《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（一）

2.3　數(shù)學(xué)歸納法(一) 一、基礎(chǔ)過關(guān) 1． 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)，該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題成立，那么可推導(dǎo)出 (　　) A．當(dāng)n＝6時(shí)命題不成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立 D．當(dāng)n＝4時(shí)命題成立 2． 一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時(shí)命題成立，且由n＝k時(shí)命題成立可以推得n＝k＋2時(shí)命題也成立，則 (　　) A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C．該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān) D．以上答案都不對 3． 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 4． 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時(shí)f(n)是 (　　) A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正確 5． 已知f(n)＝＋＋＋…＋，則 (　　) A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋ 6． 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計(jì)算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項(xiàng)表達(dá)式為 (　　) A. B. C. D. 二、能力提升 7． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為 (　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 8． 已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f(k＋1)＝________. 9． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程中的錯(cuò)誤為 ____________________________________________________________________． 證明：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．因此對于任何n∈N*等式都成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)． 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 12．已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式． 三、探究與拓展 13．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論． 答案 1．B 2．B　3．C　4．C 5．D　6．B　7．B　 8．f(k)＋＋＋－ 9．缺少步驟歸納奠基 10．證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即 (1－)(1－)(1－)…(1－)＝， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)＝(1－)＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立． 11．證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝(－1)1－1＝1， 結(jié)論成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1) ＝(－1)k. 即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立． 12．(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝. (2)證明　①當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝522－2＝5，公式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)成立，即ak＝52k－2， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋52k－2. ＝5＋＝52k－1. 故n＝k＋1時(shí)公式也成立． 由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝52n－2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝. 13．解　假設(shè)存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，則當(dāng)n＝1,2,3時(shí)上式顯然也成立， 此時(shí)可得 解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)對一切正整數(shù)均成立． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立． 即122＋232＋342＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 122＋232＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立．