一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第六節(jié)第六節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 考綱傳真 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)； 了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念， 理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù) yax與對數(shù)函數(shù) ylogax 互為反函數(shù)(a0，且 a1) 1對數(shù)的概念 如果 abN(a0 且 a1)，那么 b 叫作以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 logaNb，其中 a 叫作對數(shù)的底數(shù)，N 叫作真數(shù) 2對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì) (1)對數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a0，且 a1) (2)換底公式：logablogcblogca(a，c 均大于 0 且不等于 1，b0) (3)對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：loga(M N)logaMlogaN； logaMnnlogaM(nR)； logaMNlogaMlogaN. 3對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) 定義 函數(shù) ylogax(a0 且 a1)叫作對數(shù)函數(shù) 圖像 a1 0a1 性質(zhì) 定義域：(0，) 值域：R 過點(1,0)，即 x1 時，y0 當(dāng) x1 時，y0；當(dāng) 0 x1 時，y0. 當(dāng) x1 時，y0；當(dāng) 0 x1時，y0. 是(0， )上的增函數(shù) 是(0，)上的減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線 yx 對稱 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)log2x22log2x.( ) (2)當(dāng) x1 時，logax0.( ) (3)函數(shù) ylg(x3)lg(x3)與 ylg(x3)(x3)的定義域相同( ) (4)對數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，1a，1 ，函數(shù)圖像不在第二、三象限( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2則( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 3已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖像如圖 2- 6- 1，則下列結(jié)論成立的是( ) 圖 2- 6- 1 Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1，c1 D0a1,0c1 D 由圖像可知 yloga(xc)的圖像是由 ylogax的圖像向左平移 c 個單位得到的，其中 0c1.再根據(jù)單調(diào)性可知 0a1. 4(教材改編)若 loga341(a0，且 a1)，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：57962059】 A.0，34 B(1，) C.0，34(1，) D34，1 C 當(dāng) 0a1 時，loga34logaa1，0a34； 當(dāng) a1 時，loga34logaa1，a1. 即實數(shù) a 的取值范圍是0，34(1，) 5 (20 xx 杭州二次質(zhì)檢)計算： 2log510log514_， 2log43_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962060】 2 3 2log510log514log5102142，因為 log4312log23log23，所以 2log432log23 3. 對數(shù)的運算 (1)設(shè) 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于( ) A. 10 B10 C20 D100 (2)計算：lg 14lg 25 10012_. (1)A (2)20 (1)2a5bm，alog2m，blog5m， 1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102， m 10. (2)原式(lg 22lg 52)10012lg 122 5210(lg 102)1021020. 規(guī)律方法 1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并 2先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算 3abNblogaN(a0，且 a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應(yīng)注意互化 變 式 訓(xùn) 練 1 (1)(20 xx東 城 區(qū) 綜 合 練 習(xí) ( 二 ) 已 知 函 數(shù) f(x) 2x，x4，fx1，x4，則 f(2log23)的值為( ) A24 B16 C12 D8 (2)(20 xx 浙江高考)若 alog43，則 2a2a_. (1)A (2)4 33 (1)32log234， f(2log23)f(3log23)23log238324，故選 A. (2)alog43log22312log23log23， 2a2a2log232- log23 32log233 3334 33. 對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 (1)(20 xx 河南焦作一模)若函數(shù) ya|x|(a0，且 a1)的值域為y|y1，則函數(shù) yloga|x|的圖像大致是( ) A B C D (2)(20 xx 衡水調(diào)研)已知函數(shù) f(x) log2x，x0，3x，x0，且關(guān)于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一個實根，則實數(shù) a 的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962061】 (1)B (2)(1，) (1)若函數(shù) ya|x|(a0，且 a1)的值域為y|y1，則a1，故函數(shù) yloga|x|的大致圖像如圖所示 故選 B. (2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出 yf(x)與 yxa 的圖像，其中 a 表示直線在 y 軸上截距，由圖可知，當(dāng) a1 時，直線 yxa 與 ylog2x 只有一個交點 規(guī)律方法 1.在識別函數(shù)圖像時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項 2一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解 變式訓(xùn)練 2 (20 xx 西城區(qū)二模)如圖 2- 6- 2，點 A，B 在函數(shù) ylog2x2的圖像上， 點 C 在函數(shù) ylog2x 的圖像上， 若ABC 為等邊三角形， 且直線 BCy軸，設(shè)點 A 的坐標(biāo)為(m，n)，則 m( ) 圖 2- 6- 2 A2 B3 C. 2 D 3 D 由題意知等邊ABC 的邊長為 2， 則由點 A 的坐標(biāo)(m， n)可得點 B 的坐標(biāo)為(m 3，n1)又 A，B 兩點均在函數(shù) ylog2x2 的圖像上，故有 log2m2n，log2m 32n1，解得 m 3，故選 D. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 角度 1 比較對數(shù)值的大小 (20 xx 全國卷)若 ab0,0c1，則( ) Alogaclogbc Blogcalogcb Cacbc Dcacb B 0c1，當(dāng) ab1 時，logaclogbc，A 項錯誤； 0c1，ylogcx 在(0，)上遞減，又 ab0， logcalogcb，B 項正確； 0c1，函數(shù) yxc在(0，)上遞增， 又ab0，acbc，C 項錯誤； 0c1，ycx在(0，)上遞減， 又ab0，cacb，D 項錯誤 角度 2 解簡單的對數(shù)不等式 (20 xx 浙江高考)已知 a，b0 且 a1，b1，若 logab1，則( ) 【導(dǎo)學(xué)號：57962062】 A(a1)(b1)0 C(b1)(ba)0 D 法一：logab1logaa， 當(dāng) a1 時，ba1； 當(dāng) 0a1 時，0ba1.只有 D 正確 法二：取 a2，b3，排除 A，B，C，故選 D. 角度 3 探究對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) 已知函數(shù) f(x)log4(ax22x3) (1)若 f(1)1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)是否存在實數(shù) a，使 f(x)的最小值為 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，說明理由 解 (1)f(1)1， log4(a5)1，因此 a54，a1， 這時 f(x)log4(x22x3) 由x22x30，得1x3， 函數(shù) f(x)的定義域為(1,3). 2 分 令 g(x)x22x3， 則 g(x)在(1,1)上遞增，在(1,3)上遞減 又 ylog4x 在(0，)上遞增， f(x)的遞增區(qū)間是(1,1)，遞減區(qū)間是(1,3). 5 分 (2)假設(shè)存在實數(shù) a 使 f(x)的最小值為 0， 則 h(x)ax22x3 應(yīng)有最小值 1， 因此應(yīng)有 a0，3a1a1，解得 a12. 10 分 故存在實數(shù) a12使 f(x)的最小值為 0. 12 分 規(guī)律方法 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要注意以下四點：一是定義域；二是底數(shù)與 1 的大小關(guān)系；三是如果需將函數(shù)解析式變形，一定確保其等價性；四是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的 思想與方法 1對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律 當(dāng) a1 且 b1 或 0a1 且 0b1 時，logab0； 當(dāng) a1 且 0b1 或 0a1 且 b1 時，logab0. 2利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決 3比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性 4多個對數(shù)函數(shù)圖像比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖像與直線 y1 交點的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定 易錯與防范 1在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于 0 的，所以對數(shù)函數(shù) ylogax 的定義域應(yīng)為(0，)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù) a 與 1 的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1的大小關(guān)系不確定時，要分 0a1 與 a1 兩種情況討論 2在運算性質(zhì) logaMlogaM 中，要特別注意條件，在無 M0 的條件下應(yīng)為 logaMloga|M|(N*，且 為偶數(shù)) 3 解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點： (1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍