性定理,要求函數在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數;(3)利用圖象交點個數,作出兩函數圖象,觀察其交點個數即得零點個數.
2.求函數最值常利用基本不等式法、導數法、函數的單調性等方法.在求分段函數的最值時,應先求每一段上的最值,然后比較得最大值、最小值.
【觸類旁通】
【變式一】【2017天津,文8】已知函數設,若關于的不等式在上恒成立,則的取值范圍是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】
【解析】
【變式二】已知函數,當時,設的最大值為,則的最小值為__________.
【答案】
【解析】設,則,由于,則,所以將以上三式兩邊相加可得,即,應填答案.
【易錯試題常警惕】
易錯典例:如圖所示,在矩形中,已知,(,在、、、上分別截取、、、都等于,當為何值時,四邊形的面積最大?求出這個最大面積.
易錯分析:忽略了實際問題中自變量的取值范圍,,由于,所以當時,
自變量不能取到,面積不能取得最大值.
綜上所述,若,當時面積取得最大值;
若,當時面積取得最大值.
溫馨提醒:解決此類問題,關鍵是利用已知條件,建立函數模型,然后化簡整理函數解析式.
【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數形結合百般好,隔裂分家萬事休——數形結合思想
我國著名數學家華羅庚曾說過:"數形結合百般好,隔裂分家萬事休。""數"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數形結合,主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來,通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標表示和坐標運算又具備數的特征,因此,向量融數與形于一身,具備了幾何形式與代數形式的“雙重身份”.因此,在應用向量解決問題或解答向量問題時,要注意恰當地運用數形結合思想,將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達到事半功倍的效果.
利用函數處理方程解的問題,方法如下:
(1)方程f(x)=a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y=f(x),x∈I}?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有交點.
(2)方程f(x)=a在區(qū)間I上有幾個解?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有幾個交點.
一般地,在探究方程解的個數或已知解的個數求參數的范圍時,常采用轉化與化歸的思想將問題轉化為兩函數圖象的交點個數問題,從而可利用數形結合的方法給予直觀解答.
【典例】【2018屆天津市河東區(qū)二模】已知函數滿足,當時,,若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根,則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:首先根據題意,求得函數在相應的區(qū)間上的解析式,之后在同一個坐標系內畫出函數的圖像,之后將函數的零點問題轉化為對應曲線交點的個數問題,結合圖形,得到結果.
詳解:當時,, ,
在同一坐標系內畫出的圖像,
動直線過定點,當再過時,斜率,
由圖象可知當時,兩圖象有兩個不同的交點,
從而有兩個不同的零點,故選D.
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