一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第2章 第13節(jié)　定積分與微積分基本定理 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第十三節(jié)　定積分與微積分基本定理 [考綱傳真]　1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義． 1．定積分的概念與性質(zhì) (1)定積分的定義 給定一個在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)y＝f(x)，將[a，b]區(qū)間分成n份，分點為： a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b. 第i個小區(qū)間為[xi－1，xi]，設(shè)其長度為Δxi，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點δi，如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于0，S′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn的值趨于常數(shù)A，我們稱A是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝A. 其中∫叫作積分號，a叫作積分的下限，b叫作積分的上限，f(x)叫作被積函數(shù)． (2)定積分的幾何意義 圖2­13­1 一般情況下(如圖2­13­1)，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖像以及直線x＝a、x＝b之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號；在x軸下方的面積取負號． (3)定積分的基本性質(zhì) ①1dx＝b－a； ②kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))； ③[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx； ④f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx. 2．微積分基本定理 如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即F′(x)＝f(x)，則有f(x)dx＝F(b)－F(a)．常把F(b)－F(a)記成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)dx＝f(t)dt. (　　) (2)若f(x)是偶函數(shù)，則－af(x)dx＝2f(x)dx. (　　) (3)若f(x)是奇函數(shù)，則－af(x)dx＝0. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．(教材改編)已知質(zhì)點的速率v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：57962121】 A．10t　　　　 B．5t C.t D．t B　[.] 3．(20xx·長沙模擬(一))exdx＝________. e－1　[exdx＝ex|＝e－1.] 4．(20xx·天津高考)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為________． 　[如圖，陰影部分的面積即為所求． 由得A(1,1)． 故所求面積為 .] 5．若x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________． 3　[∵x2dx＝T3＝9，T＞0，∴T＝3.] 定積分的計算 　計算下列定積分． (1)； (2)|1－x|dx. [解]　(1) ＝2x2dx＝2·|＝. 6分 (2)|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ＝|＋| ＝－0＋－＝1. 12分 [規(guī)律方法]　1.運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點： (1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分； (2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和； (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值符號，再求積分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”檢驗積分的對錯． 2．根據(jù)定積分的幾何意義，可利用面積求定積分． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·石家莊質(zhì)檢(二)) (x2＋)dx＝________. (2)設(shè)f(x)＝(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為________． (1)＋　(2)　[(1)原式＝x2dx＋dx＝x3|＋dx＝＋dx，dx等于半徑為1的圓面積的，即dx＝，故原式＝＋. (2)∵f(x)＝ ∴f(x)dx＝x2dx＋dx＝|＋ln x|＝＋ln e＝.] 利用定積分求平面圖形的面積 　(1)曲線y＝－x＋2，y＝與x軸所圍成的面積為________． (2)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962122】 (1)　(2)2　[(1)如圖所示，由y＝及y＝－x＋2可得交點橫坐標為x＝1.由定積分的幾何意義可知，由y＝，y＝－x＋2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為dx＋(－x＋2)dx＝x|＋|＝. (2)由得或 則曲線y＝x2與直線y＝kx(k＞0)所圍成的曲邊梯形的面積為 (kx－x2)dx＝| ＝－k3＝， 即k3＝8，∴k＝2.] [規(guī)律方法]　利用定積分求平面圖形面積的步驟 (1)根據(jù)題意畫出圖形； (2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限； (3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和； (4)計算定積分，寫出答案． 易錯警示：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)．當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx·山東威海一模)曲線y＝sin x(0≤x≤π)與x軸圍成的封閉區(qū)域的面積為________． (2)拋物線y2＝4x與直線y＝2x－4圍成的平面圖形的面積為________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962123】 (1)2　(2)9　[(1)由題意知封閉區(qū)域的面積S＝sin xdx＝－cos x|＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2. (2)由得或 畫出草圖如圖所示． 選用x為積分變量所求面積為 [2－(－2)]dx＋(2－2x＋4)dx ＝4×x|＋2×x|－x2|＋4x| ＝＋－(16－1)＋(16－4)＝9.] 定積分在物理中的應(yīng)用 　一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：57962124】 A．1＋25ln 5　　　 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 C　[由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dt＝dt＝|＝4＋25ln 5.]　 [規(guī)律方法]　定積分在物理中的兩個應(yīng)用 (1)求物體做變速直線運動的路程，如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝v(t)dt. (2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx. [變式訓(xùn)練3]　一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處，則力F(x)做的功為________J. 36　[由題意知，力F(x)所做的功為 W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx ＝5×2＋| ＝10＋＝36(J)．] [思想與方法] 1．求定積分的兩種常用方法： (1)利用微積分基本定理求定積分，其步驟如下：①求被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)；②計算F(b)－F(a)． (2)利用定積分的幾何意義求定積分． 2．對于求平面圖形的面積問題，應(yīng)首先畫出平面圖形的大致圖形，然后根據(jù)圖形特點，選擇相應(yīng)的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間． [易錯與防范] 1．被積函數(shù)若含有絕對值號，應(yīng)先去絕對值號，再分段積分． 2．若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量． 3．定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限． 4．定積分的幾何意義是曲邊梯形面積的代數(shù)和，但要注意面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負．