《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章222

2.2.2　反證法 一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1． 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是 (　　) ①與已知條件矛盾?、谂c假設(shè)矛盾?、叟c定義、公理、定理矛盾?、芘c事實(shí)矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2． 否定：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為 (　　) A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 3． 有下列敘述： ①“a>b”的反面是“a<b”； ②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”； ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”； ④“三角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒(méi)有鈍角”． 其中正確的敘述有 (　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 4． 用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為 (　　) A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除 5． 用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時(shí)，否定結(jié)論應(yīng)為 (　　) A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c都不是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至多一個(gè)是偶數(shù) D．至多有兩個(gè)偶數(shù) 6．“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是____________________________. 7．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a、b為實(shí)數(shù))”，其反設(shè)為_________． 二、能力提升 8． 已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，試證：“數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn＋1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為 (　　) A．對(duì)任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1 B．存在正整數(shù)n，使xn＝xn＋1 C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn＋1 D．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1 9． 設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋ (　　) A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2 10．若下列兩個(gè)方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 12．已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 三、探究與拓展 13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋ (a>1)，用反證法證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根． 答案 1．D 2．D　3．B　4．B　5．B　 6．存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角 7．a(chǎn)，b不全為0 8．D　9．C　 10．a(chǎn)≤－2或a≥－1 11．證明　假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)， 因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1， 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd>1，這與上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 12．證明　假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于， 即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>， 三式相乘得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>， ① 又因?yàn)?<a<1，所以0<a(1－a)≤()2＝. 同理0<b(1－b)≤，0<c(1－c)≤， 所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ② ①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立． 13．證明　假設(shè)方程f(x)＝0有負(fù)數(shù)根，設(shè)為x0(x0≠－1)． 則有x0<0，且f(x0)＝0. ∴ax0＋＝0?ax0＝－. ∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－<1. 解上述不等式，得<x0<2.這與假設(shè)x0<0矛盾． 故方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．