高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末質(zhì)量評(píng)估 湘教版選修22

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1、 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末質(zhì)量評(píng)估 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(每小題5分，共50分) 1．若當(dāng) ＝1，則f′(x0)等于 (　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　 ＝－ ＝－ ＝－f′(x0)． ∴－f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－. 答案：D 2．(2011重慶)曲線y＝－x3＋3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為 (　　)． A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 解析　y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝3， 切線方程為y－2＝3(x－1)， 即y＝3x－1.

2、 答案　A 3．函數(shù)y＝xcos x－sin x在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) (　　)． A. B. C. D. 解析　y′＝－xsin x，當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，y′＞0，則函數(shù)y＝xcos x－sin x在區(qū)間(π，2π)內(nèi)是增函數(shù)． 答案　B 4．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2＋2，則t＝2秒時(shí)，汽車的加 速度是 (　　)． A．14 B．4 C．10 D．6 解析　v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.a(t)＝v′(t)＝12t－10. ∴當(dāng)t＝2時(shí)，a(2)＝24－10＝14. 答案　A 5． (1＋cos x)dx等

3、于 (　　)． A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 解析　 (1＋cos x)dx ＝(x＋sin x) 答案　D 6．函數(shù)f(x)＝(00，得0

4、－f(2) B．0

5、9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為 (　　)． A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a(chǎn)＜－1或a＞2 D．a(chǎn)＜－3或a＞6 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， 因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ＞0， 即4a2－43(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，解得a＞6或a＜－3. 答案　D 10．(2011全國)曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的 三角形的面積為 (　　)． A. B. C. D．1 解析　y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2.

6、 ∴切線方程為y－2＝－2(x－0)，即2x＋y－2＝0. 它與y＝x的交點(diǎn)為P， 所以面積S＝1＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共25分) 11．若dx＝6，則b＝________. 解析　dx＝2ln x＝2ln b－2＝6. ∴l(xiāng)n b＝4，∴b＝e4. 答案　e4 12．過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線 方程是________． 解析　易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2. ∴所求直線的斜率k＝2. ∴所求直線的方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 答案　2x－y＋4＝0 13．要做一個(gè)底

7、面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰 邊長之比為1∶2，則它的長為______，寬為______，高為______時(shí)，可使表面積最小． 解析　設(shè)兩邊分別為x cm、2x cm，高為y cm. V＝2x2y＝72，y＝，s＝2(2x2＋2xy＋xy) ＝4x2＋6xy＝4x2＋. s′＝8x－，令s′＝0，解得x＝3. 答案　3 m　6m　m 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對(duì)任意x∈[－1,2]有f(x)

8、7，所以m>7. 答案　m>7 15．若曲線f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ________． 解析　f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)． 答案　(－∞，0) 三、解答題(本大題共6小題，滿分75分) 16．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋2bx在點(diǎn)x＝1處有極小值－1. (1)求a、b； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解　(1)由已知，可得 f(1)＝1－3a＋2b＝－1，① 又f′(x)＝3x2－6ax

9、＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.② 由①②解得 (2)由(1)得函數(shù)的解析式為f(x)＝x3－x2－x. 由此得f′(x)＝3x2－2x－1. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)， 當(dāng)x<－或x>1時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)－

10、x＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根， 即x2＋2x＋c＝0有兩個(gè)相等實(shí)根， 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依題意，所求面積為S＝ (x2＋2x＋1)dx＝ ＝. 18．(本小題滿分 13分) 一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其v－t曲線如圖所示，求該物體在 s～6 s間的運(yùn)動(dòng)路程． 解　v(t)＝ 由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得 s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt ＝t2＋2t＋＝(m)． 所以物體在 s～6

11、 s間的運(yùn)動(dòng)路程是 m. 19．(本小題滿分12分)(2011浙江文)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.①求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；②求所有實(shí)數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立． 解?、賔(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝－2x＋a＝. 由于a>0，∴由f′(x)>0知0a. 所以，f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，＋∞)． ②由題意知f(1)＝a－1≥e－1， 即a≥e. 由①知f(x)在[1，e]內(nèi)遞增， 要使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立． 只要

12、 ∴a＝e. 20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R. (1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率； (2)當(dāng)a≠時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． 解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e. (2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 由a≠知，－2a≠a－2. 以下分兩種情況討論． ①若a>，則－2a

13、－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－2a，a－2)內(nèi)是減函數(shù)． 函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. ②若a<，則－2a>a－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

14、 x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(a－2，－2a)內(nèi)是減函數(shù)． 函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 21．(本小題滿分12分)(2011遼寧)設(shè)f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過點(diǎn) P(1,0)，且在P點(diǎn)處的切線的斜率為2.

15、 ①求a，b的值； ②證明：f(x)≤2x－2. ①解　f′(x)＝1＋2ax＋. 由題意知即 解得a＝－1，b＝3. ②證明　由①知f(x)＝x－x2＋3ln x. f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． 設(shè)g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， 則g′(x)＝－1－2x＋＝－. 由g′(x)>0知01. 所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減． 所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值為g(1)＝0， 所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375