高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 課時(shí)分層訓(xùn)練31 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理 北師大版

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)分層訓(xùn)練(三十一)　等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．－1　　　　　　　 B．－2 C．－3 D．－4 C　[法一：由題意可得 解得a1＝5，d＝－3. 法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4， ∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.] 2．(20xx全國(guó)卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 C　[法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋991＝98.故選C. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)5＝98.故選C.] 3．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，則n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[由題意知Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.] 4．(20xx全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)， 解得d＝－2. 所以S6＝61＋＝－24. 故選A.] 5．(20xx云南二檢)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝11，a5＝－1，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140173】 A．15 B．20 C．26 D．30 C　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d＝(a5－a1)＝－3，所以an＝11－3(n－1)＝14－3n，令an＝14－3n≥0，解得n≤，所以Sn的最大值為S4＝411＋(－3)＝26，故選C.] 二、填空題 6．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 10　[S100＝(a1＋a100)＝45，a1＋a100＝0.9 a1＋a99＝a1＋a100－d＝0.4，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝0.4＝10.] 7．《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個(gè)問題：“今有金箠(chu)，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是________． 15斤　[由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a1＝4，a5＝2，則S5＝＝15，故金箠重15斤．] 8．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140174】 　[由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得即解得－1＜d＜－.] 三、解答題 9．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值． [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3， 解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N＋，故k＝7. 10．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋d＝2k＋2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)證明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 則bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列， 所以Tn＝＝. B組　能力提升 11．(20xx呼和浩特一調(diào))等差數(shù)列{an}中，a2＝8，前6項(xiàng)的和S6＝66，設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，則Tn＝(　　) A．1－ B．1－ C.－ D．－ D　[由題意得解得所以an＝2n＋4，因此bn＝＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－，故選D.] 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(　　) A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1 C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1 B　[設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 解得d＝2，k＝， 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.] 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________． 5　[因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5， 所以a1＝3－m. 由Sm＝(3－m)m＋1＝0， 解得正整數(shù)m的值為5.] 14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140175】 (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由． [解]　(1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3； {a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列．