高中數學 第四章 導數及其應用章末質量評估 湘教版選修22

第四章 導數及其應用 章末質量評估 (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(每小題5分，共50分) 1．若當 ＝1，則f′(x0)等于 (　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　 ＝－ ＝－ ＝－f′(x0)． ∴－f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－. 答案：D 2．(2011重慶)曲線y＝－x3＋3x2在點(1,2)處的切線方程為 (　　)． A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 解析　y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝3， 切線方程為y－2＝3(x－1)， 即y＝3x－1. 答案　A 3．函數y＝xcos x－sin x在下面哪個區(qū)間內是增函數 (　　)． A. B. C. D. 解析　y′＝－xsin x，當x∈(π，2π)時，y′＞0，則函數y＝xcos x－sin x在區(qū)間(π，2π)內是增函數． 答案　B 4．某汽車啟動階段的路程函數為s(t)＝2t3－5t2＋2，則t＝2秒時，汽車的加 速度是 (　　)． A．14 B．4 C．10 D．6 解析　v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.a(t)＝v′(t)＝12t－10. ∴當t＝2時，a(2)＝24－10＝14. 答案　A 5． (1＋cos x)dx等于 (　　)． A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 解析　 (1＋cos x)dx ＝(x＋sin x) 答案　D 6．函數f(x)＝(0<x<10) (　　)． A．在(0,10)上是增函數 B．在(0,10)上是減函數 C．在(0，e)上是增函數，在(e,10)上是減函數 D．在(0，e)上是減函數，在(e,10)上是增函數 解析　由f′(x)＝，令f′(x)>0，得0<x<e； 令f′(x)<0，得e<x<10. 答案　C 7．函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是 (　　)． A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析　f′(2)、f′(3)是x分別為2、3時對應圖象上點的切線斜率，f(3)－f(2)＝， ∴f(3)－f(2)為圖象上x為2和3對應兩點連線的斜率，所以選B. 答案：B 8．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為 (　　)． A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析　設切點坐標是(x0，x0＋1)， 依題意有 由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2，選B. 答案　B 9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為 (　　)． A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， 因為f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ＞0， 即4a2－43(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，解得a＞6或a＜－3. 答案　D 10．(2011全國)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的 三角形的面積為 (　　)． A. B. C. D．1 解析　y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2. ∴切線方程為y－2＝－2(x－0)，即2x＋y－2＝0. 它與y＝x的交點為P， 所以面積S＝1＝. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共25分) 11．若dx＝6，則b＝________. 解析　dx＝2ln x＝2ln b－2＝6. ∴l(xiāng)n b＝4，∴b＝e4. 答案　e4 12．過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線 方程是________． 解析　易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2. ∴所求直線的斜率k＝2. ∴所求直線的方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 答案　2x－y＋4＝0 13．要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72 cm3，其底面兩鄰 邊長之比為1∶2，則它的長為______，寬為______，高為______時，可使表面積最?。? 解析　設兩邊分別為x cm、2x cm，高為y cm. V＝2x2y＝72，y＝，s＝2(2x2＋2xy＋xy) ＝4x2＋6xy＝4x2＋. s′＝8x－，令s′＝0，解得x＝3. 答案　3 m　6m　m 14．設函數f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對任意x∈[－1,2]有f(x)<m成立，則實 數m的取值范圍是________． 解析　由題意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7. 答案　m>7 15．若曲線f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是 ________． 解析　f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)． 答案　(－∞，0) 三、解答題(本大題共6小題，滿分75分) 16．(本小題滿分13分)已知函數f(x)＝x3－3ax2＋2bx在點x＝1處有極小值－1. (1)求a、b； (2)求f(x)的單調區(qū)間． 解　(1)由已知，可得 f(1)＝1－3a＋2b＝－1，① 又f′(x)＝3x2－6ax＋2b， ∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.② 由①②解得 (2)由(1)得函數的解析式為f(x)＝x3－x2－x. 由此得f′(x)＝3x2－2x－1. 根據二次函數的性質， 當x<－或x>1時，f′(x)>0； 當－<x<1時，f′(x)<0. 因此，在區(qū)間和(1，＋∞)上，函數f(x)為增函數； 在區(qū)間上，函數f(x)為減函數． 17．(本小題滿分13分)設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等的實 根，且f′(x)＝2x＋2. (1)求y＝f(x)的表達式； (2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積． 解　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2. 所以f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有兩個相等實根， 即x2＋2x＋c＝0有兩個相等實根， 所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1. (2)依題意，所求面積為S＝ (x2＋2x＋1)dx＝ ＝. 18．(本小題滿分 13分) 一物體做變速直線運動，其v－t曲線如圖所示，求該物體在 s～6 s間的運動路程． 解　v(t)＝ 由變速直線運動的路程公式，可得 s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt ＝t2＋2t＋＝(m)． 所以物體在 s～6 s間的運動路程是 m. 19．(本小題滿分12分)(2011浙江文)設函數f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.①求 f(x)的單調區(qū)間；②求所有實數a，使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立． 解　①f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝－2x＋a＝. 由于a>0，∴由f′(x)>0知0<x<a， 由f′(x)<0知x>a. 所以，f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，＋∞)． ②由題意知f(1)＝a－1≥e－1， 即a≥e. 由①知f(x)在[1，e]內遞增， 要使e－1≤f(x)≤e2對x∈[1，e]恒成立． 只要 ∴a＝e. 20．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R. (1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率； (2)當a≠時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值． 解：(1)當a＝0時，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為3e. (2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 由a≠知，－2a≠a－2. 以下分兩種情況討論． ①若a>，則－2a<a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)內是增函數，在(－2a，a－2)內是減函數． 函數f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 函數f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. ②若a<，則－2a>a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內是增函數，在(a－2，－2a)內是減函數． 函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. 21．(本小題滿分12分)(2011遼寧)設f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)過點 P(1,0)，且在P點處的切線的斜率為2. ①求a，b的值； ②證明：f(x)≤2x－2. ①解　f′(x)＝1＋2ax＋. 由題意知即 解得a＝－1，b＝3. ②證明　由①知f(x)＝x－x2＋3ln x. f(x)的定義域為(0，＋∞)． 設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， 則g′(x)＝－1－2x＋＝－. 由g′(x)>0知0<x<1， 由g′(x)<0知x>1. 所以g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減． 所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值為g(1)＝0， 所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375