高中物理 第1章 機械振動 第2節(jié) 振動的描述知識導(dǎo)航素材 魯科版選修34

第2節(jié)振動的描述 思維繳活 在研究一個物體的振動是否為簡諧運動時，可以通過作出振動圖象來判斷.如圖1-2-1所示，在彈簧振子的小球上安置一記錄用的毛筆P，在下面放一張白紙，當(dāng)小球振動時沿垂直于振動方向勻速拉動紙帶，毛筆P就在紙帶上畫出一條振動曲線.為什么這樣畫出的曲線是振動曲線？ 圖1-2-1 提示：因為勻速拉動紙帶時，紙帶的位移與時間成正比，即x=vt,因此，一定的位移就表示一定的時間.所以拉動紙帶時，就可以表示不同的時刻振子離開平衡位置的距離，因而可以說毛筆所畫下的痕跡就是彈簧振子的振動圖象. 自主整理 一、振動特征的描述 1.振幅：振幅是物體離開__________的最大位移.振幅是標(biāo)量，振幅與位移的___________在數(shù)值上相等，但二者不同，因為位移是_____________. 2.全振動：振子以相同的速度相繼兩次通過_____________所經(jīng)歷的過程. 3.周期：做簡諧運動的物體完成一次_____________所需要的時間叫做振動的周期.它是表示_____________的物理量，周期越長，表示物體振動得越_____________；周期越短，表示物體振動得越_____________. 4.頻率：振動物體在_____________內(nèi)完成全振動的次數(shù)，叫做振動的頻率.它是表示_____________的物理量，頻率越大，表示物體振動得越_____________；頻率越小，表示物體振動得越_____________. 周期與頻率的關(guān)系是：_____________或_____________. 5.固有周期和固有頻率，物體振動的周期和頻率只是由的_____________屬性決定的，與其他因素?zé)o關(guān)，又稱固有周期和固有頻率. 二、簡諧運動的圖象描述 1.圖象特點：簡諧運動的圖象是一條_____________曲線，表示一個質(zhì)點在_____________時刻相對平衡位置的位移，它只是反映了質(zhì)點的_____________隨_____________的變化規(guī)律，不是質(zhì)點的運動軌跡. 2.圖象信息：如圖1-2-2所示，從圖象上可知_____________和_____________.還可知道任一刻度的_____________大小和方向，借助圖象信息，還可以判斷不同時刻的_____________和_____________的方向和大小關(guān)系. 圖1-2-2 三、簡諧運動的公式表達(dá) 簡諧運動的位移隨時間變化的函數(shù)關(guān)系是：_____________，式中A代表_____________，ω代表______________，（ωt+φ0）代表______________，若t=0，φ0代表______________. 高手筆記 1.簡諧運動中，物體的振幅、位移、路程的關(guān)系 振幅和位移的區(qū)別： （1）振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離；位移是振動物體相對平衡位置的位置變化；對某一簡諧運動而言，振幅為一定值，位移時刻改變. （2）振幅是表示振動強弱的物理量，位移表示的是某一時刻振動質(zhì)點相對平衡位置的位置變化. （3）振幅是標(biāo)量，位移是矢量. （4）振幅在數(shù)值上等于最大位移的絕對值. 振幅和路程的關(guān)系： 物體在一個周期內(nèi)通過的路程一定等于振幅的四倍；在半個周期內(nèi)通過的路程一定等于振幅的兩倍.物體在T內(nèi)的路程可能等于一個振幅，可能大于一個振幅，還可能小于一個振幅.只有當(dāng)T的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處，T內(nèi)的路程才等于振幅. 2.固有周期和固有頻率的含義 “固有”的含義是“僅由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)”決定，跟外部因素?zé)o關(guān).如彈簧振子的周期只取決于振子的質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)，與振動的振幅無關(guān)，并不是振幅越大，周期越大.而振幅的大小，除跟彈簧振子有關(guān)之外，還跟使它起振時外力對振子做功的多少有關(guān).因此，振幅不是“固有”的.同一個彈簧振子，無論是在地球上，還是在其他星球上，在不是完全失重的人造衛(wèi)星中，無論是水平放置，還是豎直懸掛，T和f均不變. 名師解惑 1.怎樣理解簡諧運動的相位？ 剖析：簡諧運動的表達(dá)式x=Asin(ωt+φ0)中，φ=ωt+φ0表示簡諧運動的相位，當(dāng)t=0時的φ0稱為初相位，它代表了做簡諧運動的質(zhì)點此時正處于一個運動周期中的哪個狀態(tài). 例如：圖1-2-3中實線和虛線分別表示兩個簡諧運動的圖象，縱坐標(biāo)的最大值是振動的振幅，橫坐標(biāo)軸上方標(biāo)出時間，下方標(biāo)出相位，相位的數(shù)值就是角度，與三角函數(shù)相同.由圖可知兩個振動的振幅相同，周期相同，但初相位不同.初相位是t=0時刻的相位，虛線是正弦函數(shù)曲線，t=0時刻的相位為0.實線與虛線在橫坐標(biāo)上相差一段距離，t=0時刻的相位為.實線所表示的振動比虛線所表示的振動落后T/4，相位上落后. 圖1-2-3 又如：兩個簡諧運動公式：x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+)，其中它們的初相位分別是φ1=,φ2=,則t=0時的相位差Δφ=φ2-φ1=,這說明第二個振動比第一個振動提前. 2.如何利用簡諧運動圖象確定振子某一時刻的位移？ 剖析：簡諧運動的圖象是正弦曲線，在圖1-2-4中，t=時，位移x是多大呢？由正弦曲線的特點可知，對應(yīng),A對應(yīng)函數(shù)值，對應(yīng),則x對應(yīng)函數(shù)值A(chǔ)，即x=0.707A.若振子的位移x=,它又對應(yīng)哪些時刻呢？由圖象可知，t=、T、T等時刻，x均等于. 圖1-2-4 3.關(guān)于如何利用簡諧運動圖象確定速度方向，并比較不同時刻的速度大??？ 剖析：如圖1-2-5所示，例如欲確定質(zhì)點t1時刻的速度方向，取大于t1一小段時間的另一時刻t1′，并使t1′-t1極小，考查質(zhì)點t1′時刻的位置P1′（t1′,x1′），可知x1′＜x1,即P1′位于P1的下方，也就是經(jīng)過很短的時間，質(zhì)點的位移將減小，說明t1時刻質(zhì)點速度方向沿x軸的負(fù)方向.同理可判定t2時刻質(zhì)點沿x軸負(fù)方向運動，正在離開平衡位置向負(fù)最大位移處運動. 圖1-2-5 若x1＜x2,由簡諧運動的對稱特點，還可判斷t1和t2時刻對應(yīng)的速度大小關(guān)系為v1＞v2. 由簡諧運動的圖象還可比較不同時刻加速度的大小，想一想，為什么？ 講練互動 【例題1】彈簧振子從距平衡位置5 cm處由靜止釋放，4 s 內(nèi)完成5次全振動，則這個彈簧振子的振幅為____________cm，振動周期為____________s，頻率為____________Hz，4s末振子的位移大小為____________cm，4 s內(nèi)振子運動的路程為____________cm；若其他條件都不變，只是使振子改為在距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，則振子的周期為__________s. 解析：根據(jù)題意，振子從距平衡位置5 cm處由靜止開始釋放，說明彈簧振子在振動過程中離開平衡位置的最大距離是5 cm，即振幅為5 cm，由題設(shè)條件可知，振子在4 s內(nèi)完成5次全振動，則完成一次全振動的時間為0.8 s，即T=0.8 s；又因為f=，可得頻率為1.25 Hz.4 s內(nèi)完成5次全振動，也就是說振子又回到原來的初始點，因而振子的位移大小為5 cm，振子一次全振動的路程為20 cm，所以5次全振動的路程為100 cm，由于彈簧振子的周期是由彈簧的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量決定，其固有周期與振幅大小無關(guān)，所以從距平衡位置2.5 cm處由靜止釋放，不會改變周期的大小，周期仍為0.8 s. 答案：50.8 1.25 5 100 0.8 綠色通道 本題主要考查對描述振動的三個物理量的認(rèn)識和理解以及位移和路程的區(qū)別.根據(jù)一次全振動確定周期，根據(jù)周期或單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)確定頻率.簡諧運動中的位移是相對平衡位置而言的，本題中容易把釋放處當(dāng)作位移起點. 求振動物體在一段時間內(nèi)通過路程的依據(jù)是： （1）振動物體在一個周期內(nèi)的路程一定為四個振幅，則在n個周期內(nèi)路程必為n4A. （2）振動物體在半個周期內(nèi)的路程一定為兩個振幅.（3）振動物體在T/4內(nèi)的路程可能等于一個振幅，還可能小于一個振幅.只有當(dāng)T/4的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處，T/4內(nèi)的路程才等于一個振幅. 計算路程的方法是：先判斷所求的時間內(nèi)有幾個周期，再依據(jù)上述規(guī)律求路程. 變式訓(xùn)練 1．如圖1-2-6所示，彈簧振子在BC間振動，O為平衡位置，BO=OC=5 cm，若振子從B到C的運動時間是1 s，則下列說法正確的是（ ） 圖1-2-6 A.振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動 B.振動周期是1 s，振幅是10 cm C.經(jīng)過兩次全振動，振子通過的路程是20 cm D.從B開始經(jīng)過3 s，振子通過的路程是30 cm 解析：振子從B→O→C僅完成了半次全振動，所以周期T=21 s=2 s,振幅A=BO=5 cm. 振子在一次全振動中通過的路程為4A=20 cm，所以兩次全振動中通過的路程為40 cm,3 s的時間為1.5T，所以振子通過的路程為30 cm. 答案：D 2．周期為2 s的簡諧運動，在半分鐘內(nèi)通過的路程是60 cm，則在此時間內(nèi)振子經(jīng)過平衡位置的次數(shù)和振子的振幅分別為（ ） A.15次，2 cm B.30次，1 cm C.15次，1 cm D.60次，2 cm 解析：振子完成一次全振動經(jīng)過軌跡上每點的位置兩次（除最大位移處），而每次全振動振子通過的路程為4個振幅，半分鐘共完成了15次全振動，所以經(jīng)平衡位置的次數(shù)為30次，振幅A=cm=1 cm,故選B. 答案：B 【例題2】圖1-2-7所示為質(zhì)點P在0~4 s內(nèi)的運動圖象，下列敘述正確的是（ ） 圖1-2-7 A.再過1 s，該質(zhì)點的位移是正的最大 B.再過1 s，該質(zhì)點的速度沿正方向 C.再過1 s，該質(zhì)點的加速度沿正方向 D.再過1 s，該質(zhì)點加速度最大 解析：振動圖象描述質(zhì)點在各個時刻離開平衡位置的位移的情況.依題意，再經(jīng)過1 s，將振動圖象延伸到正x最大處.這時質(zhì)點的位移為正的最大，故A對.因為回復(fù)力與位移成正比且方向與位移方向相反，所以此時回復(fù)力最大且方向為負(fù)向，故振動物體的加速度最大且方向為負(fù)向.此時振動物體的速度為零，無方向可談，故B、C錯，D對. 答案：AD 綠色通道 理解簡諧運動的圖象是解決這類問題的關(guān)鍵，這種往復(fù)運動的位移圖象，就是以x軸上縱坐標(biāo)的數(shù)值表示質(zhì)點對平衡位置的位移，以t軸橫坐標(biāo)數(shù)值表示各個時刻，這樣在xt坐標(biāo)系內(nèi)，可以找到各個時刻對應(yīng)質(zhì)點位移坐標(biāo)的點，即位移隨時間分布的情況——振動圖象.振動圖象隨時間的延續(xù)繼續(xù)向外延伸. 變式訓(xùn)練 3．一個質(zhì)點經(jīng)過平衡位置O在A、B間做簡諧運動，如圖1-2-8（a），它的振動圖象如圖（b）所示，設(shè)向右為正方向，則： 圖1-2-8 （1）OB=__________cm. （2）第0.2 s末質(zhì)點的速度方向是_____________. （3）第0.7 s時，質(zhì)點位置在_____________點與_____________點之間. （4）質(zhì)點從O運動到B再運動到A所需時間t=_____________s. （5）在4 s內(nèi)完成_____________次全振動. 解析：由圖題（b）的信息可知，在圖（a）中t=0時刻，質(zhì)點從B向O振動，且質(zhì)點的振幅OB=5 cm，周期是0.8 s.由此可知：0.2 s末質(zhì)點正處于平衡位置且正在向負(fù)方向振動.0.7 s末質(zhì)點的位移是正值，所以正處于O點和B點之間.質(zhì)點從O運動到B再運動到A用的時間是T，為0.6 s,4 s內(nèi)完成的全振動的次數(shù)是5次. 答案：（1）5 (2)由O指向A （3）O B （4）0.6 （5）5 4．甲、乙兩人先后觀察同一彈簧振子在豎直方向上下振動情況. （1）甲開始觀察時，振子正好在平衡位置并向下運動，試在圖129（a）中畫出甲觀察到的彈簧振子的振動圖象.已知經(jīng)過1 s后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅為5 cm（設(shè)平衡位置上方為正方向，時間軸上每格代表0.5 s）. （2）乙在甲觀察3.5 s后，開始觀察并記錄時間，試畫出乙觀察到的彈簧振子的振動圖象.畫在圖1-2-9（b）上. 圖1-2-9 解析：由題意知，振子的振動周期T=2 s，振幅A=5 cm. 根據(jù)正方向的規(guī)定，甲觀察時，振子從平衡位置向-y方向運動，經(jīng)t=0.5 s，達(dá)負(fù)向最大位移. 因為t=3.5 s=1T，根據(jù)振動的重復(fù)性，這時振子的狀態(tài)跟經(jīng)過時間t′=T的狀態(tài)相同，所以乙開始觀察時，振子正好處于正向最大位移處. （1）畫出的甲觀察到的振子振動圖象如圖（a）所示. （2）畫出的乙觀察到的振子的振動圖象如圖（b）所示. 答案：見解析 【例題3】一彈簧振子在振動過程中，振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，若它從a到b歷時0.2 s，從b再回到a的最短時間為0.4 s，則振子的振動頻率為（ ） A.1 Hz B.1.25 Hz C.2 Hz D.2.5 Hz 解析：振子經(jīng)a、b兩點的速度相同，根據(jù)振子做周期性運動的特點可知，a、b兩點對平衡位置O（如圖1-2-10所示）是對稱的.又由從b回到a的最短時間為0.4 s知，振子振動到b點后是第一次回到a點，且仍不是振子的最大位移.設(shè)圖中c、d為最大位移處，則振子b→c→b歷時0.2 s，同理振子由a→d→a也應(yīng)歷時0.2 s，故振子周期應(yīng)為0.8 s，由周期和頻率關(guān)系不難確定頻率為1.25 Hz，故選B. 圖1-2-10 答案：B 綠色通道 簡諧運動是以平衡位置為中心的對稱運動，在圖中ad段與bc段相對O點是對稱的，物體由a到d(或由d到a)通過ad段所用的時間與物體由b到c(或由c到b)通過bc段所用的時間相等.解決這類問題一定要抓住簡諧運動的對稱特點. 變式訓(xùn)練 5．一個做簡諧運動的質(zhì)點，先后以同樣的速度通過相距10 cm的A、B兩點，歷時0.5 s，如圖1-2-11所示，過B點后再經(jīng)過t=0.5 s質(zhì)點以大小相等、方向相反的速度再次通過B點，則質(zhì)點振動的周期是（ ） 圖1-2-11 A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s 解析：根據(jù)題意，由振動的對稱性可知，AB的中點O為平衡位置，如圖所示，質(zhì)點從平衡位置O向右運動到B的時間應(yīng)為tOB=0.5 s=0.25 s,從B到最右端D的時間tBD=0.5 s=0.25 s，所以質(zhì)點的周期為T=4(tOB+tBD)=2 s. 答案：C 6．一質(zhì)點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)0.13 s質(zhì)點第一次通過M點，再經(jīng)0.1 s第二次通過M點，則質(zhì)點振動周期的可能值為多大？ 解析：如圖所示，設(shè)M為O右側(cè)的任一位置，A、B分別為最大位移處，若t=0時質(zhì)點向右通過M，則tOM=0.13 s,tMB=0.1 s=0.05 s，則T=4（tOM+tMB）=0.72 s;若t=0時，質(zhì)點向左運動，則tOA+tAM=0.13 s，tMB=0.1 s=0.05 s，則tOA+tAM+tMB=T,T=0.24 s. 答案：0.72 s,0.24 s 【例題4】一物體沿x軸做簡諧運動，振幅為8 cm，頻率為0.5 Hz，在t=0時，位移是4 cm，且向x軸負(fù)方向運動，試寫出用正弦函數(shù)表示的振動方程. 解析：簡諧運動振動方程的一般式為x=Asin(ωt+φ). 根據(jù)題給條件有：A=0.08 m,ω=2πf=π.所以x=0.08sin(πt+φ)m.將t=0時x=0.04 m代入得0.04=0.08sinφ，解得初相φ=或φ=π.因為t=0時，速度方向沿x軸負(fù)方向，即位移在減小，所以取φ=π. 所求的振動方程為x=0.08sin(πt+π)m. 答案：x=0.08sin(πt+π)m 綠色通道 簡諧運動的表達(dá)式x=Asin(ωt+φ)中的每個物理量都要清楚，振動的初相φ跟起始時刻振子向正方向還是負(fù)方向運動有關(guān)，若題中t=0時物體向x軸正方向運動，則初相φ應(yīng)取，表達(dá)形式應(yīng)為x=0.08sin(πt+)m，所以對應(yīng)不同的初相，同一質(zhì)點的振動圖象也不同. 注意：t=0時的位移不一定是最大位移，最大位移的大小應(yīng)等于振動的振幅. 變式訓(xùn)練 7．物體A做簡諧運動的位移xA=3sin(100t+)m，物體B做簡諧運動的位移xB=5sin(100t+) m.比較A、B的運動（ ） A.振幅是矢量，A的振幅是6 cm,B的振幅是10 m B.周期是標(biāo)量，A、B的周期相等為100 s C.A振動的頻率fA等于B振動的頻率fB D.A的相位始終超前B的相位 解析：振幅是標(biāo)量，A、B的振動范圍分別是6 m、10 m，但振幅分別為3 m、5 m，故A錯.A、B的周期T==s=6.2810-2 s，故B錯.因Ta=Tb，故fa=fb;故C對.Δφ=φA-φB=，故D對. 答案：CD 體驗探究 【問題1】在描繪簡諧運動的圖象這一實驗中，勻速拖動紙帶和非勻速拖動紙帶有何不同？ 導(dǎo)思：從振動圖象的物理意義結(jié)合運動規(guī)律考慮. 探究：簡諧運動的圖象描述做簡諧運動的物體的位移隨時間的變化規(guī)律，若紙帶做勻速運動，則紙帶的位移與時間滿足s=vt,v是恒量，則一定位移與一定時間對應(yīng)，即相同時間內(nèi)位移相等，所以可用紙帶通過的位移表示時間.同樣，若紙帶做非勻變速運動，則s與t不再有以上關(guān)系，所以紙帶上描繪出的圖象不再是正（或余）弦曲線.也可嘗試讓紙帶做自由落體運動，看一下描繪出的圖象是怎樣的. 【問題2】彈簧振子對振動有何影響？ 導(dǎo)思：用實驗探究. 探究：用不同質(zhì)量的彈簧振子做簡諧運動的實驗，觀察振動快慢有何變化，結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量大的振子振動得慢，質(zhì)量小的振子振動得快.再換用不同的彈簧，用相同質(zhì)量的振子做實驗，會發(fā)現(xiàn)振動快慢不一樣，勁度系數(shù)k大的彈簧振動得快，k小的振動得慢. 教材鏈接 【迷你實驗室】（課本第9頁） 毛筆和礦泉水瓶擺動所形成的圖象是簡諧運動的圖象.這是由于擺動的物體沿y軸擺動時做的是簡諧運動，在x軸方向上勻速拉動白紙，這樣就可以記錄每一時刻物體的位置了，因而可以說毛筆和水在白紙上留下的痕跡就是振動圖象. 由于毛筆在白紙上留下痕跡的同時受到了阻力，使毛筆的實際擺動并不是理想的簡諧運動，畫出的圖象有一定的誤差，而礦泉水由于水的流出也會給圖象的繪出帶來誤差，但這種誤差較小，所以礦泉水瓶擺動形成的圖象更接近簡諧運動圖象. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375