（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 11.1 隨機(jī)事件與古典概型精練.docx

11.1　隨機(jī)事件與古典概型 【真題典例】 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.事件與概率 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別 2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式 2016天津文,2 互斥事件的概率加法公式 互斥事件、相互獨(dú)立事件 ★★☆ 2.古典概型 1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式 2.會(huì)計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 2018天津文,15 2017天津文,3 2015天津文,15 2014天津文,15 古典概型的應(yīng)用 列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含基本事件數(shù) ★★★ 分析解讀　　一、事件與概率 1.了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在的規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義. 2.了解等可能事件概率的意義,會(huì)用排列、組合的基本公式計(jì)算一些等可能事件的概率. 3.用互斥事件的概率公式計(jì)算事件的概率是高考的熱點(diǎn). 二、古典概型 在古典概型條件下,能用事件的概率公式解決實(shí)際問(wèn)題. 本節(jié)在高考中單獨(dú)命題時(shí),通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值約為5分,屬于中低檔題.隨機(jī)事件、古典概型與隨機(jī)變量的分布列、期望與方差等綜合在一起考查時(shí),一般以解答題的形式出現(xiàn),分值約為13分,屬于中檔題. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　事件與概率 1.(2018課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　) A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3 答案　D　 2.近年來(lái)共享單車(chē)在我國(guó)主要城市發(fā)展迅速.目前市場(chǎng)上有多種類(lèi)型的共享單車(chē),有關(guān)部門(mén)對(duì)其中三種品牌共享單車(chē)(M、Y、F)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(統(tǒng)計(jì)對(duì)象年齡在15~55歲),相關(guān)數(shù)據(jù)如表1,表2所示. 三種品牌共享單車(chē)使用人群年齡所占百分比(表1) 　　　　　　品牌 年齡分組　　　　　 M Y F [15,25) 25% 20% 35% [25,35) 50% 55% 25% [35,45) 20% 20% 20% [45,55] 5% a% 20% 不同性別選擇共享單車(chē)種類(lèi)情況統(tǒng)計(jì)(表2) 性別使用單車(chē)種類(lèi)數(shù)(種) 男 女 1 20% 50% 2 35% 40% 3 45% 10% (1)根據(jù)表1估算出使用Y品牌共享單車(chē)人群的平均年齡; (2)若從統(tǒng)計(jì)對(duì)象中隨機(jī)選取男女各一人,試估計(jì)男性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)大于女性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)的概率; (3)有一個(gè)年齡在25~35歲之間的共享單車(chē)用戶(hù),他使用Y品牌共享單車(chē)出行的概率最大,使用F品牌共享單車(chē)出行的概率最小.試問(wèn)此說(shuō)法是否正確?(只需寫(xiě)出結(jié)論) 解析　(1)a=5. 由表1知使用Y品牌共享單車(chē)人群的平均年齡的估計(jì)值為 2020%+3055%+4020%+505%=31. 答:使用Y品牌共享單車(chē)人群的平均年齡約為31歲. (2)設(shè)事件Ai為“男性選擇i種共享單車(chē)”,i=1,2,3,設(shè)事件Bi為“女性選擇i種共享單車(chē)”,i=1,2,3,設(shè)事件E為“男性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)大于女性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)”.由題意知,E=A2B1∪A3B1∪A3B2,因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58. 答:男性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)大于女性使用共享單車(chē)種類(lèi)數(shù)的概率為0.58. (3)此說(shuō)法不正確. 思路分析　(1)先利用表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)求出a,再利用均值公式得出結(jié)果;(2)把所求事件分解成幾個(gè)互斥事件,利用互斥事件概率的加法公式求概率;(3)利用概率的定義判斷正誤. 方法點(diǎn)撥　求隨機(jī)事件的概率時(shí),要抓住事件之間的關(guān)系,把所求事件進(jìn)行分解,利用概率的加法公式和乘法公式求概率. 考點(diǎn)二　古典概型 3.(2018課標(biāo)Ⅱ,8,5分)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是　(　　) A.112　　　　B.114　　　　C.115　　　　D.118 答案　C　 4.某校高三年級(jí)共有學(xué)生195人,其中女生105人,男生90人.現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法,從中抽取13人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.設(shè)其中某項(xiàng)問(wèn)題的選擇為“同意”“不同意”兩種,且每人都做了一種選擇.下面表格中提供了被調(diào)查人答卷情況的部分信息. 同意 不同意 合計(jì) 女學(xué)生 4 男學(xué)生 2 (1)完成上述統(tǒng)計(jì)表; (2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)估計(jì)高三年級(jí)學(xué)生對(duì)該項(xiàng)問(wèn)題選擇“同意”的人數(shù); (3)從被抽取的女生中隨機(jī)選取2人進(jìn)行訪(fǎng)談,求選取的2名女生中至少有一人選擇“同意”的概率. 解析　(1)統(tǒng)計(jì)表如下: 同意 不同意 合計(jì) 女學(xué)生 4 3 7 男學(xué)生 4 2 6 (2)估計(jì)高三年級(jí)學(xué)生該項(xiàng)問(wèn)題選擇“同意”的人數(shù)為47105+4690=60+60=120. (3)設(shè)選擇“同意”的4名女生分別為A1,A2,A3,A4,選擇“不同意”的3名女生分別為B1,B2,B3. 從7人中隨機(jī)選出2人的情況有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共21種.其中2人都選擇“不同意”的情況有B1B2,B1B3,B2B3,共3種.設(shè)“2名女生中至少有一人選擇‘同意’”為事件M,所以P(M)=1-321=67. 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　隨機(jī)事件的頻率與概率的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 1.(2014陜西,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(　　) A.15　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.45 答案　C　 2.(2016課標(biāo)Ⅱ,18,12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保　費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下: 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概　率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率; (2)若該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率; (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 解析　(1)設(shè)A表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分) (2)設(shè)B表示事件:“該續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率為311.(7分) (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X元,則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.(12分) 易錯(cuò)警示　對(duì)條件概率的定義理解不到位,或者不會(huì)運(yùn)用條件概率的求解公式,導(dǎo)致出錯(cuò). 評(píng)析本題考查了隨機(jī)事件的概率,同時(shí)考查了考生的應(yīng)用意識(shí)及數(shù)據(jù)處理能力,屬中檔題. 方法2　古典概型的求解方法 3.(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是　　　　. 答案　56 4.(2014江西,12,5分)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是　　　　. 答案　12 過(guò)專(zhuān)題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 1.(2017天津文,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.45　　　　B.35　　　　C.25　　　　D.15 答案　C　 2.(2016天津文,2,5分)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是12,甲獲勝的概率是13,則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A.56　　　　B.25　　　　C.16　　　　D.13 答案　A　 3.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng). (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人? (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作. ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果; ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率. 解析　(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人. (2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種. ②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種. 所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521. 易錯(cuò)警示　解決古典概型問(wèn)題時(shí),易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: (1)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤; (2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤; (3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時(shí),一個(gè)按有序,一個(gè)按無(wú)序處理導(dǎo)致錯(cuò)誤. 4.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽. (1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù); (2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽. (i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; (ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率. 解析　(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2. (2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種. (ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種. 因此,事件A發(fā)生的概率P(A)=915=35. 評(píng)析本題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力. 5.(2014天津文,15,13分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表: 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同). (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果; (2)設(shè)M為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率. 解析　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種. (2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種. 因此,事件M發(fā)生的概率P(M)=615=25. 評(píng)析本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力. B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　事件與概率 1.(2015湖北,2,5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為(　　) A.134石　　　　B.169石　　　　C.338石　　　　D.1365石 答案　B　 2.(2014課標(biāo)Ⅰ,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為(　　) A.18　　　　B.38　　　　C.58　　　　D.78 答案　D　 考點(diǎn)二　古典概型 1.(2017課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.110　　　　B.15　　　　C.310　　　　D.25 答案　D　 2.(2016課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是(　　) A.815　　　　B.18　　　　C.115　　　　D.130 答案　C　 3.(2015課標(biāo)Ⅰ,4,5分)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A.310　　　　B.15　　　　C.110　　　　D.120 答案　C　 4.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是　　　　. 答案　16 C組　教師專(zhuān)用題組 1.(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A.518　　　　B.49　　　　C.59　　　　D.79 答案　C　 2.(2015廣東文,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為(　　) A.0.4　　　　B.0.6　　　　C.0.8　　　　D.1 答案　B　 3.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為　　　　. 答案　310 4.(2013課標(biāo)Ⅱ,14,5分)從n個(gè)正整數(shù)1,2,…,n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為114,則n=　　　　. 答案　8 5.(2017山東文,16,12分)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游. (1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率; (2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率. 解析　本題考查古典概型. (1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè). 所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè), 則所求事件的概率P=315=15. (2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè). 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè), 則所求事件的概率為P=29. 6.(2015福建文,18,12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo).根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表所示. 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 (1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率; (2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù). 解析　(1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2.從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10個(gè). 其中,至少有1家融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9個(gè). 所以所求的概率P=910. (2)這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于 4.5220+5.5820+6.5720+7.5320=6.05. 評(píng)析本題主要考查古典概型、頻數(shù)分布表、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)等. 7.(2014四川文,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率. 解析　(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種. 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”為事件A, 則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種. 所以P(A)=327=19. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a+b=c”的概率為19. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B, 則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種. 所以P(B)=1-P(B)=1-327=89. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2018天津十二區(qū)縣二模,2)從大小相同的紅、黃、白、紫、粉5個(gè)小球中任選2個(gè),則取出的兩個(gè)小球中沒(méi)有紅色球的概率為(　　) A.25　　　　B.35　　　　C.56　　　　D.910 答案　B　 2.(2018天津河北質(zhì)量檢測(cè)(2),4)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè)組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率是(　　) A.15　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.45 答案　C　 3.(2017天津和平一模,2)一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球,這5個(gè)球除顏色外完全相同,從中摸出2個(gè)球,則這2個(gè)球顏色相同的概率為(　　) A.310　　　　B.35　　　　C.12　　　　D.25 答案　D　 4.(2018天津一中3月月考,3)若從集合{1,2,3,5}中隨機(jī)選出三個(gè)元素,則滿(mǎn)足其中兩個(gè)元素的和等于第三個(gè)元素的概率為(　　) A.14　　　　B.12　　　　C.34　　　　D.13 答案　B　 5.(2017天津河北一模,2)兩個(gè)袋中各裝有編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)小球,分別從每個(gè)袋中摸出一個(gè)小球,所得兩球編號(hào)之和小于5的概率為(　　) A.15　　　　B.725　　　　C.625　　　　D.25 答案　C　 6.(2017天津十二區(qū)縣一模,2)若從2個(gè)海濱城市和2個(gè)內(nèi)陸城市中隨機(jī)選2個(gè)去旅游,那么恰好選1個(gè)海濱城市的概率是(　　) A.13　　　　B.23　　　　C.14　　　　D.12 答案　B　 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.(2017天津河西一模,11)一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中一次隨機(jī)取出2個(gè)球,則至少取到1個(gè)黑球的概率為　　　　. 答案　56 8.(2017天津紅橋一模,10)經(jīng)統(tǒng)計(jì),在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表: 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí),至少有2人排隊(duì)的概率是　　　　. 答案　0.74 三、解答題(共80分) 9.(2018天津部分區(qū)縣質(zhì)量檢測(cè)(2),16)某區(qū)的區(qū)人大代表有教師6人,分別來(lái)自甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校,其中甲校教師記為A1,A2,乙校教師記為B1,B2,丙校教師記為C,丁校教師記為D.現(xiàn)從這6名教師中隨機(jī)選出3名教師組成十九大報(bào)告宣講團(tuán),要求甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校中,每校至多選出1名. (1)請(qǐng)列出十九大報(bào)告宣講團(tuán)組成人員的全部可能結(jié)果; (2)求教師A1被選中的概率; (3)求宣講團(tuán)中沒(méi)有乙校教師的概率. 解析　(1)從6名教師中隨機(jī)選出3名教師組成十九大報(bào)告宣講團(tuán),組成人員的全部可能結(jié)果有{A1,B1,C},{A1,B1,D},{A1,B2,C},{A1,B2,D},{A1,C,D},{A2,B1,C},{A2,B1,D},{A2,B2,C},{A2,B2,D},{A2,C,D},{B1,C,D},{B2,C,D},共12種. (2)由(1)可知A1被選中的結(jié)果有{A1,B1,C},{A1,B1,D},{A1,B2,C},{A1,B2,D},{A1,C,D},共5種,所以所求概率P=512. (3)由(1)可知宣講團(tuán)中沒(méi)有乙校教師的結(jié)果有{A1,C,D},{A2,C,D},共2種,所以所求概率P=212=16. 10.(2018天津南開(kāi)統(tǒng)練,15)甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng),對(duì)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客,兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下: 甲商場(chǎng):顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的圓盤(pán),指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形,且每個(gè)扇形圓心角均為15,邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng). 乙商場(chǎng):從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分),如果摸到的是2個(gè)紅球,即為中獎(jiǎng). 問(wèn):購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大? 解析　如果顧客去甲商場(chǎng),設(shè)題圖中圓盤(pán)的半徑為R,則抽獎(jiǎng)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤(pán)的面積πR2, 陰影部分的面積為415πR2360=πR26, 則在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率P1=πR26πR2=16; 如果顧客去乙商場(chǎng),記3個(gè)白球?yàn)閍1,a2,a3,3個(gè)紅球?yàn)閎1,b2,b3,記(x,y)為一次摸球的結(jié)果,則全部可能的結(jié)果有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15種, 摸到的是2個(gè)紅球的事件有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共3種,則在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率P2=315=15.因?yàn)镻1<P2,所以購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大. 解題分析　首先分別計(jì)算兩種方案中獎(jiǎng)的概率(記錄事件發(fā)生的全部結(jié)果的個(gè)數(shù)與滿(mǎn)足條件的事件的個(gè)數(shù),由等可能事件的概率公式求得相應(yīng)概率),然后比較概率大小,得結(jié)果. 評(píng)析本題考查等可能事件的概率計(jì)算以及幾何概率的求法,關(guān)鍵是正確列舉事件的全部情況. 11.(2018天津河?xùn)|二模,15)小明非常喜歡葫蘆娃七兄弟的人偶玩具,小明的媽媽答應(yīng)小明買(mǎi)其中的兩個(gè),小明面對(duì)紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七個(gè)造型各異的玩偶舉棋不定. (1)請(qǐng)列舉出小明購(gòu)買(mǎi)人偶的所有結(jié)果; (2)記事件X為“小明至少?gòu)募t、橙、黃三個(gè)人偶中購(gòu)買(mǎi)一個(gè)”,求事件X發(fā)生的概率. 解析　(1)設(shè)紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫七個(gè)玩偶分別為A、B、C、D、E、F、G,則選擇其中兩個(gè)的情況為21種,分別為{A,B}、{A,C}、{A,D}、{A,E}、{A,F}、{A,G}、{B,C}、{B,D}、{B,E}、{B,F}、{B,G}、{C,D}、{C,E}、{C,F}、{C,G}、{D,E}、{D,F}、{D,G}、{E,F}、{E,G}、{F,G}. (2)事件X為“小明至少?gòu)募t、橙、黃三個(gè)人偶中購(gòu)買(mǎi)一個(gè)”,其發(fā)生的情況為{A,B}、{A,C}、{A,D}、{A,E}、{A,F}、{A,G}、{B,C}、{B,D}、{B,E}、{B,F}、{B,G}、{C,D}、{C,E}、{C,F}、{C,G},共計(jì)15種,故事件X發(fā)生的概率P(X)=1521=57. 12.(2019屆天津一中1月月考文,16)某中學(xué)一位高三班主任對(duì)本班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示: 積極參加 班級(jí)工作 不積極參加 班級(jí)工作 合計(jì) 學(xué)習(xí)積極性高 18 7 25 學(xué)習(xí)積極性不高 6 19 25 合計(jì) 24 26 50 (1)如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,求事件A:抽到不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率; (2)若不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng),請(qǐng)用字母代表不同的學(xué)生,列舉出抽取的所有可能結(jié)果; (3)在(2)中,求事件B:兩名學(xué)生中恰有一名男生的概率. 解析　(1)由題表可得隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,有50種情況,抽到不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生有19種情況,故P(A)=1950. (2)設(shè)這7名學(xué)生分別為a,b,c,d,e,A,B(大寫(xiě)為男生),則從中抽取兩名學(xué)生的所有基本事件有ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,bB,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB,共21種. (3)事件B包含的基本事件有10種,分別為aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,eA,eB,故P(B)=1021. 13.(2018天津部分區(qū)縣期末,15)某公司需要對(duì)所生產(chǎn)的A,B,C三種產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),三種產(chǎn)品數(shù)量(單位:件)如下表所示: 產(chǎn)品 A B C 數(shù)量(件) 180 270 90 采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件. (1)求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù); (2)將抽取的6件產(chǎn)品按種類(lèi)A,B,C編號(hào),分別記為Ai,Bi,Ci,i=1,2,3,…,現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件. (i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果; (ii)求這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類(lèi)的概率. 解析　(1)設(shè)C產(chǎn)品抽取了x件,則A產(chǎn)品抽取了2x件,B產(chǎn)品抽取了3x件,則有x+2x+3x=6,解得x=1, 所以A,B,C三種產(chǎn)品分別抽取了2件,3件,1件. (2)(i)A產(chǎn)品編號(hào)為A1,A2;B產(chǎn)品編號(hào)為B1,B2,B3;C產(chǎn)品編號(hào)為C1. 則從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有結(jié)果如下: {A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,C1},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B2,B3},{B2,C1},{B3,C1},共15個(gè). (ii)根據(jù)題意,可知(i)中基本事件的出現(xiàn)是等可能的,其中兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類(lèi)的有 {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,C1},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,C1},{B1,C1},{B2,C1},{B3,C1},共11個(gè). 因此這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類(lèi)的概率P=1115. 14.(2019屆天津耀華中學(xué)第一次月考文,16)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率; (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n,求n<m+2的概率. 解析　(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,可能的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè),從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2個(gè),因此所求事件的概率P=26=13. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為m,放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為n,其所有可能的情況(m,n)有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè), 其中滿(mǎn)足條件n≥m+2的情況為(1,3),(1,4),(2,4),共3個(gè), 所以滿(mǎn)足條件n≥m+2的事件的概率為316. 故滿(mǎn)足條件n<m+2的事件的概率為1-316=1316.