一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第九章 第五節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 一、填空題 1.直線xsin θ+ycos θ=2+sin θ與圓(x-1)2+y2=4的位置關(guān)系是________. 解析:由于d==2=r, ∴直線與圓相切. 答案:相切 2.過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線與x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為________. 解析:當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線與直徑垂直且(0,1)為垂足時(shí),|AB|的最小值為2. 答案:2 3.已知圓C1:x2+y2-2mx+m2=4,圓C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),

2、則兩圓的位置關(guān)系是________. 解析:將兩圓方程分別化為標(biāo)準(zhǔn)式, 圓C1:(x-m)2+y2=4, 圓C2:(x+1)2+(y-m)2=9, 則|C1C2|= =>=5=2+3, ∴兩圓相離. 答案:相離 4.若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:圓心(a,0)到直線x-y=2的距離d=,則()2+()2=22, ∴a=0或4. 答案:0或4 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)直線l:kx-y+1=0與圓C:x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAMB,若點(diǎn)M在圓C上,則實(shí)

3、數(shù)k=________. 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則消去y得, (1+k2)x2+2kx-3=0,∴x1+x2=-,y1+y2=,∴M(-,),又M在x2+y2=4上,代入得k=0. 答案:0 6.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點(diǎn)M(x,y)滿足·=0,則=________. 解析:∵·=0, ∴OM⊥CM,∴OM是圓的切線. 設(shè)OM的方程為y=kx, 由=,得k=±,即=±. 答案:或- 7.若過(guò)點(diǎn)A(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

4、為________. 解析:圓方程可化為(x-a)2+y2=3-2a, 由已知可得,解得a<-3或1<a<. 答案:(-∞,-3)∪(1,) 8.若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則|AB|=________. 解析:由題知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3, 又O1A⊥AO2,所以有m2=()2+(2)2=25, 解得m=±5.∴|AB|=2×=4. 答案:4 9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線

5、12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________. 解析:因?yàn)閳A的半徑為2,且圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1, 即要求圓心到直線的距離小于1, 即<1,解得-13<c<13. 答案:(-13,13) 二、解答題 10.已知圓C經(jīng)過(guò)P(4,-2),Q(-1,3)兩點(diǎn),且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4,半徑小于5. 求:(1)直線PQ與圓C的方程; (2)求過(guò)點(diǎn)(0,5)且與圓C相切的直線方程. 解析:(1)直線PQ的方程為y-3=(x+1), 即x+y-2=0, 解法一 由題意圓心C在PQ的中垂線 y-=1×

6、;(x-),即y=x-1上, 設(shè)C(n,n-1),則r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2, 由題意,有r2=(2)2+|n|2, ∴n2+12=2n2-6n+17,解得n=1或5, ∴r2=13或37(舍),∴圓C為:(x-1)2+y2=13. 解法二 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由已知得, 解得或. 當(dāng)時(shí),r=<5; 當(dāng)時(shí),r=>5(舍). ∴所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0. (2)當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+5, 則=,解得k=或-, ∴切線方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0, 當(dāng)切線斜

7、率不存在時(shí),不滿足題意, ∴切線方程為3x-2y+10=0或2x+3y-15=0. 11.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△AOB和△COD為兩等腰直角三角形,A(-2,0),C(a,0)(a>0).設(shè)△AOB和△COD的外接圓圓心分別為M、N. (1)若⊙M與直線CD相切,求直線CD的方程; (2)若直線AB截⊙N所得弦長(zhǎng)為4,求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (3)是否存在這樣的⊙N,使得⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為,若存在,求此時(shí)⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,說(shuō)明理由. 解析:(1)圓心M(-1,1). ∴圓M的方程為(x+1)2+(y-1)2=2, 直線CD的方程為x

8、+y-a=0. ∵⊙M與直線CD相切, ∴圓心M到直線CD的距離d==, 化簡(jiǎn)得a=2(舍去負(fù)值). ∴直線CD的方程為x+y-2=0. (2)直線AB的方程為x-y+2=0,圓心N(,), 圓心N到直線AB的距離為=. ∵直線AB截⊙N所得的弦長(zhǎng)為4,∴22+()2=. ∴a=2(舍去負(fù)值). ∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-)2+(y-)2=6. (3)存在,由(2)知,圓心N到直線AB的距離為(定值),且AB⊥CD始終成立, ∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N的半徑=2,即a=4時(shí),⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為.此時(shí),⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=8. 12.設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,且與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2,求圓的方程. 解析:設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上, ∴圓心(a,b)在直線x+2y=0上, ∴a+2b=0,① (2-a)2+(3-b)2=r2.② 又直線x-y+1=0截圓所得的弦長(zhǎng)為2, ∴r2-()2=()2.③ 解由方程①、②、③組成的方程組得: 或 ∴所求圓的方程為 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

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