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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 函數(shù)與導數(shù)函數(shù)與導數(shù) 熱點一 利用導數(shù)研究函數(shù)的性質 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值是高考的熱點問題之一，每年必考，一般考查兩類題型：(1)討論函數(shù)的單調性、極值、最值，(2)利用單調性、極值、最值求參數(shù)的取值范圍. 【例 1】已知函數(shù) f(x)ln xa(1x). (1)討論 f(x)的單調性； (2)當 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 時，求實數(shù) a 的取值范圍. 解 (1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1xa. 若 a0，則 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上單調遞增. 若 a0，則當 x0，1a時，f(x)0； 當 x1a，
2、時，f(x)0， 所以 f(x)在0，1a上單調遞增，在1a， 上單調遞減. 綜上，知當 a0 時，f(x)在(0，)上單調遞增； 當 a0 時，f(x)在0，1a上單調遞增，在1a， 上單調遞減. (2)由(1)知，當 a0 時，f(x)在(0，)上無最大值； 當 a0 時，f(x)在 x1a處取得最大值，最大值為 f1aln 1aa11aln aa1. 因此 f1a2a2 等價于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，則 g(a)在(0，)上單調遞增， g(1)0. 于是，當 0a1 時，g(a)0； 當 a1 時，g(a)0. 因此，實數(shù) a 的取值范圍是(0，1). 【類題通法】
3、(1)研究函數(shù)的性質通常轉化為對函數(shù)單調性的討論，討論單調性要先求函數(shù)定義域，再討論導數(shù)在定義域內的符號來判斷函數(shù)的單調性. (2)由函數(shù)的性質求參數(shù)的取值范圍，通常根據(jù)函數(shù)的性質得到參數(shù)的不等式，再解出參數(shù)的范圍.若不等式是初等的一次、二次、指數(shù)或對數(shù)不等式，則可以直接解不等式得參數(shù)的取值范圍；若不等式是一個不能直接解出的超越型不等式時，如求解ln aa10，即(x22)ex0，因為 ex0， 所以x220，解得 2x0，所以x2(a2)xa0 對 x(1，1)都成立， 即 ax22xx1（x1）21x1 (x1)1x1對 x(1，1)都成立. 令 y(x1)1x1，則 y11（x1）20.
4、 所以 y(x1)1x1在(1，1)上單調遞增， 所以 y0 時，解不等式 f(x)0； (2)當 a0 時，求整數(shù) t 的所有值，使方程 f(x)x2 在t，t1上有解. 解 (1)因為 ex0，(ax2x)ex0. ax2x0.又因為 a0， 所以不等式化為 xx1a0. 所以不等式 f(x)0 的解集為1a，0 . (2)當 a0 時，方程即為 xexx2， 由于 ex0，所以 x0 不是方程的解， 所以原方程等價于 ex2x10. 令 h(x)ex2x1， 因為 h(x)ex2x20 對于 x(，0)(0，)恒成立， 所以 h(x)在(，0)和(0，)內是單調遞增函數(shù)， 又 h(1)e
5、30，h(3)e3130， 所以方程 f(x)x2 有且只有兩個實數(shù)根且分別在區(qū)間1，2和3，2上，所以整數(shù) t 的所有值為3，1. 熱點三 利用導數(shù)研究不等式問題 導數(shù)在不等式中的應用是高考的熱點，常以解答題的形式考查，以中高檔題為主，突出轉化思想、函數(shù)思想的考查，常見的命題角度：(1)證明簡單的不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題. 【例 3】設函數(shù) f(x)e2xaln x. (1)討論 f(x)的導函數(shù) f(x)零點的個數(shù)； (2)證明：當 a0 時，f(x)2aaln2a. (1)解 f(x)的定義域為(0，)，f(x)2e2xax(x0). 當
6、 a0 時，f(x)0，f(x)沒有零點. 當 a0 時，設 u(x)e2x，v(x)ax， 因為 u(x)e2x在(0，)上單調遞增，v(x)ax在(0，)上單調遞增，所以 f(x)在(0，)上單調遞增. 又 f(a)0，當 b 滿足 0ba4且 b14時，f(b)0(討論 a1 或 a1 來檢驗)， 故當 a0 時，f(x)存在唯一零點. (2)證明 由(1)，可設 f(x)在(0，)上的唯一零點為 x0，當 x(0，x0)時，f(x)0； 當 x(x0，)時，f(x)0. 故 f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，)上單調遞增， 所以當 xx0時，f(x)取得最小值，最小值為 f(
7、x0) 由于 2e2x0ax00， 所以 f(x0)a2x02ax0aln2a2aaln2a. 故當 a0 時，f(x)2aaln2a. 【類題通法】1.討論零點個數(shù)的答題模板 第一步：求函數(shù)的定義域； 第二步：分類討論函數(shù)的單調性、極值； 第三步：根據(jù)零點存在性定理，結合函數(shù)圖象確定各分類情況的零點個數(shù). 2.證明不等式的答題模板 第一步：根據(jù)不等式合理構造函數(shù)； 第二步：求函數(shù)的最值； 第三步：根據(jù)最值證明不等式. 【對點訓練】 已知函數(shù) f(x)axln x(aR). (1)若 a2，求曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程； (2)求 f(x)的單調區(qū)間； (3)設 g(x)x22x2
8、，若對任意 x1(0，)，均存在 x20，1使得 f(x1)0)，所以 f(1)213，所以斜率 k3.又切點為(1，2)，所以切線方程為 y23(x1)，即 3xy10， 故曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 3xy10. (2)f(x)a1xax1x(x0)， 當 a0 時，由于 x0，故 ax10，f(x)0，所以 f(x)的單調增區(qū)間為(0，). 當 a0，在區(qū)間1a， 上，f(x)0，所以函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為0，1a，單調遞減區(qū)間為1a， . (3)由已知得所求可轉化為 f(x)maxg(x)max， g(x)(x1)21，x0，1， 所以 g(x)max2， 由(2)知，當 a0 時，f(x)在(0，)上單調遞增， 值域為 R，故不符合題意. 當 a1ln(a)，解得 a1e3.
【大師特稿】高考數(shù)學理熱點題型：函數(shù)與導數(shù)含答案
