高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測：第八章 平面解析幾何 課時(shí)作業(yè)52 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)作業(yè)52　橢圓 一、選擇題 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 解析：由橢圓的定義知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn))，∴周長為4a＝4. 答案：C 2．橢圓＋＝1的離心率為，則k的值為(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 解析：若a2＝9，b2＝4＋k，則c＝， 由＝，即＝，解得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝， 若＝，即＝，解得k＝21. 答案：C 3．(20xx湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知a＝3，b＝，c＝2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝＝，故選B. 答案：B 4．(20xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：解法1：不妨設(shè)直線l過橢圓的上頂點(diǎn)(0，b)和左焦點(diǎn)(－c,0)，b>0，c>0，則直線l的方程為bx－cy＋bc＝0，由已知得＝2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)，故選B. 解法2：不妨設(shè)直線l過橢圓的上頂點(diǎn)(0，b)和左焦點(diǎn)(－c,0)，b>0，c>0，則直線l的方程為bx－cy＋bc＝0，由已知得＝2b，所以＝2b，所以e＝＝，故選B. 答案：B 5．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在長軸A1A2上任取一點(diǎn)M，過M作垂直于A1A2的直線，與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，則使得<0的點(diǎn)M的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)P(x，y)，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，∵＝(－c－x，－y)(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋－3＝－2<0，∴－<x<.∴使得<0的點(diǎn)M的概率為＝. 答案：C 6．(20xx湖北武昌調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(－c,0)關(guān)于直線bx＋cy＝0的對稱點(diǎn)P在橢圓上，則橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)左焦點(diǎn)F(－c,0)關(guān)于直線bx＋cy＝0的對稱點(diǎn)為P(m，n)，則? 所以m＝＝＝(1－2e2)c，n＝＝＝2be2.因?yàn)辄c(diǎn)P(m，n)在橢圓上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，將各選項(xiàng)代入知e＝符合，故選D. 答案：D 二、填空題 7．直線x－2y＋2＝0過橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓的方程為________． 解析：直線x－2y＋2＝0與x軸的交點(diǎn)為(－2,0)，即為橢圓的左焦點(diǎn)，故c＝2. 直線x－2y＋2＝0與y軸的交點(diǎn)為(0,1)， 即為橢圓的頂點(diǎn)，故b＝1. 故a2＝b2＋c2＝5，橢圓方程為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 8．設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在橢圓上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________． 解析：如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，由題意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝，BC＝，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(－1,1)．又∵點(diǎn)C在橢圓上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為. 答案： 9．(20xx安徽江南十校聯(lián)考)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，則橢圓C的離心率為________． 解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對稱性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA ＝＝，故∠POA＝60，易得P，代入橢圓方程得：＋＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，則＝，所以離心率e＝. 答案： 三、解答題 10．如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0)，點(diǎn)H在橢圓上． (1)求橢圓的方程； (2)點(diǎn)M在圓x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，過M作圓x2＋y2＝b2的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：△PF2Q的周長是定值． 解：(1)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)已知，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，c＝1，∵H在橢圓上，∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6，∴a＝3，b＝2，故橢圓的方程是＋＝1. (2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝1，|PF2|＝＝ ＝， ∵0<x1<3，∴|PF2|＝3－x1， 在圓中，M是切點(diǎn)， ∴|PM|＝ ＝＝＝x1， ∴|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3， 同理：|QF2|＋|QM|＝3， ∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6， 因此△PF2Q的周長是定值6. 11．(20xx浙江卷)如圖，設(shè)橢圓＋y2＝1(a>1)． (Ⅰ)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)； (Ⅱ)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍． 解：(Ⅰ)設(shè)直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－. 因此|AP|＝|x1－x2| ＝. (Ⅱ)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2. 由(Ⅰ)知，|AP|＝， |AQ|＝， 故＝， 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0. 由于k1≠k2，k1，k2>0得 1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此 (＋1)(＋1)＝1＋a2(a2－2)，① 因?yàn)棰偈疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1＋a2(a2－2)>1，所以a>. 因此，任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1<a≤，由e＝＝得，所求離心率的取值范圍為0<e≤. 1．(20xx福建廈門一模)已知橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,2)，當(dāng)△APF的周長最大時(shí)，△APF的面積等于(　　) A. B. C. D. 解析：由橢圓＋＝1知a＝3，b＝，c＝＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，則|AF|＝4.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，則△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，P在線段AF1的延長線上時(shí)取“＝”)．此時(shí)直線AF1的方程為＋＝1，與橢圓的方程5x2＋9y2－45＝0聯(lián)立并整理得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，則△APF的周長最大時(shí)，S△APF＝|F1F||yA－yP|＝4＝.故選B. 答案：B 2．(20xx浙江卷)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　) A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1 解析：由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，則m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝＝＝＝1＋ >1，所以e1e2>1.故選A. 答案：A 3．(20xx石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(－2,0)和B(2,0)，動點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為________． 解析：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A1(x1，y1)，則有解得x1＝－3，y1＝1，易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，因此橢圓C的離心率e＝＝的最大值為＝. 答案： 4．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在過點(diǎn)P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，滿足＝2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得解得a2＝4，b2＝3. 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在直線l1且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為y＝k1(x－2)＋1，代入橢圓C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0. 因?yàn)橹本€l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，所以k1>－. 又x1＋x2＝， x1x2＝， 因?yàn)椋?， 即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝， 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝2＝. 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝. 所以[－2＋4](1＋k)＝＝，解得k1＝. 因?yàn)閗1>－，所以k1＝. 于是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x.