2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點難點精講精析 8.5雙曲線

2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：8.5雙曲線 三、雙曲線 （一）雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 ※相關(guān)鏈接※ 1．在運(yùn)用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支。 2．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 （1）定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)即可求得方程； （2）待定系數(shù)法，其步驟是 ①定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標(biāo)軸上； ②設(shè)方程：根據(jù)焦點的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程； ③定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)。 注：若不能明確雙曲線的焦點在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：。 ※例題解析※ 〖例〗已知動圓M與圓外切，與圓內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程。 思路解析：利用兩圓心、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出M點滿足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解。 解答：設(shè)動圓M的半徑為r則由已知。 又（-4，0），（4，0），∴||=8，∴<||。 根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以（-4，0）、（4，0）為焦點的雙曲線的右支。 （二）雙曲線的幾何性質(zhì) ※相關(guān)鏈接※ 1．雙曲線的幾何性質(zhì)的實質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點”（兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點）， 2 / 8 “四線”（兩條對稱軸、兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點以及虛軸端點構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形）研究它們之間的相互聯(lián)系。 2．在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程。同時要熟練掌握以下三方面內(nèi)容： （1）已知雙曲線方程，求它的漸近線 （2）求已知漸近線的雙曲線的方程； （3）漸近線的斜率與離心率的關(guān)系。 如 注：（1）已知漸近線方程為則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為的形式，根據(jù)其他條件確定的正負(fù)。若>0，焦點在x軸上；若<0，焦點在y軸上。 （2）與雙曲線共漸近的雙曲線方程為； 與雙曲線共焦點的圓錐曲線方程為。 ※例題解析※ 〖例〗中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點，且，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3：7。 （1）求這兩曲線方程； （2）若P為這兩曲線的一個交點，求的值 思路解析：設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為→分別求a,b,m,n的值→利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求得。 解答：（1）由已知：，設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n，則 ， 解得a=7,m=3. ∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為雙曲線方程為。 （2）不妨設(shè)分別為左右焦點，P是第一象限的一個交點，則所以又， ∴== （三）直線與雙曲線的位置關(guān)系 〖例〗（1）求直線被雙曲線截得的弦長； （2）求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程 解析：由得得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則有 得， （2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應(yīng)的中點為， 由得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則， ∴， 且， ∴， 得或。 方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為，弦中點為，則 得：， ∴， 即， 即（圖象的一部分） 注：圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力，所以成為高考的熱點。 在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關(guān)系，需要我們?nèi)ふ?。對于圓錐曲線的參數(shù)的取值范圍問題或最值問題，解法通常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時⊿>0等），通過解不等式（組）求得參數(shù)的取值范圍；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！