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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
1．曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
答案 C
解析 ∵y′＝x′ex－1＋x(ex－1)′＝(1＋x)ex－1，∴曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y′|x＝1＝2.故選C.
2.下列四個圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(1)＝( )
A. B.
C．－ D．1
答案 C
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋(a
2、2－4)，由a≠0，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，知導(dǎo)函數(shù)圖象為③，從而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再結(jié)合－>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋1，可得f(1)＝－，故選C.
3．已知t為實(shí)數(shù)，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，則t等于( )
A．0 B．－1
C. D．2
答案 C
解析 依題意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.
4.設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為________．
3、
答案 (1,1)
解析 y′＝ex，則y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k切＝1，又曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線與y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直，所以y＝(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為－1，設(shè)P(a，b)，則曲線y＝(x>0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．
5．若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
答案 (e，e)
解析 y′＝ln x＋1，設(shè)P(x0，y0)，ln x0＋1＝2得x0＝e，則y0＝e，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(e，e)．
4、
6．若對于曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))的任意切線l1，總存在曲線g(x)＝ax＋2cosx的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
答案 [－1,2]
解析 易知函數(shù)f(x)＝－ex－x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝－ex－1，設(shè)l1與曲線f(x)＝－ex－x的切點(diǎn)為(x1，f(x1))，則l1的斜率k1＝－ex1－1.易知函數(shù)g(x)＝ax＋2cosx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)＝a－2sinx，設(shè)l2與曲線g(x)＝ax＋2cosx的切點(diǎn)為(x2，g(x2))，則l2的斜率k2＝a－2sinx2.由題設(shè)可知k1k2＝－1，從而有(－ex1－1)(a－2sinx
5、2)＝－1，∴a－2sinx2＝，故由題意知對任意x1，總存在x2使得上述等式成立，則有y1＝的值域是y2＝a－2sinx2值域的子集，則(0,1)?[a－2，a＋2]，則
∴－1≤a≤2.
7．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．
解 (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)
6、存在．由已知得，直線m恒過定點(diǎn)(0,9)，若直線m是曲線y＝g(x)的切線，則設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x＋6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
將(0,9)代入切線方程，解得x0＝1.
當(dāng)x0＝－1時，切線方程為y＝9；
當(dāng)x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1處，y＝f(x)的切線方程為y＝－18；
在x＝2處，y＝f(x)的切線方程為y＝9，
∴y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11；
在x＝1處，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10；
∴y＝f(x)與y＝g(x)的公切線不是y＝12x＋9.
綜上所述，y＝f(x)與y＝g(x)的公切線是y＝9，此時k＝0.
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